; les points F, B fe confondront en b. Par la même raifon l'angle dAb compris entre deux tangentes Ad, Ab, a pour mesure dFb-dCb.

472. SCHOLIB. Des trois Théorêmes précédents & de leurs Corol laires, on peut déduire le Théorême général fuivant: Un angle eft déterminé en quelque endroit que fon fommet foit placé, fi fes côtés, prolongés s'il est néceffaire, coupent ou touchent une circonférence de cercle dans des points déterminés.

473. THEOR. XIII. Si quatre cordes forment un Quadrilatere infcrit dans un cercle, le produit des deux diagonales de ce quadrilatere, eft. égal à la fomme des deux produits de chaque côté par le côté oppofé.

,

DEM. Faites avec BC (fig. 38) l'angle BCF égal à l'angle DCA ou ce qui eft le même, faites avec CA l'angle ACF égal à l'angle DCB; alors à caufe des angles égaux ABC, CDA (469) les triangles AD x BC DAC, BCF font femblables, donc DC: AD:: BC: BF= DC (320). De mê ne à caufe des angles ACF BCD, & CDB = CA3 les triangles DBC, AFC font femblables; donc DC: AC:: BD ; BDX AC Joignant ces deux équations, on a BF

AF=

AB=

.DC

ADX BC+BDX AC

DC

BCBDx AC.

AF ou

& par conféquent DC x ABAD X

474. PROBL. I. Divifer un arc donné en deux arcs égaux? SOLUTION. Imaginez une corde menée par les extrêmi→ tés de l'arc, & coupez-la en deux également par une perpendiculaire,( 445 ) l'arc fera auffi coupé en deux également, (454 ).

475. PROBL. II. Divifer un angle donné en deux également ? SOLUTION. Pofez la pointe du compas fur le fommet de l'angle, & décrivez avec une ouverture quelconque, un arc entre les deux côtés de l'angle; divifez (474) cet arc en deux également, & par le fommet de l'angle menez une droite au milieu de l'arc, elle divifera l'angle donné en deux également.

476. REMARQUE. Par les deux problêmes précédents on peut divifer tout arc ou tout angle donné en 2, 4, 8, 16, 32, &c. parties égales, qui font les termes d'une progreffion géométrique double; mais on ne peut divifer géométriquement par la regle & par le compas un arc ou un angle quelconque en trois parties égales; c'eft le fameux Problême de la trijection de l'angle, tant cherché par les Anciens.

A plus forte raifon ne peut-on pas divifer un arc en 5, 6, 7, 9, &c. parties égales par la Géométrie élémentaire; puifque l'on démontre par l'Analyfe que c'eft un Problême du 3, 4, 5, &c. degré, que de divifer un arc de cercle en 3, 4, 5, &c. parties égales; & qu'il n'est poffible de divifer un arc en 4, 8, 16 &c. parties égales par la Géométrie élémentaire, que parce que ce font des Problêmes du 4, 8, 16 &c. degré, qui fe réduifent tous à un du fecond degré par des extractions fucceffives de racines quarrées exactes dont les équations de ces problemes font toujours fufceptibles,

⚫ 477. PROBLEME III. Faire paffer une circonférence de cercle par trois points donnés ?

SOLUTION, Il est évident que ce Problême feroit impoffible, fi les trois points étoient en ligne droite. Tirez ou imaginez deux droites qui joignent les trois points donnés. Elles font deux cordes du cercle cherché. Divifez-les donc chacune en deux également (445) par deux perpendiculaires qui pafferont (450) par le centre du cercle, lequel. par conféquent fera dans leur interfection.

478. PROBL. IV. Trouver le centre d'un cercle ou d'un are donné ?

SOLUT. Tirez deux cordes à volonté dans ce cercle ou dans cet arc, & cherchez (477) le centre comme ci-dessus. 479. PROBL. V. Continuer un arc de cercle donné en un cercle entier fi l'on veut?

SOLUT. Cherchez (478) le centre de cet arc.

480. DÉFINITIONS.

Propriétés des lignes droites, qui renferment un espace. Es droites qui par leur rencontre L renferment un efpace, compofent une figure rectiligne. Or la rencontre de plufieurs droites

ne fe peut faire que par des angles, ce qui fait qu'on appelle une figure rectiligne un Polygone.

481. Un Polygone en général fignifie un espace renfermé entre plufieurs droites qui s'appellent les côtés, & qui fe joignant les unes aux autres par chaque bout, forment par conféquent autant d'angles que de côtés.

482. Il est aifé de concevoir qu'il faut au moins trois lignes droites pour renfermer un efpace; c'eft pourquoi le premier & le plus fimple des Polygones eft le triangle le fecond eft le Quadrilatere ou Tetragone, c'est-à-dire, une figure de quatre angles & de quatre côtés; le troifieme eft le Pentagone, c'est-à-dire, une figure de cinq angles & de cinq côtés; le quatrieme eft l'Exagone, enfuite l'Eptagone, rodogone, l'Ennéagone, le Décagone, l'Endecagone, le Dodécagone, &c, l'Ecatogone, le Chiliogone, le Myriogone, &c. qui ont 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, &c. 100, 1000, 10000 angles, & autant de côtés.

Comme toutes ces figures fe rapportent au triangle ainfi qu'on le verra dans la fuite, il faut commencer par bien connoître les propriétés du triangle.

Des Triangles..

Des différentes efpeces & des propriétés des Triangles. 483. LE Triangle prend différents noms fuivant les différents rapports de fes côtés & de fes angles.

Par rapport à fes côtés. Un triangle dont les trois côtés font égaux entr'eux, comme ABC (fig. 14) s'appelle Equilatéral: celui dont deux côtés AC, AB (fig. 15) font égaux, s'appelle fofcele; & celui dont les trois côtés font inégaux, comme ABC (fig. 16) s'appelle Scalene.

484. Par rapport à fes angles. Un Triangle dont les trois angles font aigus, comme ABC (fig. 14) s'appelle Oxygone ou Acutangle; celui qui a un angle droit A (fig. 15) s'ap pelle Rectangle, & celui qui a un angle obtus C (fig. 16) s'appelle Ambligone ou Obtufangle.

485. Dans un triangle rectangle comme ABC (fig. 15) le côté BC qui eft oppofé à l'angle droit, s'appelle l'hypotenuse. 486. Dans un triangle quelconque, le côté oppofé à un angle s'appelle la bafe de cet angle.

487. THEOR. I. Tout triangle fe peut infcrire dans un cercle, c'est-à-dire, on peut faire paffer un cercle par les trois

angles d'un triangle quelconque ; car c'eft la même chose que de faire paffer un cercle par trois points donnés (477).

488. THEOR. II. La fomme des trois angles d'un triangle quelconque eft de 180 degrés, ou équivaut à deux angles droits. DEM. Ayant infcrit un triangle quelconque dans un cercle, les trois côtés en font trois cordes; & chaque angle a pour mefure (466) la moitié de l'arc que le côté oppofé foutend; la fomme de trois angles eft donc égale à la moitié de la fomme des trois arcs, c'eft-à-dire, à la moitié de la circonférence du cercle, ou à 180 degrés.

489. COROLL. I. Un triangle ne peut avoir qu'un feul angle droit, ou qu'un feul angle obtus, & alors les deux autres font néceffairement aigus.

490. COROLL. II. Dans un triangle rectangle un des angles igus eft complément de l'autre.

491. COROLL. III. Si on connoît deux angles d'un triangle quelconque, on en peut conclure la valeur du troifieme; car elle eft égale à la différence entre 180°, & la fomme de ces deux angles connus : & fi on n'en connoît qu'un, fon fupplément eft égal à la fomme des deux autres.

492. THEOREME III. Dans un triangle quelconque ABC (fig. 14) fi on prolonge un côté quelconque CB, l'angle extérieur ABI eft égal à la fomme des deux angles intérieurs oppofes ACB, CAB.

DEM. La fomme de l'angle extérieur ABI, & de l'intérieur contigu ABC, eft de 180 degrés (425); mais. (488) la fomme des deux angles ACB, CA B & de l'angle ABC eft auffi de 180 degrés. Donc l'angle extérieur ABI eft égal à la fomme des deux intérieurs opposes ACB, CAB.

493. THEOR. IV. Si d'un point quelconque D pris au-dedans d'un. triangle CAB (fig. 15) on tire des droites DA, DB fur les extrémités d'un côté quelconque AB, l'angle ADB compris par ces droites, eft plus. grand que l'angle BCA oppofé à ce côté AB.

DEM. Car ayant infcrit le triangle ABC dans un cercle, la mesure de l'angle ACB, eft la moitié de l'arc foutendu par la corde BA (466), au lieu que la mefure de l'angle BDA eft cette même moi. tié, plus la moitié de l'arc intercepté par le prolongement des côtés BD, AD, (470).

494. THEOR. V. Dans un triangle quelconque la fomme do deux côtés quelconque eft plus grande que le troisieme côté.

DEM. La droite AB (fig. 16) eft (392) le chemin le plus court pour aller de A en B. Donc fi on alloit de A en B en paffant par C, on n'iroit pas par le chemin le plus court or alors on décriroit les deux côtés AC, CB; donc la fomme des deux côtés AC, CB eft plus grande que le

troifieme côté A B.

495. THEOR. VI. Dans un triangle quelconque le plus grand côté eft opposé au plus grand angle, & le plus petit côté au plus petit angle. Réciproquement, le plus grand angle eft oppofé au plus grand côté, & le plus petit angle au plus petic côté. Puifque, ayant infcrit le triangle dans un cercle, le plus grand angle eft mefuré par le plus grand arc, & que (453) le plus grand arc eft foutendu par la plus grande corde, & réciproquement.

496. COROLL. Si on fuppofe que l'angle d'un triangle s'ouvre de plus en plus, tandis que les deux côtés qui forment cet angle reflent de même grandeur, le troisieme côté opposé à l'angle qui croit, croîtra auffi de plus en plus ; plus; & réciproquement, il diminuera, lorfque l'angle oppofe diminuera.

497. THEOR. VII. Une perpendiculaire tirée d'un angle d'un triangle quelconque fur fa bafe, tombe en-dedans du triangle, fi les deux autres angles font aigus ; & en-dehors, ou fur le prolongement de cette bafe, fi un des deux angles eft obtus.

DEM. Je dis, 1°. que fi dans le triangle GEK (fig. 2) les angles KGE, EKG font aigus, la perpendiculaire EI tombe entre K & G. Car fi elle tomboit au-delà, par exemple, fi on fuppofoit que E L fût certe perpendiculaire, alors le triangle EKL auroit un angle droit ELK, & un angle obtus EKL (puifque le fupplément d'un angle aigu eft un angle obtus), ce qui eft impoffible ( 489 ). Dong la perpendiculaire menée de l'angle GEK ne peut tomber ailleurs qu'entre G & K.

Je dis, 2°. que fi un des angles du triangle FEH eft obtus, la perpendiculaire tirée de l'angle FEH fur le côté oppofé FH ne peut tomber que vers I, fur le prolonge