PROPOSITION IV.

THEOREM E.

Le Sinus verfe d'un arc, & le Sinus droit de fon complement, font égaux au rayon du Cercle.

Oit FG le Sinus verfe de l'ar c GE, & ED, le Fig. 1. Sinus droit de fon complement EC ; je dis que FG, ou ED, font égaux au rayon AG.

Car puisque DE eft un parallelograme ED eft égale à AF, à quoi ajoûtant FG vient le rayon AG.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que le rayon étant donné, & le Sinus droit du complement de quelque arc, le Sinus verfe de cet arc fera connu ; car en ôtant du rayon le Sinus droit donné, restera le Sinus verfe cherché

Ou bien le Sinus verse d'un arc étant donné avec le rayon, le Sinus droit de fon complement fera connu; car en ôtant du rayon le Sinus verfe donné, reftera le Sinus droit cherché.

PROPOSITION V.

THEOREM E.

Les Quarrez des Sinus droit & verfe d'un arc font égaux an quarré de la foutendante du même arc.

E l'arc CE le Sinus droit foit CF, & FE le Fig 6.

D Sinus verfe; je dis que leurs quarrez font

Fig. 6.

Fig. 7.

Pour le prouver. Le triangle CFE étant rectan gle; il eft évident que les quarrez de CF & de FE, fontégaux au quarré de CE.

COROLLAIRE.

Les Sinus droit & verfe d'un arc étant donc donnez, on connoîtra la foutendante de cet arc, & le Sinus droit de fa moitié.

Soit par exemple, EF. 6. & CF. 8. leurs quarrez 36. & 64. étant ajoûtez font 100. pour le quarré de CE, dont la racine quarrée eft 10. qui eft ce que vaut la foutendante cherchée; & 5. eft la valeur du Sinus droit du demi arc.

PROPOSITION VI.

THEOREM E.

Au quart de Cercle, le Sinus droit d'un arc eft moyen
proportionnel entre la moitié du rayon, ✔
le Sinus verfe d'un arc double.

S

Oit par exemple EC, double de l'arc ED ; je dis que EH Sinus droit de ED, eft moyen proportionnel entre la moitié du rayon AG & EF Sinus verfe de l'arc double EC; c'eft-à-dire que comme la moitié du rayon AG eft à EH, ainfi EH eft à EF.

Pour le prouver. Aux deux triangles AHE, CFE, l'angle AHE étant droit, & partant égal à CFE, & l'angle au point E étant commun; il s'enfuit que ces deux triangles font équiangles, & qu'ils ont les côtez au tour de l'angle commun E proportionnaux (par la 4. du 6.) c'eft-à-dire que

comme la moitié de AE, fçavoir AG, eft à EH, ainfi la moitié de CE, à fçavoir EH eft à EF. C. Q. F. D. il en eft de même au demi Cercle.

COROLLAIRE.

Il s'enfuit de là que fi le rayon eft donné, avec le Sinus droit de quelque arc, on trouvera le Sinus verfe d'un arc double; & enfuite l'on trouvera auffi le Sinus verse de cet arc double.

che 2.

Fig.15.

Soit, par exemple, le demi rayon AG 9. & EH PlanSinus droit de l'arc ED 6. on trouvera le Sinus verfe EF 4. Car puifqu'il y a même raison de AG à EH, que de EH à EF, il eft évident, fuivant les regles des proportions, que le quarré de EH eft égal au produit de AG, EF. Si donc on divife le quarré de EH qui eft 36. par la valeur du demi rayon 9. il viendra le Sinus verfe cherché; à fçavoir 4.

Et pour trouver la valeur de CF Sinus droit de CE, double de ED, aprés avoir trouvé le Sinus verse, il faut trouver (par la Propofition 4. ) le Sinus droit du complement de cet arc double, & par le moyen de ce Sinus droit, trouver (par la 2. Propofition ) les Sinus droit cherché.

Ou bien il s'enfuit qu'étant donné le Sinus verse d'un arc avec le demi rayon, on trouvera le Sinus droit d'un arc, qui fera la moitié de l'arc propofé: Car puifqu'il y a même raifon du demi rayon au Sinus cherché, qu'il y a de ce même Sinus, au Sinus verfe de l'arc double propofé, il est évident par les regles des proportions, que fi l'on multiplie les deux extrêmes donnez, l'un l'autre, par le produit fera le quarré du Sinus cherché.

Soit, par exemple AG 9. &EF 4. fi vous les mul

Fig. 8.

cine quarrée 6. fera la valeur du Sinus droit cher

ché EH.

PROPOSITION VII.

THEOREM E.

La tangente d'un arc eft au rayon, comme le Sinus droit de cet arc, eft au Sinus droit

A

U

de fon complement.

quart de Cercle ADC, foit DE tangente de l'arc DF, dont FG eft le Sinus droit, & foit FB Sinus droit de fon complement FC; je dis qu'il y a même raifon de la tangente DE au rayon DA, que de FG à FB, ou à GA fon égale.

Pour le prouver. Aux deux triangles EDA, FGA, les deux angles G, & D font droits & égaux, & l'angle A commun; partant ces deux triangles font équiangles,, & ont les côtez au tour des angles égaux G, & D, proportionnaux; c'est-à-dire que comme ED eft à DA, ainfi FG eft à GA, ou FB fon égale.

On peut convertir ainfi cette propofition, en difant qu'il y a même raifon de FB, Sinus d'un arc donné à FG Sinus de fon complement, qu'il y a du rayon AD, à la tangente de ce même complement DE.

COROLLA IRE.

Etant donc donné le Sinus droit d'un arc, & celui de fon complement, avec le rayon, on trouvera la tangente de ce même complement; car puifque ces quatre chofes font proportionnelles, il

par Fig. 84

tipliez l'un par l'autre, & le produit divifé l'extrême connu, il viendra l'autre extrême cherché.

Soit, par exemple AG, ou fonégal FB 6. FG 8. AD 10. DE fera 13. &, ou . Car 8. multiplié par 10. font 80. lefquels divi fez par 6. vient 13. ou pour la tangente cherchée.

PROPOSITION VIII.

THEOREME.

Le rayon eft moyen proportionnel entre la tangente d'un arc, & la tangente de fan complement.

S

Oit ici la ligne DF tangente de l'arc DC, & Fig. 9 BE tangente de fon complement CB; je dis que comme DF eft au rayon AD; ainfi le rayon AD, ou AB eft à la tangente BE.

Pour le prouver. Du point F, foit menée FG, parallelle à AD qui lui fera égale, puifque puifque ce font les côtez oppofez du parallelogramme GD.

Maintenant aux deux triangles ABE, AGF les deux angles G & B font droits & égaux, & l'angle A commun, partant ces deux triangles font équiangles, & ont les côtez au tour des angles égaux GB, proportionnaux; c'est-à-dire, que comme AG, ou DF fon égale, est à GE, ou à son égale AD; ainfi AB ou fon égale AD, eft à BE, C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Etant donc donnée la tangente d'un arc, avec fon rayon, on trouvera la tangente de fon complemet, par exemple.

Soit DF 8. AD 10. la tangente BE fera 12; car Fig. 9.