Plau

che 2. Fig. 17.

il reftera 32. degrez 7. minutes pour l'angle B.

Quant au côté BC, il fera trouvé de 56. toifes ; car comme 53164. Sinus de l'angle B eft à fon côté oppofé 30. toifes, ainfi 99619. Sinus de l'angle A, qui eft le même que celui de fon complement à deux droits, ou de 85. degrez eft à fon côté oppofé BC, 56. toifes.

PROPOSITION V.

Si dans un Triangle qui ne foit pas équilateral, on tire du plus grand angle fur la base une perpendiculaire qui la divife en deux fegments inégaux, il y aura même raifon de cette bafe à la fomme des deux autres côtez, que de leur difference, à la difference des fegments,

E dis que fi du plus grand angle C, du Triangle ABC, dont les deuz côtez AC, BC, font inégaux, on tire fur la bafe AB, la perpendiculaire CF qui la divifera en deux fegments auffi inégaux AF, BF: il y a même raifon de la base AB, à la fomme des deux autres côtez AC, BC, que de leur difference à la difference des fegments AF, BF.

Décrivez comme auparavant de l'angle C,à l'intervalle de l'un des deux côtez AC, BC, comme du plus grand BC, une circonference de Cercle BEGD; & prolongés l'autre côté AC, & la base AB, jufqu'à la circonference du Cercle aux points D, E, G, & vous aurez AD pour la fomme des côtez AC, BC, à caufe des lignes égales BC, CD : AE pour la difference des mêmes côtez AC, BC, à caufe des lignes égales BC, CE: & AG pour la difference des fegments AF, BF à caufe des lignes

la base AB eft à la fomme des côtez AD, comme leur difference AE, est la difference AG, des seg

ments.

Parce le rectangle fous les lignes AB, AG eft égal au rectangle des lignes AD, AE ( par la 35. du 3.) il s'enfuit (par la 14. du 6.) que les quatre lignes AB, AD, AE, AG font proportionnelles. C. Q. F. D.

COROLLAIRE.

Etant donc connus les côtez d'un Triangle fca- Planlene, pour connoître fes angles, il faut du plus che 2. grand angle abaiffer une perpendiculaire fur la ba- Fig.19. fe, & l'on trouvera les fegments de la base, & la valeur de la perpendiculaire, & enfuite les angles du Triangle. Par exemple.

Au Triangle ABC, le côté AB étant 48. toises AC 26. & BC 54. du plus grand A étant abaiffé la perpendiculaire AF, on trouvera FB 42. toifes, & FC. 12. toifes,

Car comme BC 54. toifes eft BA, & AC 74: toifes, ainfi BG 22. toifes (difference des deux cô( tez BA, AC) eft à BE 30. toifes &, ôtant donc BE de BC, refte EC 24. toifes, & divifant EC en deux également par la perpendiculaire AF, FC, vaudra 12. toifes, & BF 42. toifes.

On connoît donc les Sections BF, FC, maintenant pour trouver les angles, voici comme il faut proceder.

Dautant qu'au Triangle rectangle AFB, la bafe AB, & le côté BF font connus, on trouvera l'angle B de 28. deg. ( par les Corollaires de la 1. & 2.) de même l'angleC fera trouvé dans le Triangle rectangle AFC; ce qui étant trouvé, le troifiéme BAC eft auffi connu étant le complement

Plan

Remarquez que quand le Triangle eft Isocele, files trois côtez font connus, pour connoître les angles, il faut du fommet de l'angle enfermé des ́deux côtez égaux abaiffer une perpendiculaire, qui coupera la bafe en deux parties égales, & partant on aura deux côtez & l'angle droit connu; & our connoître le refte, il faudra operer fuivant le 2. Corollaire de la premiere Prop.

pour

Aprés avoir donné dans les Corollaires précedens la maniere de trouver les angles & les côtez des Triangles; par le moyen des Sinus, des Tangentes & des Secantes, il eft à propos de finir cette troifiéme partie & de donner quelques Problêmes qui enfeignent la maniere de trouver les côtez, & les. angles d'un Triangle par le moyen des Logarithmes, & pour en faciliter l'ufage; dautant que l'on agit bien plus brievement par cette voye ci que par la précendente, puifqu'au lieu de multiplier & de divifer, il n'eft befoin que d'additionner & fouftraire; ce qui donne beaucoup de facilité dans la pratique.

PROBLEM B.

Dans le Triangle ABC, on a l'angle droit C ehe 2. de connu, & l'angle aigu A avec le côté AC, on Fig.20. demande la valeur du côté BC, il faut proceder

ainfi, comme le Sinus Total de 100000000 eft à la Tangente de l'angle A de 49. deg. dont le Logarithme eft de 100608369. ainfi le Logarithme du côté AC de 20. toifes, qui eft de 13010300. eft au Logarithme du côté BC que je cherche.

Remarquez qu'au lieu d'avoir mis fimplement le côté de 20. toifes comme ci-devant, on a mis fon Logarithme qu'on a cherché dans la feconde

additionner le fecond terme avec le troifiéme c'est-à-dire 100608369. avec 130010300, leur fomme fera 113618669, d'où ayant souftrait le premier terme qui eft 100000000, le reftant où la difference fera 13618669. pour le Logarithme du côté BC. Si l'on cherche dans la feconde Table le nombre qui approche le plus de celui-ci, il correfpondra à un nombre qui fe trouve de 23, qui eft la valeur du côté BC.

Si dans le même Triangle ABC, on ne connoiffoit que l'angle droit C, avec les deux côtez AC & CB, & que l'on voulût connoître l'angle B, il faudroit chercher le Logarithme du côté BC, auffi bien que celui du côté AC, & puis dire; comme le Logarithme du côté BC eft au Logarithme du côté AC, ainfi le Sinus Total de 100000000 est à la Tangente de l'angle B. Le Logarithme de cette Tangente étant trouvé, il faut chercher dans la premiere Table le nombre qui en approche le plus dans la colomne des Logarithmes des Tangentes, il correfpondra à un angle de 41. degrez, qui eft la valeur de l'angle B, & en même tems le com plement de l'angle A

QUATRIE ME PARTIE.

DE LA RESOLUTION DES TRIANGLES

L

SPHERIQUES.

A Trigonometrie Spherique enfeigne la maniere de fupputer les parties d'un Triangle. Spherique, par des raifonnemens qui fe tirent des proprietez qui font bien differentes de celles des Triangles rectilignes, étant d'une Theorie beaucoup plus profonde. Nous ferons enforte neanmoins d'expliquer cette quatriéme Partie le plus brievement qu'il nous fera poffible, en nous fervant de la Sphere artificielle pour expliquer en peu de mots quantité de Theorêmes qui s'entendent, pour ainfi dire, d'eux-mêmes. On fuppofe pour cela, que ceux qui veulent avoir la connoiffance des Triangles Spheriques, connoiffent au moins la conftruction de la Sphere artificielle. Les Définitions fuivantes pourront fuppléér au défaut de ceux qui ne l'entendent pas comme il faut.

DEFINITIONS.

I. Une Sphere, ou un Globe, eft un corps compris d'une feule fuperficie qu'on nomme Spherique, au dedans duquel il y a un point qu'on nomme centre, duquel toutes les lignes droites menées à cette fuperficie Spherique font egales en