deux nombres 7 et 8? on cherche le point de rencontre de la verticale 7 avec l'horizontale 8, et l'on constate qu'il se trouve sur l'oblique cotée 15; la somme cherchée est en effet égale à 15. Il va sans dire que tout ce qui a été dit sur l'extension qu'on peut donner aux échelles s'applique ici. On pourra donc obtenir la somme de deux nombres de trois chiffres en subdivisant convenablement les échelles et en leur donnant, si c'est nécessaire, de plus grandes dimensions.

Soustraire un nombre d'un autre, c'est chercher un troisième nombre, qui, ajouté au premier, reproduise le second; il est évident que la table (fig. 5) permet de résoudre cette question. On cherchera sur l'échelle des obliques le second nombre et sur l'échelle verticale celui à retrancher; le point de rencontre de l'horizontale correspondant à ce dernier nombre avec l'oblique convenable déterminera la verticale passant par le nombre cherché, qui est le reste. Soit le nombre 5 à retrancher de 12; la ligne horizontale 3, suivie jusqu'à sa rencontre avec la ligne oblique 12, amènera l'œil au point où la verticale 7 rencontre l'oblique 12; le nombre 7 est le reste cherché.

Mais on peut opérer d'une manière plus directe et établir une table de soustraction spéciale, dans laquelle on entrera par les deux échelles latérales. Remarquons, figure 4, que quand on ajoute 3 à 5, à partir du point 5 sur l'échelle A on remonte la verticale jusqu'au point 8; or, si l'on rabat cette portion de verticale sur l'échelle A, de gauche à droite, elle viendra s'ajouter à la longueur 5 pour former la longueur 8, et l'oblique qui a donné la somme 8 aboutira nécessairement à l'extrémité du rabattement ;

or, si, au lieu d'ajouter la longueur 3, on devait la retrancher de la longueur 5, au lieu de rabattre de gauche à droite, il faudrait rabattre de droite à gauche; l'extrémité du rabattement, dans ce cas, aboutirait sur l'échelle A au point 2. On conclut de là que, pour construire une table de soustraction, il faut procéder comme pour la table d'addition, en ayant soin seulement de tracer les obliques parallèles en sens inverse (fig. 6). Pour rendre plus claire la construction de cette table, nous avons tracé

par points l'échelle des nombres négatifs, lesquels sont exprimés par des longueurs portées à gauche du 0 de l'échelle horizontale.

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Genre multiplication. Sur un axe AB (fig. 7) établissons une échelle dont les divisions principales expriment des dizaines; par un point quelconque 0, traçons des droites aux points de division de cette échelle, et entre l'axe AB et le point O menons neuf parallèles équidistantes; il résulte d'un théorème très-simple de géométrie, qu'on doit considérer comme évident que chaque division de la parallèle cotée 1 exprimera 1 unité, chaque division de la parallèle cotée 2 exprimera 2 unités, et

ainsi de suite. Par conséquent, le point de rencontre de l'une des obliques rayonnantes avec l'une des parallèles à l'axe AB sera situé à une distance de OA égale à autant de fois le nombre d'unités exprimé par la cote de la parallèle, qu'il y a d'unités dans le nombre exprimé par le numéro d'ordre de l'oblique. Si donc des droites parallèles à OA et équidistantes constituent un système d'échelle qui permette d'évaluer la distance de chacun des points d'intersection dont nous venons de parler, on trouvera aisément le produit de l'un des nombres lus sur les obliques rayonnantes par l'un de ceux exprimés par les parallèles à AB. Par exemple, pour trouver le produit de 6 par 5, on suivra à partir du point O l'oblique 6 jusqu'à sa rencontre avec la parallèle n° 5; le point d'intersection étant situé sur la parallèle verticale cotée 30, cette cote indiquera le produit cherché. Tout ce que nous avons dit sur la subdivision des échelles et l'extension qu'on peut leur donner s'applique aux échelles de la figure 7. It faut remarquer que le choix des échelles AB et OB est arbitraire; mais l'échelle formée par les parallèles à OA doit avoir ses divisions communes avec celles de ab et exprimer des unités de même espèce; dans le cas de

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la figure 7, les divisions de cette échelle exprimeront des dizaines et ses subdivisions des unités.

Remarque I. Le choix du point O est arbitraire; une fois sa position fixée, l'équidistance des parallèles à AB est déterminée. Il faudra, dans le choix de ce point, faire en sorte que l'équidistance des parallèles qui en résultera soit convenable; ce qu'on appréciera d'après la nature de la question à résoudre, ainsi que nous le montrerons plus loin.

Remarque II.-De la position du point O dépend l'obliquité plus ou moins grande des droites rayonnantes; en le plaçant à égale distance des extrémités de l'échelle AB, on réaliserait la condition de moindre obliquité moyenne; mais cette condition n'est pas toujours la plus désirable ; on a souvent intérêt à rendre les droites rayonnantes d'une extrémité moins obliques que celles de l'extrémité opposée.

Remarque III. On peut entrer dans une table du genre de celle de la figure 7 aussi bien par l'échelle des parallèles à OA que par l'une des deux autres échelles; il en résulte que cette table peut être utilisée pour effectuer les divisions aussi bien que pour opérer les multiplications. Pour diviser 30 par 5, on cherchera le point de rencontre de la parallèle cotée 30 avec l'oblique rayonnante cotée 5; ce point appartenant à la ligne cotée 6 sur l'échelle des parallèles à AB, le nombre 6 sera le quotient cherché.

Remarque IV.-Si, au lieu de diviser l'axe AB suivant la loi d'accroissement des nombres naturels, on le divisait selon la loi d'accroissement des logarithmes, on devrait également diviser l'échelle des parallèles à OA d'après la même loi. La table, dans ce cas, donnerait le résultat suivant :

n log. a = log. x.

n

Ce produit ferait, par conséquent, connaître la puissance nieme du nomlog.x bre a. Inversement, on pourrait obtenir le résultat =log. a, ce qui permettrait de déterminer la racine nième d'un nombre quelconque x (fig. 8).

Remarque V.-En employant la graduation logarithmique dans le système du genre addition, on rendrait ce système applicable au genre multiplication, selon la méthode de M. Léon Lalanne; mais cette graduation présente l'inconvénient des divisions inégales, et nous préférons ne l'adopter que dans le calcul des racines des nombres, comme nous l'avons expliqué dans la remarque IV.

III

Sachant exécuter graphiquement toutes les opérations de l'arithmétique, il est facile d'exprimer dans un tableau graphique toutes les valeurs qu'est susceptible de prendre une fonction de deux variables entre des limites données, et, par conséquent, de construire une table à double entrée quelconque. Les formules génératrices des tables de cette nature peuvent