Page images
PDF
EPUB

dixaines, c'est-à-dire, 6 centaines; j'écris 6 après 4, afin qu'il fe trouve dans le rang des centaines. Donc les 3 dixaines & les 2 unités de multiplicande prises 2 dixaines de fois, produifent 64 dixaines, ou 6 centaines & 4 dixaines. J'ajoute ce produit à celui que j'ai trouvé plus haut, afin d'avoir le produit de toutes les parties du mul tiplicande par toutes celles du multiplicateur. Ce produit total eft donc 768.

564

249

5076

2256 1128

Soit propofé de multiplier 564 par 249.... Je commence par écrire ces deux nombres l'un fous l'autre; puis je multiplie tout le multiplicande 564 par les 9 unités du multiplicateur, en difant 4x9=36, je pofe 6,& retiens 3... 6×9=54, mais à caufe de 3 que je viens de retenir, je dis 54+3=57, je pofe 7, & retiens 5... 5×9=45: or 45+5 que j'ai retenuso, je pose ro de fuite, parce qu'il n'y a plus rien à multiplier par ce premier chiffre 9.

140436

Je paffe enfuite aux 4 dixaines du multiplicateur, par lefquelles je multiplie 564, en difant....4×4=16; je pofe 6 au rang des dixaines, & retiens 1... 6x4-24, +125, je pofe 5, & retiens 2... 5×420, 2=22, j'écris 22.

2=

Enfin, je multiplie 564 par les 2 centaines du multiplicateur; difant à l'ordinaire, 4x 2-8, je pofe 8 au rang des centaines....6x2=12, je pofe 2, & retiens I.... 5×2=10,+1=11, je pofe 11.

Je prends la fomme de ces différents produits, & j'ai 140436 pour produit total.

29. Lorfqu'il y a un ou plufieurs zéros à la fin de l'un ou des deux nombres donnés, on abrege l'opération, en ne multipliant que les autres chiffres, & mettant à la fuite de leur produit autant de zéros qu'il y en a, foit à la fin du multiplicande, foit à la fin du multiplicateur.

Par exemple, pour multiplier 120 par 120, on mettra deux zéros à la fuite de 144, produit de 12 par 12, & on

aura 14400 pour produit. Car il est bien évident que des dixaines multipliées par des dixaines, produifent des centaines. Or ce font 12 dixaines que l'on a ici à multiplier par 12 dixaines. Leur produit doit donc être 144 centaines=14400. On trouveroit de même que 406000 x 107004344 200 000.

Voici quelques Exemples de Multiplications toutes faites.

[blocks in formation]

Pour connoître fi l'on ne s'eft pas trompé dans la multi

plication, on peut, en attendant que

l'on fache la divifion,

changer l'ordre des nombres donnés, c'est-à-dire, du multiplicateur faire le multiplicande, & réciproquement; car on doit trouver le même produit.

peut

auffi fe fervir de ce qu'on appelle la preuve 30. On par 9. C'eft une opération ingénieufe & prompte, qu'il eft bon de favoir. Voici en quoi elle confifte.

1o. Ajoutez les chiffres du multiplicande, comme s'ils exprimoient tous des unités fimples, & de leur fomme retranchez 9 auffi fouvent que faire fe pourra. Ou il ne vous reftera rien après cette fouftraction, ou il vous restera un nombre moindre que 9. Dans le premier cas écrivez zéro. Dans le fecond, écrivez le chiffre qui vous refte.

2°. Faites de même pour les chiffres du multiplicateur, & vous aurez un fecond refte que vous pourrez écrire audeffous du premier.

3°. Multipliez ces deux reftes, & de leur produit retranchez 9 auffi fouvent que vous le pourrez. Vous aurez un troifieme refte, que vous mettrez à côté des deux premiers.

4°. Ajoutez les chiffres du produit, comme ceux des deux facteurs, retranchez de leur fomme tous les 9 qu'elle contient, & mettez le quatrieme refte au-deffous du précédent. Si la multiplication que vous voulez vérifier eft bonne, ce dernier refte doit être le même que l'avant-dernier. Je voudrois favoir, par exemple, fi 973 50 eft le véritable produit de 354 par 275:

J'ajoute les chiffres du multiplicande, en difant 3 +5+412; j'en ôte 9; refte 3 que je mets en réserve.

J'écris au-deffous le refte 5 provenant des chiffres du multiplicateur.

316

516

Je multiplie le premier refte 3 par le fecond refte 5, & du produit 15 j'ôte 9. Refte 6 que j'écris à côté de 3.

Enfin j'ajoute de même les chiffres du produit 97350, & je trouve qu'après en avoir retranché deux fois 9, il refte 6, comme dans la derniere fouftraction. D'où je conclus que l'opération eft bonne. Et voici fur quoi eft fondée cette conclufion.

31. Si j'ôte de 10, de 100, de 1000, &c. tous les 9. qui y font contenus, il est évident, qu'il reftera toujours 1. En faifant la même opération fur 20, fur 200, fur 2000, &c. on trouvera conftamment 2 pour reste. En général, tout nombre exprimé par un chiffre fuivi d'un ou de plufieurs zéros, donnera toujours ce chiffre pour refte, après la fuppreffion des 9 que ce nombre

contient.

Oril n'eft aucun nombre que l'on ne puiffe décomposer aux feules unités près, en nombres entiers & décimaux. Le multiplicande 354, par exemple, peut fe décomposer en 300+50+4. On trouvera donc le même refte, après avoir ôté les 9 de la fomme de 3 +5+4, ajoutés comme unités fimples, que fi on les avoit ôtés fucceffivement de 300+ 50+4. Il en eft de même pour le multiplicateur 275; & c'eft-là le fondement des deux premieres parties de la regle.

Cela pofé, je remarque qu'en multipliant un nombre dans lequel 9 eft contenu un certain nombre de fois fans reste par un autre nombre qui contienne aussi 9 fans refte, le produit doit pareillement le contenir fans refte.

Si donc 354 le contient avec un refte 3, & fi 275 le contient avec un refte 5, leur produit doit évidemment le contenir avec un refte 15. Supprimant donc le 9 contenu dans ce refte 15, il doit refter 6; & c'est effectivement ce qui eft resté après avoir ôté tous les 9 de 97350.

Voilà le fondement de la quatrieme partie de la Regle.

Voici celui de la troisieme.

Pour favoir ce qui refte du produit de deux nombres quelconques, après la fuppreffion de tous les 9, il n'y a qu'à multiplier le refte du multiplicande par celui du multiplicateur, & fouftraire de ce produit les 9 qu'il contient. Le refte fera toujours celui que l'on cherche.

=

On peut le démontrer généralement de cette maniere. Soit le multiplicande 9 B+m: & le multiplicateur 9 C+n, (B & C expriment le nombre de fois que les deux facteurs contiennent 95 m & n repréfentent les deux reftes.) Le produit fera 81 BC+9 Cm + B n+mn. Or les trois premiers termes de ce produit font évi

9

par 9,

demment divifibles fans refte par 9. Si le quatrieme l'eft auffi, tou le produit l'eft de même. S'il provient un refte de la divifion de m ce refte fera celui l'on cherche. Donc que pour favoir, &c. Appliquons cette méthode à un autre exemple. Je fuppofe que l'on ait trouvé 265325592 pour produit de 6546×4053,& qu'on veuille le vérifier. Le premier refte eft 7; le fecond eft 3; leur produit eft 21; fon refte eft 3; celui du produit total eft 3 auffi. L'opération eft donc bonne.

713

33

32. Obfervez 1° ', que pour abréger, on peut fouftraire les 9 à mesure qu'on en trouve dans le cours de l'addition des chiffres.

2°. Que 3 pourroit fervir ainfi que 9.

3°. Qu'il y a deux erreurs à éviter. L'une qui confifte dans la tranfpofition des chiffres du produit total, comme fi au lieu d'écrire 97350, on écrivoit 79350, ou $7903, ou &c. L'autre, qui eft de mettre dans ce produit des zéros au lieu des 9, ou d'oublier les 9, & de ne rien mettre à leur place. Car alors le résultat de la vérification feroit le même; & cependant les produits feroient bien différents. Mais des erreurs difficiles à commettre, ne doivent pas empêcher de fe fervir d'une regle auffi expéditive. Au refte la divifion tend directement à vérifier la multiplication.

De la Divifion.

33. LA Divifion fert à trouver combien de fois un nombre eft contenu dans un autre; & comme il ne peut y être contenu qu'autant de fois qu'il peut en être fouftrait, la division est un moyen abrégé de faire ces fouftractions.

Ainfi, pour favoir combien 12 contient de fois 4, la maniere la plus naturelle eft d'ôter 4 de 12; refte 8: enfuite 4 de 8; refte 4: enfin 4 de de 4; refte zéro : d'où l'on voit que la quantité 12 eft épuifée, après que 4 en a été retranché 3 fois, & qu'ainfi 12 contient 4 précifé3.

ment

« PreviousContinue »