leurs que pourra exiger la fuite du calcul, & que la quantité x fe trouve fucceffivement élevée à toutes fes puiffances. L'effentiel eft de déterminer les valeurs de ces coëfficients or pour cela, on a imaginé d'abord de multiplier le fecond membre de l'équation par le dénominateur p+x de la premiere, & on en a tiré, en ordonnant.... 2 3 { + +Ax+Bx2 ++ Cx3 + Dx* &c. Puis en tranfpofant, on a eu..... Ap+Bpx+Cpx2 + Dpx3 + Epx2 + &c +Ar + Br2 + Cx3 + Dxa +&c. Après quoi on a dit Puifque le fecond membre fe réduit à zéro, il n'y a qu'à fuppofer que les quantités indéterminées A, B, C &c, opérent cette réduction, de maniere que tout fe détruife, colonne par colonne : car alors on aura autant d'équations que d'inconnues, ce qui fera connoître les valeurs de ces quantités. On a donc.... Apo.... Bpx+Ax=0.... Cpx2+Bx2=o... Dpx' + Cx3o... · Epx++Dx+ =0...&c, &c. = p2 On fubftitue de même la valeur de B dans la troifieme équation, & on P p2 p3 p4 férie eft fi manifeste, peut aifément pouffer le calcul auffi loin que l'on voudra. Soit propofé maintenant de réduire en férie a2 a2+1ax—xx, a2 Je fuppofe que +2ax-x2 a2 =A+Bx+Cx2+Dx3+ &c. J'ai donc a2=(a2+2ax-x2)(A+Bx+Cx2+Dx3+&c) a2 A+ a2 Bx+a2 Cx2+a2 Dx3+ &c +2aAx+2a Bx2+2a Cx3 +&c ou a2 Ax' Bx3- &c;) d'où je conclus a2=a' A, & par conféquent A= 1; en fuite a B+2aAo, qui donne B procédé me fait trouver C 2. Le même a D=—=—,&c; 914 I I+2x 276. Quand il y a deux termes dans le numérateur on les égale refpectivement aux deux termes homogènes de la férie déja multipliée par le dénominateur. Ainfi pour avoir la fuite que donne 1-x-2 on supposeroit d'abord 1+2% =( 1 − x — x2)(A+Bx+Cx2+&c); on effectueroit enfuite la multiplication, & après avoir trouvé A = 1, & B=3, on détermineroit à l'ordinaire C, D, &c; d'où réfulteroit =1+3x+4x2+7x3 + 11xˆ +18x, férie bien aifée à continuer, puifque chaque coefficient eft la fomme des deux coefficients qui précédent, & que x eft élevée fucceffivement à toutes fes puiffances. Cette férie eft du nombre de celles que l'on appelle Récurrentes, parce que pour former chaque terme, il faut avoir recours à ceux qui le précédent. -I + 2x 277. Soit propofé d'extraire la racine quarrée de a' -x, que nous connoiffons déja (180). Suppofez √ (a2 — x2) = A+ Bx2 + Cx4 + Dx + &c, qui V donne d'abord a2. d; 4 SA2+2AВx2 + B2x2 + 2ADx+&c = {A2+ +2ACx*+2BCx°+&c; enfuite A'a... 2ABx2 —— x2; d'où A= a... que la férie.... A + Bx2 + Cx2 + Dx lera de même E, F, &c. fi l'on veut un plus grand nombre de termes. 278. Il y a trois principales fuites de nombres. Celles des nombres figurés ou de différents ordres, celles des nombres polygones, & celles des puiffances. I. Les fuites des nombres figurés commencent ainfi I, I, I, I, I, I, &c. ·I,2, 3, 4, 5, 6, &c. 1,3, 6,10,15,21, &c. 1,4,10,20,35,56, &c. La loi des fuites des nombres figurés eft, que chacun de leurs termes doit être la fomme des termes correfpondants de la fuite précédente. Ainfi la feconde fuite eft formée par l'addition continuelle des unités; les termes de la troifieme fuite font formés par l'addition continuelle de la feconde. Par exemple + 2 = 3 I + 2 + 3 = 6.. 4+5=15, &c. I + 2 + 3 + 4 = 10 1+ 2+ 3+ II. Les nombres polygones font des nombres formés par la fomme des termes confécutifs d'une progreffion arithmétique qui commence par 1. Et ces nombres s'appellent triangulaires, quarres, pentagones, hexagones, &c, felon que la différence qui regne dans la progreffion eft i 2 " " 3 4, &c.. Progreffions Arithmétiques. I,2,3, 4, 5, &c. Diff.. I. 1,3,5, 7, 9, &c. Diff.. 2. 1,4,7,10,13, &c. Diff.. 3. 1,5,9,13,17, &c. Diff.. 4. .... Nombres Polygones. 1,3, 6,10,15 &c. Triangulaires. 1,4, 9,16,25 &c. Quarrés. 1,5,12,22,35 &c. Pentagones. 1,6,15,28,45 &c. Hexagones. On les appelle Polygones, parce qu'ils expriment les divers nombres dont on peut difpofer les unités en triangle, ou en quarré, ou en quelque autre Polygone régulier. Par exemple, la fuite des nombres triangulaires 1,3,6,10,15 &c, tire fa dénomination de ce que 3 unités, ou 6, ou 10, ou 15 ou 21 &c, peuvent être arrangées en triangle, de la maniere fuivante. &c. La fuite des nombres quarrés 1,4,9.16 &c. eft ainfi appellée, parce que l'on peut donner une forme quarrée aux unités qu'il contiennent; on peut les difpofer, par exemple, de la maniere fuivante &c. Il en eft de même pour les nombres pentagonaux & ceux qui font au-deffus. Plufieurs Auteurs des deux derniers fiecles ont beaucoup travaillé fur ces nombres; mais ce genre de travail eft fi ingrat, que l'on a jugé à propos de l'abandonner prefque tout-à-fait. 279. III. La troifieme efpece de fuites comprend celles des diverfes puiffances des nombres naturels, 1, 2, 3, 4, 5 &c. Or l'opération principale qu'il y ait à faire fur les fuites, confifte à trouver leur fomme, & nous allons voir comment on peut la déterminer, dans quelques cas. ON De la fommation des Séries. 280. On peut faire fur les fuites toutes les opérations de l'Arithmétique; mais la plus utile de toutes, & en même temps la plus difficile, confifte à les fommer, c'est-à-dire, à réduire en une feule expreffion finie tous les termes d'une fuite donnée. C'eft ordinairement en cette expreffion que confifte la folution des Problêmes dans lefquels les fuites entrent, & ces problêmes font nombreux. Nous ne pouvons pas entrer dans un grand détail fur ce fujet, qui fait une des plus confidérables parties de l'Analyfe; nous expliquerons feulement la maniere de fommer quelques fuites principales. L'art de fommer les fuites, fe borne, pour ainfi dire, à trouver la méthode d'en fommer quelques-unes qui fervent de formules, auxquelles on ramene, s'il eft poffible, les fuites que l'on veut fommer. Par exemple, ayant trouvé une formule pour former une progreffion géométrique décroiffante à l'infini, on pourra toujours fommer les fuites que l'on décomposera en plufieurs autres dont les termes feront en progreffion géométrique décroiffante. ( On défigne infini par ce figne, ∞ ; d'où bbq bqbq3· bq I a ∞ d &c. font des une progref ∞ › bq fion infinie décroiffante (en fuppofant q plus grand que l'unité). Si on l'écrit dans un ordre renverfé :: d d d d d : d bq∞ bq+ bq3 bq2 bqb, on la rendra croiffante, & en y ap trouveras= dq bq-b formule propre & réduifant, on à donner la fomme de toute progreffion géométrique décroiffante à l'infini. 281. Exemple. On a vu (94) que la fraction pouvoit être transformée par approximation en celle-ci... 0,3 3 3 &c; mais que pour rendre cette transformation rigoureufe, il faudroit pouffer l'approximation jufqu'à l'infini. La preuve en eft que la fomme de la progreffion... 3 qui en résulte, est véritablement. Car fi on écrit d'abord cette progreffion, de maniere à la rendre croiffante, 100 > on aura ... ; & fi on fait enfuite les fub |