eft ; comme la formule le donne. Soit propofé maintenant de trouver en fraction ordinaire la valeur de 0,181818 à l'infini.... je fais d = 18...b=100..,q=100; & je trouve...s= 1800 9900 1800 10000-100 Soito, 142857142857 142857 &c, fraction periodique infinie dont on demande la valeur en fraction ordinaire... je fais d=142857.. & je trouve que la formule s = nous le favions déja (96). · · dq bq-b b=1000000=q; se réduit à, comme 282. Cherchons à préfent le moyen de fommer une fuite de fractions dont les numérateurs foient en progreffion arithmétique, & les dénominateurs en progreffion géométrique. Cette fuite eft, a+d a+ 2d bq bq2+bq2 › bq3 + bq3 d d .... a + zd + + &c. › bq2 + De-là, vous pourrez déduire les féries fuivantes, que des progreffions géométriques. Or ces fommes (excepté la premiere) forment la pro greffion ÷ bq-b * bq1-bq : bqi=bq: &c, dont la fomme : aq dq 692-2b9+b 69-6 LEÇONS ÉLÉMENTAIRES bq2 - 2bq + b bq - b' fi donc on y ajoute la premiere fomme *aqq-aq+dq on aura bq2-2bg+b pour la fomme des sommes c'eft-à-dire, pour la fomme de toute la férie propofée. Et c'est une formule générale pour fommer toutes les fuites de fractions, dont les numérateurs font en progreffion arithmétique, & les dénominateurs en progreffion geoméir que. REMARQUE. Lorfqu'on ne peut fommer en termes finis une fuite infinie, il faut tâcher de la mettre fous une forme rapidement convergente; car, lorsqu'une fui e converge très-vite, il fuffit de fommer quelques-uns de fes premiers termes; on peut enfuite négliger les autres fans erreur fenfible. Par exemple, dans (aa+xx) plus la valeur de x fera petite à l'égard de a; plus la fuite a + 16as xx 2 a x4 8a3 + &c, convergera vite, parce que les numérateurs deviennent très petits, à l'égard des dénominateurs. Soit a = 10, &x=1, alors 101 =10+÷ V T 600000 8500 17. où l'on voit que le quatrieme terme eft déja comme infiniment petit, & que par conféquent les trois premiers termes fuffifent, pour avoir, à tres-peu près, la racine de 101. 283. Soit propofé de trouver d'une maniere générale la fomme d'un nombre quelconque de termes, dans une progreffion quelconque des puiffances des nombres naturels Je prends pour exemple d'une fuite quelconque de ces nombres, la progreffion arithmétique a.b.c.d.w, dont je fuppofe que le premier terme a repréfente le premier terme de la fuite donnée, pendant que a repréfente le dernier, & que b, c, d, tiennent lieu des termes intermédiaires. Cela pofé, j'aurai donc @=d+1 d=c+I... C b .... = a + 1 ; & fi j'éleve toutes ces équations à une puissance quelconque m, j'aurai ( 148 ). duifant, que Mais fi j'ajoute toutes ces puiffances ensemble, je trouverai en Et remarquant que d+c+bm1+am eft la fomme des puiffances m— I de tous les termes excepté le dernier, je conclus que fi j'appelle s mla fomme de toutes ces puiffances, j'aurai 1o. . . ¿13 - 1 + c^2=' + bπ- tamo! Et c'eft-là l'expreffion générale de la fomme cherchée, puifque de fimples fubftitutions de la valeur de m donneront immédiatement la fomme s de tant de nombres naturels que l'on voudra, la fomme s2 de leurs quarrés, la fomme s3 de leurs cubes, & ainfi de fuite. s°-°; d'ouì l'on tire sw Car fi on fait d'abord m=1, la formule se réduira à...w=a+ a; c'eft à-dire, que la fomme des puiffances zéro d'une fuite de nombres naturels eft égale à la différence du premier au dernier terme, augmentée d'une unité. EXEMPLE. Soit 3°. 4°. 5°. 6o; la fomme eft visiblement 4, & c'eft ce que donne l'équation swa+1=6 3+1. Si on fait m2, la formule deviendra 2 a2 + 2 (s — ∞) + 2.1 dans tous les cas femblables; donc w2—a2+ 25-w- a; & par Exemple. Soit 8 9 IO.IT. 12 Si on fait m = } 13, dont il faille trouver la 13 7+4(-7) 63. on aura 3 a2 + (s 2 w2)+3(s - 20 a; & fi on fubftitue dans cette équation la valeur déja trouvée pour s, on aura en ranf 3a+1) ja (za2 Exemple. Soit la fuite des quarrés 22. 3*. On aura s2 = 90. 42.52.62, dont on cherche la fomme. En faisant m 4, & en fubftituant les valeurs trouvées pour s — w2 + 1⁄2 w3 + — w2 — — a+ + — a 3 — — a2 & pour s2, on aura s3 — = = On trouvera de même que s4 = = w2 + // w+ + ¦ w3 } a3 + { a+ — ÷ a3 +a, & ainfi des autres. alors le der & Si on vouloit chercher la fomme des puiffances m d'une infinité de termes de la fuite des nombres naturels nier terme seroit infini; on auroit donc =∞, par confém-3 &c feroient infiniment quent les puiffances com-i petites par rapport à co"; elles s'évanouiroient donc ; ce qui changeroit la formule générale en celle-ci. 2 · m.m-1.m-2 3 Or sm-2, sm-3, sm-4, &c. font autant de quantités infiniment petites par rapport à -1; car il eft évident, par exemple, que la fomme des quarrés qui eft dans ce cas-là oo, eft infiniment petite par rapport à la fomme des cubes, qui eft 004. Donc en négligeant tous ces termes, l'équation précédente deviendra... ∞ m -d'où l'on tire s-1 = ainfi supposant m― n+1; c'est-à-dire que m la fomme des puiffances n d'une infinité de termes pris dans la fuite des nombres naturels eft égale au produit de la puiffance " du dernier terme multipliée par le nombre de tous les termes, & divifée par n+1. 12 ∞ Au refte, on voit bien que cette formule s'étend à tous les cas des puiffances fractionaires, coinme à ceux des puiffar.ces entieres, puifque n peut également exprimer toutes fortes d'expofants. Le problème eft donc réfolu d'une maniere générale, & fi on vouloit en imiter la folution pour trouver la fomme des puiffances d'un nombre quelconque de termes, foit fini, foit infini, pris dans une progrellion arithmétique quelconque,, on n'auroit qu'à prendre pour la différence de ces termes ce qui donneroit a =d+d...d=c+ ♪ &c; après quoi on acheveroit le calcul, comme ci-deffus. 2 De la Méthode inverfe des Séries. 284. ÉTANT donnée une équation de cette forme.....x=ayTM + by”+n+cy+2n + dy++ &c, on demande la valeur dey.... La méthode qui apprend à la trouver, s'appelle méthode inverfe des féries, ou retour des fuites; parce que l'on ne parvient à cette valeur que par une férie inverse des puissances de x. Voici en quoi cette méthode confifte. I. Soit pris d'abord le cas le plus fimple, qui eft celui où m=ni. L'équation propofée fe changera en celle-ci... x = ay + by2 + cy3 + dy+ &c. Il s'agit de trouver la valeur de yen x. Pour cela, je fuppofe y=Ax+Bx2+ Cx3 +Dx++ &c. Or cette derniere équation donne (276) x = Aax, d'où 1= Aa, & A= Elle donne auffi aB+ A'bo; donc B=- Enfuite, aC + 2ABb + A3co; d'où C — 2b2-ac a3 & ainfi des autres. Cela pofé nous aurons la formule fuivante pour changer une férie des puiffances fucceffives de y, en une autre férie compofée des mêmes puiffances de x. Il n'y aura qu'à fubftituer les valeurs des coefficients a, b, c, d &c. que l'on fuppofe connus. Je dis donc que fix= ay + by2+cy3 &c, on a dans tous les cas b a3 2b2-ac sabc-a2d-5b3 x3+ as x2+ &c. 14b4 - 21ab2 c + 6a2 bd + 3a2 c2 – a3e On a ici a = 1 APPLICATIONS. —y — y2+ y3 —ya + y$ —y° + &c. Quelle eft la valeur de y exprimée en x? . . . . c=1,d=—1, e=1, &c. Donc y =x+x2+x3 +x+ &c. y2 y3 y+ ys Si on avoit x=y+ + + + &c, alors a feroit = 1, 285. II. Si nous fuppofons m=1,& n=2, la férie propofée n'aura |