Or de cette équation & de toutes celles que l'on peut former de la même maniere, on doit conclure qu'une équation dont le degré eft généralement exprimé par m, a pour premier terme xm, c'est-à-dire, l'inconnue "élevée à la puiffance que défigne le nombre des facteurs de cette équation.

Le fecond terme eft xm- avec un coefficient égal à la fomme de toutes les racines a, b, c, d, &c.

Le troisieme eft x avec un coefficient égal à la fomme des produits ab, ac, ad, bc, &c, de ces racines prifes deux à deux.

Le quatrieme eft xm-3 avec un coefficient égal à la fomme des produits abc, abd, &c, des mêmes racines prifes trois à trois; & ainfi de fuite jufqu'au dernier terme qui eft toujours le produit de toutes les racines.

313. Il n'en faut pas davantage pour démontrer la formule qui fert à élever un binome quelconque xa à une puiffance quelconque m (148). Car pour élever le binome

a à la puiffance m, il faut le multiplier m — 1 fois par lui-même. Ainfi le développement de cette puiffance doit être regardé comme le produit d'un nombre m de facteurs tous égaux; & fi x+ao, tout ce que nous venons de dire d'une équation du degré m, aura lieu pour la puiffance m de xa.

Enforte donc que le premier terme fera x"; que le fecond fera x précédé d'un coefficient égal à la fomme de toutes les racines. Or dans ce cas chaque racine eft a, leur nombre eft m. Donc leur fomme eft m a. Le fecond terme fera donc max-1.

Le troifieme doit être -2 précédé d'un coefficient égal à la fomme des produits de toutes les racines prifes deux à deux. Ce coefficient fera donc a2 multiplié par le nombre des produits que peut donner un nombre m de lettres a, b, c, d, &c prifes deux à deux. Pour le trouver, ce nombre, remarquez 1°, qu'il doit être la moitié de celui des lettres qui fervent à former tous ces produits. 2°, Qu'il faut répéter chacune de ces lettres le même nombre de fois

& que ce nombre de fois eft exprimé par m— 1, puisqu'il faut les multiplier chacune féparément par toutes les autres. Le nombre des lettres qui forment ces produits eft donc m (m—1), & par conféquent celui de leurs produits m(m-1) Ainfi le troifieme terme fera

deux à deux eft

m (m— I

2

a2 xm-2.

Le quatrieme doit avoir pour coefficient la fomme des produits que l'on peut faire avec les racines prifes trois à trois; & comme ici toutes les racines font égales, ce coefficient doit être a multiplié par le nombre des produits qui peuvent réfulter d'un nombre m de lettres a, b, c, d, &c, prifes trois à trois. Or 1°, le nombre de ces produits ne doit être que le tiers du nombre des lettres dont ils font compofés. 2°, Il faut répéter chaque lettre le même nombre de fois, & ce nombre eft défigné par celui des produits des autres lettres prifes deux à deux. Donc puifm (m—1) que le nombre de ces produits eft ; lorsque (m-1) (m-2) lorf

celui des lettres eft m, il eft clair qu'il fera

que

2

2.

celui des lettres fera m-1, comme dans le cas préfent. Le nombre des lettres qui forment tous les produits

m(m-1)(m-2).

2

abc, abd, &c, doit donc être

Celui des

2.3

Formant de même les termes fuivants, on trouvera que

& qu'en général (a+b)m=am ± mam• 1b +

m.m-1

2

Pour

Pour faire quelque application de cette formule, cherchons d'abord la cinquieme puiffance du binome a+b. Nous trouverons as+sa+b+ 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 +bs. Car m=5 dans ce cas; donc am as ; donc mam-1b=5a+b; donc am-2 b2 10 a3 b2; & ainfi

m.m-I

2

de fuite jufqu'au fixieme terme

m.m-1.m-2.m-3.m- 4 2.3.4.5

am-s bs, qui fe réduit à b3. Le calcul ne peut s'étendre plus loin dans cet exemple, parce que tous les termes qui fuivent, ayant m-5 parmi les facteurs de leurs coeffi cients, & m fe réduifant à zéro dans le cas présent, tous ces termes ultérieurs s'y réduisent auffi.

Cette formule peut également fervir à élever un polynome quelconque à une puiffance quelconque. Soit propofé, par exemple, d'élever le trinome n+p+qà fon cube. Je fais an; b=p+q; m=3. Donc a" =n3 ;

mam-1 b=3n2 (p + q);

&

m.m-I.m-2

2.3

am - 3 b3 = (p + q )3; enforte que (n+p +q)3n3 + 3n2p + 3n2q + 3np2 + 6npq + 3nq2 +p2+3p2q+3pq2 +q3·

Lorfqu'une expreffion n'eft pas fort compliquée, & qu'elle eft en même temps une puiffance parfaite, on en cherche la racine par les regles ordinaires de l'extraction. On pourroit la trouver par la formule du binome, mais le calcul en feroit plus long; ce qui fait qu'on ne s'en fert communément que pour avoir des racines approchées. 314. Au refte, on peut exprimer cette formule d'une maniere encore plus fimple. En effet, de ce que (a+bm =am+mam-1b+&c...., il fuit que (P+PQ)m

m.m-i.m-2

2.3

pm Q

Donc fi on repréfente par la lettre A le premier terme P", le fecond fera m A Q, & fi le fecond eft représenté

fon tour par la lettre B, le troisieme fera

Celui-ci étant représenté par C, le quatrieme fera

&c, &c. On aura donc,

772

Or il eft évident que cette formule eft plus fimple que la premiere, puifque le cinquieme terme, par exemple, fe trouve tout de fuite en multipliant D, terme déja calculé,

m 3

que

le

par Q, & que la quantité Q n'est autre chose fecond terme PQ du binome, divifé par le premier

4

terme P.

APPLICATION. Soit propofé de trouver la quatrieme puiffance de 2a+3%....Je fais m=4....P=2a.... PQ=37, d'où Q=11. J'ai donc pm — 16aa . . . . mAQ=4. 16a.=96a'...BQ=96a'r.

32

m3DQ== 216 az3. — 813*. Donc (2a +37*=

4

4

!16a+ +96a3z ++ &c.

24

315. Enfin pour rendre cette derniere formule plus commode, fuppofons que l'expofant de la puiffance à la→

quelle on veut élever le binome PPQ foit

m

A

aurons généralement (P+PQ) =Pï+#AQ+

de u*-*, ou la valeur approchée dé (ua—z2 ). Pour u2 cela, je fuppofe Pu2, Q

423 M=I, N=

Ale premier terme, B le fecond, C le troifieme

&c. Et je trouve que ( u2 — q2 )3 — u3

*

A+

Suz

224

I

542 2524

676 2128

12546 62528 tions.

&c). Revenons maintenant aux équa

316. Lorfque parmi les facteurs d'une équation tranfpofée, il n'y en a point d'imaginaires, & que ses termes font précédés alternativement de fignes différents, toutes les racines de cette équation font pofitives. S'ils font tous précédés du figne +, toutes les racines font négatives. Et en général, il y a autant de racines pofitives que de changements de figne, & autant de racines négatives que de répétitions immédiates du même figne. C'eft une exception fâcheufe que celle des facteurs imaginaires. Elle met en défaut la regle précédente, lorsqu'il y a de ces facteurs ; & lors même qu'il n'y en a pas, cette regle devient prefque inutile, fi on ne le fait pas déja.

317. Lorsqu'une équation manque de fecond terme, la fomme des racines pofitives eft égale à celle des négatives, fans quoi le fecond terme qui a pour coefficient la fomme des unes & des autres ne fe feroit pas évanoui ( 307 ).

Er puifque le dernier terme eft toujours le produit de toutes les racines, il faut en conclure qu'il y en a au moins une égale à zéro, toutes les fois que le dernier terme manque.

318. Certe propriété qu'à le dernier terme d'être le produit de toutes les racines, a donné lieu à une méthode pour trouver celles qui font commenfurables. En effet, fi après avoir cherché tous les divifeurs du dernier terme, on effaie de divifer l'équation par l'inconnue quelqu'un de ces divifeurs, & que la divifion réuffiffe, on a dès-lors un facteur de l'équation, & par conféquent une de fes ra