FIG. Car AB'-DB'AD'AC-DC'. Donc AC49. AB'DC'- DB'; d'où l'on tire BC: AC+ AB:: AC-AB: DC + DB. 50. Des Lignes proportionelles confidérées dans le Cercle. 443. Si d'un point quelconque M pris fur la demi-circonference AMB, on mene la perpendiculaire MP fur le diamétre AB, cette perpendiculaire fera toujours moyene proportionelle entre les deux fegments ou abfciffes AP, PB; enforte que l'on aura toujours PM'AP×PB. Car fi on mene AM & MB, le triangle A M B fera rectangle. Donc MP2 APXP B. On a auffi le quarré AM' de la corde AM, AP x A B. = 444. Soit le diametre A B = 2 a, l'abfciffe AP=x; ce qui donne 2 a-x pour l'autre abfciffe BP. Soit la perpendiculaire ou l'ordonnée PM-y, & nous aurons généralement yy=(2a — x) x — 2ax — xx; équation fondamentale que nous retrouverons fouvent, & qui exprime la propriété fi connue du cercle, d'avoir toujours le quarré de chacune de fes ordonnées égal au produit des absciffes correfpondantes. On l'appelle à caufe de cela l'équa tion du cercle. Si on eût fait PC=x, c'est-à-dire, fi on eût mis l'origine des abfciffes au centre du cercle, alors on eût trouvé par le triangle rectangle CPM, l'équation yyaa-xx, laquelle exprime la même propriété du cercle. Et fi au lieu d'appeller 2 a le diametre, on l'appelloit a, les deux équations précédentes deviendroient yy ax-xx, & yy = aa -xx; ce qui reviendroit toujours au même. 445. Imaginons maintenant la tangente MT, & prolongeons l'axe AB jufqu'à ce qu'il rencontre cette tangente au point T, la ligne PT eft ce qu'on appelle la foutangente. Pour en trouver l'expreffion, rappellons-nous que le triangle PM2 CP aa x CP=CT=. Ce qui donne cette proportion, CP: CA::CA: CT. D'où il eft facile de connoître le point T, & par conféquent de mener la tengente TM, le point Métant donné. Veut-on maintenant avoir l'expreffion de la tangente T M? Le trian- FIG. gle TMC rectangle en M donnera TM (CT-CM3)... a4 x2 50. 446. Si deux cordes fe coupent dans un cercle, leurs parties feront réciproquement proportionelles, c'est-à-dire qu'on 51. aura CF:AF::FB: FD, ou CFxFDA F× FB: Car fi on mene AC, BD, les triangles ACF; FBD feront femblables, puifque l'angle CFADFB, & que l'angle CDB CAB. Donc CF: AF:: FB: FD. 447. Par-là on peut réfoudre les deux problêmes fuivants. I. Mener par le point donné A la corde B AD de maniere que AD foit à AB::m:n. Par le point A & par le point C je mene d'abord le diametre F G ; puis je remarque que le point A étant donné, on connoît fa diftance AC au centre C. Soit donc AC=b, CFa, AD=x, & on aura AB= FAXAG=aa-bb nx nx2 BAXAD= m Donc x, ou A D=V [ ( aa—bb)], & AB = v[ — ( aa—bb)]; n m m Donc fi du point A comme centre & d'un rayon v [— (aa-bb)】 n on décrit un arc de cercle, cet arc coupera la circonférence en un point D par lequel & par le point A fi on mene DA B, elle sera la corde demandée. II. Par le point A mener la corde BAD égale à une droite donnée c. En gardant les mêmes dénominations, on aura A B=c-x, & ABX AD=cx-xx=qa-bb. D'où l'on tire AD ou x=c+√ ({cc+bb-aa), & AB = 1⁄2 c-V (‡cc+bb—aa). 448. Si du même point B pris hors la circonférence d'un cercle on mene les deux fécantes AB, AC, leurs parties extérieures AD, AE feront réciproquement pro- 53. portionelles aux fécantes entieres; en forte que l'on aura AD: AE::AC: A B. Car fi on mene BE, DC, les triangles ABE, ADC feront femblables, ayant, outre l'angle commun A, les angles DBE, DCE égaux. Donc AD: AE:: AC: AB. Donc ADX AB AEXA C. 449. Si l'une des fécantes devient la tangente AM, cette tangente fera moyene proportionelle entre la fé- 54" $4. cante entiere A B & fa partie extérieure A D. Car fi on mene MD, MB, les triangles AMD AMB feront femblables, puifqu'outre l'angle commuн A, les angles AMD, ABM font égaux, ayant chacun pour mefure la moitié de l'arc MD. Donc AD: AM:: AM: AB, & A M2 = AD × A B. Donc les deux tangentes AM, AN menées du même point A font égales. 450. Si quatre cordes forment un quadrilatere infcrit, le produit des deux diagonales BD, AC fera égal à la fomme des deux produits 55. de chaque côté par le côté oppofé, c'cft-à-dire qu'on aura ACXBD= BCX AD+ABXCD. BCXAD Menons DE de maniere que l'angle ADE=BDC, les triangles AED, BCD feront femblables, puifque par la fuppofition A DE= BDC, & que l'angle D A E = DBC. Donc BD: BC::AD: AE= Or les triangles BAD, EDC font auffi femblables, puifque ABD ACD, & que ADB = CDE (car AD BADE-BDE= BDC-BDECDE). Donc BD: A B:: CD: CE= BD ABXCD+BC XAD Donc AE+CE=AC= BD ACXBD ABXCD+BCXAD. ABXCD BD D'où l'on tire 451. Pour faire quelque application de cette propriété, foient les 56. deux arcs AC, CB, & ayant mené A B, propofons-nous de trouver une équation générale qui exprime le rapport qu'il y a entre AC, CB, AB & le rayon du cercle. Je mene par le point C le diametre CD & les cordes AD, DB; je nomme enfuite CD (2a), AC (b), CB (c), AB (d); cela pole, le quadrilatere infcrit AC B D donne 2ad CBX AD+ACXBD: or ̃ ̄A D = √ ( CD2. AC2), & BD = v(CDCB2). Donc zad=c √ ( 4 a2 — b2 ) + b √ ( 4 a2 — c2), équation générale par le moyen de laquelle on peut réfoudre les problêmes fuivants. I. Étant donnée la corde AC d'un arc, trouver la corde AB du double de cet arc. On a dans ce cas bc. Donc d=AB= b a ·✓ (4a2 — b2). II. E:ant donnée la corde AB d'un arc, trouver la corde AC de la moitié de cet arc. Soit x la corde cherchée A C, & on aura ad = x√ (4 a2 — x2). arcs, trouver la C b On a AB=d= — √ ( 4a2 — b2) + — V. (4a2 — c2). 2a 2a IV. Etant données les cordes AB, AC de deux arcs, corde CB d'un arc égal à leur différence. trouver la Soit CB=c=x, on aura 2 a d= x √ ( 4a2 — b2 )+ by (4a2 — x2)。 b (4a3 — b2 ) — — √ (4a3 — d2). V. Etant donnés trois points A, C, B, trouver le rayon du cercle qui pafferoit par ces trois points. En regardant a comme l'inconnue dans l'équation 2ad c√ (4a2-b2) +bv (4a2 — c2), on trouve a b c d 4 c2 d2 — ( d2 + c2 — b2)2. Si le triangle ABC eft rectangle, on a a= du cercle tombe alors au milieu de A B ; ce qui d'ailleurs eft évident. Solutions de quelques problêmes fur les lignes proportionelles. FIG. 56. 452. I. Etant données trois droites a, b, c, trouver une 574 quatrieme proportionelle bc Ayant mené deux droites AD, AE qui faffent entre elles un angle quelconque, je prends fur AD la partie AB=a, & AD=c, je prends enfuite fur A'E la ligne A C=b, & ayant mené CB, je tire DE parallele à CB. Cela pofé, je dis que A E eft la quatrieme proportionelle demandée. bc Car les triangles ACB, AED font femblables. Donc AB: AC::AD:AE= b. On eût trouvé la même chofe par l'interfection de deux droites entre paralleles. S'il falloit trouver une troifieme proportionelle à deux droites données a & b, il eft évident que la conftruction feroit toujours la même. Il faudroit feulement prendre AD AC. 453. II. Trouver entre deux droites a & b une moyene 58. proportionelle Vab. Ayant mené la ligne indéfinie APB, je prends fur eette ligne la partie A Pa, BPb & je décris une demi-circonférence fur le diamètre A B. Cela posé, FIG. il eft clair que la perpendiculaire PM menée par le point de divifion P fera la moyene proportionelle demandée. Car PM'APxPB. 58. 59. 60. 61. 454.III. Divifer une droite donnée a de la même maniere qu'une autre droite A B eft divifée. Par l'une des extrémités A de la droite A B je mene A C égale à la droite donnée a & qui faffe avec A B un angle quelconque. Enfuite, je tire CB, & des points de divifion I, F, D de la ligne AB, je mene parallelement à CB les lignes DE, FG, IH qui diviferont AC de la même maniere que la droite AB eft divifée. Car les lignes BC, DE, FG, IH étant paralleles, on a AB AC::AI:AH::IF: HG::FD:GE::DB:EC. 455. IV. Divifer une droite A B en un nombre quelconque n de parties égales. Par le point A on menera la ligne indéfinie A C fur laquelle ayant pris un nombre n de parties égales de telle grandeur que l'on voudra A E, EG, &c.. ... LC, on menera par l'extrémité C & par le point B la ligne CB. Cela pofé, les lignes LK, IH, &c, paralleles à CB diviferont la ligne AB en un nombre n de portions égales. Car AB: AC::AD:AE::DF:EG FH: GI, &c. Or A E=EG=GI= IL - - AC. Donc AD=DF=FH=—AB. n I 456. V. Divifer une droite donnée A B en moyene & extrême raifon; c'elt-à-dire, de maniere que le plus grand fegment F B foit moyen proportionel entre la ligne entiere AB & le plus petit fegment AF. Par l'extrémité A de la ligne A B élevez la perpendiculaire ACA B, & ayant mené C B, prenez FB= CB-AC; la ligne AB fera divifée en moyene & extrême raifon au point F. = AC+ Car C B2 ou FB2+2 ACxFB+AC 'AB'. Donc FBA B'2ACxFB-ABABXFB ABX AF. Donc AB: FB:: FB: AF. |