= cof(a+b)_cofa cofb-fin a fin b_cot b-tanga_1-tangatang b cof(a-b) cofacofb+finafinb cotb+tanga 1+tangatang b Si l'on fait a = bc, on aura tang 2 a= a tang c cotc 2 tang a I-tang tang' a eotc=2 cot c+ tang c. Or ( 549 ) tang // c = cofc) 2 cota + tanga (559). Donc cofec a cot a + tanga = cota+tanga 2 valeur cota-2 cota) On a auffi fec 2a = cota -cot a, en mettant pour tanga la 1-tang2 a i+tang a 2 tang a = Donc fec 2 a 2 tang a rang (45°+a), & tang ( 458 + a). ➡tang 2 a, & sec a=tang (45° + 1⁄2 a) — tang a = cot (45° — — a) — tang a. I cof a De ce que fec a= tang a cofec a ; & en substituant toutes les valeurs de cofec a trouvées ci-deffus, on aura fec a= tang a (cota + tanga) =tang a 2 (cota + tanga) = 1 + tang a tanga — tang a (cota - cota) Au refte toutes ces formules peuvent être variées d'une infinité de manieres, en les ajoutant, fouftrayant, divifant, &c. Mais il eft inutile d'infifter fur une matiere auffi facile; voyez l'Introduction à l'analyse des Infinis par M. Euler. Du Calcul des Tables de Sinus par les Séries. Il est arrivé pour les Tables des Sinus, ce qui étoit déja arrivé pour les Tables des Logarithmes. Les premiers Calculateurs avoient fini depuis long temps leur travail, lorfqu'on imagina des moyens de le fimplifier. Ces moyens cependant n'en font pas moins ingénieux, comme on peut en juger par celui que Jean Bernoulli propofe dans le II Volume de fes Ouvrages. En voici à peu-près l'analyse. tang (A+B)+tangC 1-tang C tang (A+B) refpectives des arcs a+b+c― abc 562. Si l'on remonte à la valeur de tang (a+b), on en déduira facilement tang (A+B+C): Soient donc a, b b, c les tangentes A, B, C, on aura tang (A+B+C): Pareillement fi a, b, c, d font les tangentes refpectives de quatre arcs A, B, C, D, on auɲa tang (A+B+C+D) = = 1-ab-ac-bc I ab - a c-bc a+b+c+d-abc-abd-acd-bcd 1 - ab- acad—bc-bd-cd+abcď D'où il fuit, en général, que fi l'on a un nombre quel conque d'arcs A, B, C, D, &c, on aura en nommant s la fomme de leurs tangentes, deux, leurs produits trois à Tang (A+B+C+D+&c) leurs produits deux à trois, &c) 5— sill+ sv -SVII +&c I- SII+ SIV Suppofons pour un moment que tous les arcs A, B, C, &c foient égaux, ft l'on nomme n leur nombre, tang A la tangente de l'un quelconque de ces arcs, on aura (313) Soit N le numérateur de cette derniere quantité, foit D le dénominateur; on aura, en faisant le calcul N2+D2 cofan A+ n cofan2 A fin2 A+ = n.n-t 2 ¢of 2n- * A fin* A+... fin2" A=(cof" A+ fin2 A)"— 1. Mais puifque d'un côté on a N2+D2 = 1, & que de N2 fin' `n A 2 il eft clair que N= l'autre on a tang2n A= fin n A, & que Dcofn A; on a donc en général.. Sin n An cof-1 A fin A n.n-1.72-2 .... cof-3 A fin3 A+... cofa- A fin2 A+ n.n-I. n -2.12- -3 cof^- + A fina A — &c. ... 2.3 4 Suppofons maintenant que l'arc A foit infiniment petit, enforte qu'il faille que n foit infini pour que l'arc n A foit d'une grandeur finie a, on aura, I fin AA, parce que l'arc infiniment petit ne diffère pas de fon finus. On aura, 2°....cfA 1, parce que le cofinus d'un atc infiniment petit eft égal au rayon. On aura, 3°. 3 &c, parce que n eft in fini; on aura enfin... A. Ces valeurs étant fubfti n 2.3 2.3.4.5 2.3.4.5.6.7 563. Soit maintenant l'arc a une partie quelconque de 90°; comme l'arc de 90°=1,570796326794896, &c. ... on aura, en appellant c ce nombre 90° C Sin = + m 2.3.m3 2.3.4.5.m$ 2.3.4.5.6.7.m7 TERMES POSITIFS. C9 - 2.3...9.m &c. = TERMES NÉGATIFS. On aura de même la valeur d'un cofinus quelconque par la formule fuivante qui en fubftituant les valeurs des puiffances de c, donne |