que l'on voit dans la figure (ou de l'autre côté fi DC devoit être né- FIG. gatif) on trouvera qu'un cercle décrit du centre C & du rayon v(CA2-pr), coupera la parabole aux points M, M', M" & M", qui détermineront les quatre racines de l'équation propofée. Il y en aura deux pofitives, favoir MQ & M'Q'; les deux autres feront négatives; & leur fomme fera égale à celle des deux premieres (317). REMARQUE. 773. Il peut arriver 1°, que le cercle coupe la parabole en quatre points, comme on le voit dans la Figure 182. 2°, Qu'il n'y ait que deux points d'interfection. 3°, Qu'il n'y en ait aucun. Or on fait (764) que dans le premier cas l'équation a fes quatre racines réelles; que dans le fecond cas, elle en a deux réelles & deux imaginaires; & que dans le troifieme cas, toutes ses racines font imaginaires. Vous remarquerez cependant que la conftruction précédente n'auroitpas lieu, fi l'équation à conftruire étoit x++ p2x2- p2 qx+p3 r—o. Mais en fuppofant à l'ordinaire x=py, on auroit...y+x-qx+ pro; équation au cercle, comme dans le cas précédent, & qui eft encore plus facile à conftruire, c'eft pourquoi nous ne nous y arrêterons pas PROBLEME VI. 774. Trouver les racines de l'équation... xp q x2 + p2 r x p'm2o, par le moyen d'un cercle & d'une hyperbole entre les afymptotes. -- Je fais xy=pm, & j'en déduis . . .x+ · p q x2 + p2 r x‹† x2y2 p2 r pry = 0 = x2 + y2 — p q + = x2+ y2 —Pq+ ; équation x au cercle, qui donne la conftruction fuivante. m Entre les afymptotes perpendiculaires QAQ', .& P" AP', foient décrites deux hyperboles équilateres oppofées, dont la puissance foit pm. Si on prend au-deffous de AP la ligne A C= pr 2 m & fi on décrit un cercle du centre C & du rayon (AC2+p q), ce cercle coupera les hyperboles oppofées aux quatre points M, M', M" & M"", qui détermineront les quatre valeurs de x, par les abfciffes AP, AP', A P" & A P'" Les deux premieres font pofitives, les deux dernieres font négatives; d'où l'on voit que cette folution ne peut avoir lieu que lorsque le dernier terme de l'équation propofée eft pofitif. Les principes que nous avons expofés dans le premier Chapitre des lieux géométriques, &ies applications que nous venons d'en faire dans la réfolution de divers problêmes, fuffifent pour donner au moins une idée des conftructions géométriques. Nous allons maintenant paffer au Calcul Différentiel. 183. ÉLÉMENTS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL. Iz en eft du Calcul Différentiel comme de l'Algebre: on ne fauroit le définir d'une maniere intelligible pour ceux qui n'en connoiffent pas les premiers éléments. Newton fut le premier Inventeur de ce calcul, & personne n'en eût partagé la gloire avec lui, s'il eût été plus empreffé de mettre au jour les découvertes. Mais l'efpece de mystère dont il les enveloppa dans l'origine, donna le tems à Leibnitz de marcher à grands pas dans la même carriere. Bientôt après Jacques & Jean Bernoulli y firent des progrès rapides; de-là cette vive conteftation que les Géomètres Allemands eurent avec les Géomètres Anglois, fur la part que Leibnitz avoit eue à cette nouvelle théoric. Sans entrer dans cette difcuffion, nous obferverons que d'autres Géomè tres avoient préludé depuis long-tems à la découverte du calcul différentiel. Il ne feroit même pas difficile de faire voir l'analogie qui regne entre ce calcul d'une part, & de l'autre la Méthode d'Exhaustion, fi connue des Anciens, la Méthode des Indivisibles, donnée par Cavalieri, & les procédés dont Fermat, Descartes, Barrow & tant d'autres faifoient ufage avant Newton. Les travaux de ces derniers Géomètres femblent avoir fervi d'échelons à ce grand homme. 775. Quoi qu'il en foit, fuppofons qu'une variable quelconque x reçoive un accroiffement fini e; de manière qu'après l'avoir reçu, fon état foit exprimé par x+e. On demande quels doivent être les accroilfements correfpondants des autres fonctions de x? D'abord il eft clair que fi x devientx+e, fon quarré x2 deviendrax2+ zex+ee; ainfile rapport de ces deux accroiffements fera I 2x+e Mais fie diminue, ce rapport augmentera, & il approchera de plus en plus de celui de Cependant il ne lui deviendra égal, qu'au moment où e I 2x I 2 x s'évanouira : le rapport est donc la limite de ceux que les accroiffements finis de x & de xx peuvent avoir entre eux. On trouvera de même que la limite de ceux de x & de x" eft 71-1 I 776. Or le calcul différentiel a pour objet de déterminer ces limites dans tous les cas. Voyez ce que M. d'Alembert a écrit fur cette matiere; Vous y trouverez les vraies notions de ce calcul. S'il refte encore quelques difficultés, c'eft qu'elles font inféparables des idées abftraites de li mite & d'infini. 777. Voici une des applications les plus propres à faire entendre la maniere de déterminer ces limites. Soit propofé de mener une tangente au point M de la courbe AM m, ou, ce qui revient au même, foit propofé de déterminer la foutangente P T. y On fuppofera que l'abfciffe A Px croît d'une quantité finié Ppe; on menera l'ordonnée P My, & on déterminera l'ordonnée mp, en fubftituantxe au lieu de x dans l'équation de la courbe. Quelle que foit la valeur de cette ordonnée, on pourra toujours la repréfenter par y Pe+ Qe2 + Re3 + &c. (P, Q, R, &c. étant des fonctions de x); on aura donc pour l'expreffion de rm, accroiffement correfpondant de l'ordonnée PM, la quantité Pe+Qe2 + Re3 + &c. Cela pofé, foient menées la fécante SM m, & la ligne Mr parallele & égale à Pp; on aura PS = RapP+Qe+Re2+ &c prochons maintenant le point p du point P; le point m s'approchera du point M, & le point S du point T: mais on aura toujours PS = Si la quantité Pp diminue encore & devient P+Qe+ Re2 + &c° très-petite, il ne s'en faudra que de très-peu que m ne fe confonde avec M, & que la fécante ne devienne tangente. Mais fi e s'évanouit, le rapport déja trouvé se réduit à, PS devient PT, Sm devient TM qui y n'a plus que le point M de commun avec la courbe, & la foutangente eft déterminée par cette limite. PAR EX. Si A Mm eft une parabole, on fubftituera x+e à 184 dans l'équation y=√ px, & on aura y I p1 (x+e)1=pix I On voit par là avec quelle promptitude cette méthode réfout le problême des tangentes, qui eft en quelque forte le berceau du calcul différentiel. Mais on verra bien plus amplement dans la fuite la conformité des réfultats de ce calcul avec ceux de l'ancienne Géométrie. En attendant, nous remarquerons que ces quantités Pp, ou Mr, &rm qui diminuent de plus en plus, à mefure que le point p fe rapproche du point P, font les éléments refpectifs de l'abfciffe AP & de T'ordonnée MP. 778. Ces éléments, quelque petits qu'on les fuppofe, confervent entre eux le même rapport que les quantités finies auxquelles ils appartiennent; ela eft vifible par la feule infpection des triangles femblables TPM & Mmr. Et comme la limite de ce rapport n'a lieu qu'au moment où ces éléments s'évanouiffent, on peut dire avec M. Euler, que le calcul différentiel a pour objet de faire connoître à quoi fe réduifent les rapports des éléments des quantités variables, lorfque ces éléments deviennent nuls. Mais ne pouvant devenir nuls, fans paffer par tous les degrés poffibles de diminution, on fent bien qu'il doit réfulter de leur décroiffement infini des idées un peu confules: car notre efprit ne comporte pas de perception claire de ce qui tient à l'infini. Auffi depuis fon origine, le calcul differentiel a-t-il éprouvé beaucoup de contradictions. Il en éprouvera fans doute encore; mais s'il falloit répondre à toutes les chicanes d'une Métaphyfique pointilleufe, on n'en finiroit pas. L'existence même du mouvement feroit encore un problême, fi on s'étoit arrêté aux difficultés que Zénon propofoit autrefois pour la combattre. Ce n'eft pas au refte que Maclaurin, dans fon Traité des Fluxions, n'ait répondu à la plupart des fophifmes dont quelques Auteurs ont voulu embrouiller la matiere. Mais on ne peut se diffimuler, que pour fuivre la marche rigoureuse de ce favant homme, il faut effuyer bien des longueurs. 779. Au refte, fi les principes dont Leibnitz eft parti, ne femblent pas auffi rigoureux que ceux de Newton, ils ont du moins l'avantage de conduire aux mêmes résultats, ce qui finit par infpirer le même degré de confiance. Or telle eft, fuivant Leibnitz, la fubordination d'une quantité infiniment petite par rapport à la quantité finie dont elle fait partie, qu'elle peut être négligée fans erreur fenfible, de même qu'on néglige une quantité finie par rapport à une quantité infinie. C'est ainfi, par exemple, que co 1, & plus généralement coa feréduifent à co. On peut regarder de même un infiniment petit du fecond ordre, comme une quantité qui s'évanouit par rapport à un infiniment petit du premier. Cela pofé, Leibnitz imagine qu'une variable x croiffe ou décroiffe 'd'une quantité infiniment petite, qu'il défigne par dx, & il cherche quels doivent être les accroiffemens ou les décroiffemens respectifs des autres fonctions de x. Son quarré x2, par exemple, devenant (x+dx) = x2 + 2 x d x + dxdx, il eft clair que dx dx doit être rejetté comme un infiniment petit du fecond ordre, & que par conféquent la différence entre x & x2+ 2 x dx eft + 2x d x. Ainfi l'accroiffement correfpondant du quarré d'une variable quelconque eft le produit du double de cette variable multipliée par fon accroiffement. 780. En général, la différence qui regue entre une quantité variable, avant qu'elle ait reçu aucune altération infiniment petite, & cette même quantité, après qu'elle a reçu quelque altération de ce genre, s'appelle la différentielle de cette quantité; ce qui a fait donner le nom de calcul différentiel, à la méthode qui détermine dans tous les cas ces différences. Newton lui avoit donné auparavant le nom de Calcul des Fluxions, par une fuite de l'idée qu'il s'étoit faite de la formation de toutes les quantités. Imaginant en effet que tout ce qui croît ou diminue dans la nature, reçoit ces accroiffements ou ces diminutions par le mouvement d'un de fes éléments, il appella calcul des fluxions, la méthode dont il fe fervoit pour déterminer les rapports de ces variations. 78. Il nomma Fluentes les quantités que Leibnitz appelle variables, & ce que nous défignerons par d x, il le défigna par un point mis fur x; enforte que dx & x fignifient la même chofe, & que fluxion de x, ou différentielle de x font abfolument fynonymes. Le feul avantage qu'il y ait à fe fervir de la lettre d, au lieu d'un point, pour marquer les différentielles ou les fluxions des variables, c'eft qu'elle les fait mieux reconpoître parmi d'autres quantités. Il eût même été à propos d'introduire dès le commencement quelque caractere propre à marquer les différentielles, comme on en a introduit un pour marquer les radicaux. Mais à préfent que l'ufage a prévalu, toute innovation de ce genre feroit déplacée, outre qu'elle auroit bien peu d'utilité. 782. Ainfi que les quantités finies & variable x & y ont des différentielles dx & dy, ces différentielles à leur tour en ont auffi. On les appelle Différences fecondes, pour les diftinguer des premieres, & on les défigne indifféremment par d d x & ddy, ou par &y. Les différentielles troifiemes font d d d x & dd dy ou x & y, & ainsi de suite. Pour abréger, on écrit d2 x, d3 x au lieu de ddx, dddx. En général, la lettre d mife devant une quantité quelconque indique qu'il faut différentier cette quantité; & l'expofant de la même lettre d'annonce combien de fois de fuite il faut procéder à la différentiation. Lorfque la quantité propofée eft polynome, on la met entre deux parentheses, que l'on fait précéder de la lettre d. Ainfi d (x2 + y2) indique qu'il faut différentier le binome x2+y2. aa-xx 783. Quoique les différentiellés de même degré foient toutes infiniment petites, elle ne font égales entre elles, que lorfqu'il y a égalité entre les quantités variables, dont elles dépendent refpectivement. En attendant que nous enfeignions la maniere de trouver l'expreffion du rapport que peuvent avoir des quantités qui s'évanouiffent en même temps, ; il eft certain que a +x exprime la valeur de cette fraction, quelle que foir la valeur de x ; mais fix=a, la fraction se réduit à, & le quotient devient 2 a. Voilà donc un exemple de ces fortes de fractions dont le numérateur & le dénominateur s'évanouiffent en même temps, & qui cependant ont des valeurs très-réelles. foit a-x a 784. Si on fuppofe infini le divifeur d'une quantité finie quelconque , il eft clair que le quotient doit alors le réduire à zéro. On a donc = 0; ce qui donne ao x∞ ; d'où il fuit que zéro multiplié par une quantité înfinie peut représenter indifféremment toute forte de quantités finies; réciproquement, que toute quantité finie divisée par |