Donc le rayon de la développée pour toutes les fections coniques ni c'est-à-dire, qu'il eft égal au cube de la normale divifée PP , ce par le quart du quarré du parametre. D'où il fuit que dans le cercle où cercle. FIG que xo, n = P, & le rayon de la développée, ou la droite = MN3 * Dans la parabole, le rayon MC =NTX I APP &x MN par conféquent CO ou PQNT=2x+P; donc AQ= ** 3 x + 1⁄2 p = 3 × + AB, & par conféquent BQ=3x, ce qui donne mais d'un une conftruction bien fimple pour déterminer le point C, ou le centrecôte #p=, du cercle ofculateur; prenez BQ=3 AP, & menez CQ perpendicu° (669), PN laire à AQ, le point de concours C des deux lignes MC, CQ fera le centre du cercle cherché. et de l'autre Sestrungle Pour trouver l'équation de la développée, foit B Q=z, CQ=", semblables on aura {, & p÷y :: QN: CQ:: 2x: u = put Donc =∞3 3, & q2 = 17 pu2; ce qui faitMN:: MN: 16 NT= MN PN en voir que la développée de la parabole ordinaire eft une feconde Par la nature des développées AB+B CMC. Donc BCMC-MN PN =NT. MN PN Substituant FIG. MC-P M N3 - por M N = √( p x + { PP) = √ (} P { + pp). On a donc, en faisant pa, BC÷ • [(1 + 2)2 - 1], expreffion d'un arc quelconque de la fe 4 a conde parabole cubique dont l'équation est q3 — a ¿2. 190. 816. Soit la cycloïde A MB a, fon cercle générateur BODO', l'ordonnée M OP perpendiculaire à B D. Si on fait BP=x, PM * La Simi = y, BD2 a, on aura y BO+ √(2 ax -litude des tangles différentielle de l'arc BO eft DOP, BOD adx ad (fin BO) a a-x cof BO (za OD::OD: dx √2 a x-xx), équation différentielle de la cycloïde. BD, ou 2a-x: OD: OD:2a; Cela pofé, pour trouver le rayon MC de la développée, fuppofons par Conseqdx conftante, & nous aurons en différentiant, ddy "-cent OD 2= (dx2 + d y2 ) i dxddy = 2 20D = 2x 2 Vza (za-x)=2 OD; or MN C eft parallele à O D, puif *(Vza(2a-x)) que (733) la tangente MT eft parallele à OB. Donc OD= Il fuit de-là 1o que le rayon de la développée au point A eft nul; au point & que par conféquent la développée paffe par ce point. 2°. Que le A Labinayon de la développée au point B eft la ligne BE double de BP-x devieBD. 817. Pour déterminer la développée ACE, achevons le rectangle AE, & fur le côté A B': DE BD, comme diametre, décrivons un demi-cercle A' Q'B', menons AQ' parallele à CM, mettant & joignons C & Q'; cela pofé, l'angle NAQNDO. Donc ra pour OD=AQ, & Parc OID ou la droite AN l'arc A LQ! dans L'expor OD=CN. Donc CN=AQ, & par conféquent CQ' = rission de AN=l'arc ALQ'; propriété diftinctive de la cycloïde ordinaire; MC on auradoù il fuit que la développée ACE eft une demi-cycloïde égale celle que l'on avoit déja, AM B. Elle n'en differe que par MC=2V/2a/zapofition. On auroit trouvé la même chofe, en cherchant directe-2a)=2V-oment l'équation de la développée, par ce qui a été dit (812). L'arc ACMC 2AQ'; donc un arc quelconque de cy =0. fa acepoint cloïde eft double de la corde correspondante du cercle générateur. Bona x=0 et, par conséquent, MC=2√2a(2α-0) = 2 Ainfi MB2OB, AMB BD, & la cycloïde entiere AB a FIG. eft quadruple du diametre B D. 818. Soit la spirale logarithmique ADM dont le centre est A, dy ; & en différentiant, (dx étant dx fuppofée conftante), on aura ddyo, & le rayon de la déve loppée MC= y dx y (dx2 + dy2) dx (dx2 + dy2) — y d x d d y fe réduit à... ✓ (dx2+ dy2). Donc fi on mene AC perpendiculaire à MA, & MC perpendiculaire à la tangente en M, leur point de concours C fera fur la développée : car les triangles femblables Mrm & MAC donnent Mm: Mr:: MC: MA, c'est-à-dire dsou V (dx2+dy'): dx:: MC: y; donc MC= y √ (dx2+dy2). 819. L'angle ACM= 90°. dx AMCAMT; d'où il fuit que la développée ABC eft la même fpirale logarithmique ADM; elle eft feulement difpofée d'une maniere différente. Il fuit de-là que la tangente M C eft égale en longueur à la fpirale AB C, quoique celle-ci faffe une infinité de révolutions autour du point A. Donc auffi, fi on mene AT perpendiculaire à AM, on aura_M T ADM. La Spirale logarithmique & la cycloïde font donc elles-mêmes leurs développées. Des Points d'inflexion, & de la méthode de Maximis & Minimis. l'arc 820. Si une courbe AMO de convexe qu'elle étoit, devient concave, le point M où ce changement arrive, eft ce que l'on appelle un point d'inflexion. Pour déterminer ces fortes de points, on peut regarder la tangente en M comme étant tout à la fois tangente des deux parties MA, MO; & dans cette fuppofition on peut imaginer de part & d'autre du point M deux éléments M m, M m' en ligne droite, d'où il fuit que le rayon de la développée au point M doit alors être infini. Mais comme ces éléments peuvent être fuppofés décroître de plus en plus, de maniere à s'évanouir tous deux le rayon de la développée doit alors fe réduire à zéro. 821. Donc au point d'inflexion, le rayon de la développée eft toujours infini, ou nul. Donc en supposant dx constante, on aura 191. 1928 On différentiera donc deux fois l'équation de la courbe, en fuppofant dx conftante; & on aura la valeur finie de ddy dx2 que l'on égalera à zéro ou à l'infini. Au moyen de cette équation & de celle de la courbe, on déterminera les valeurs de x & de y qui conviennent au point d'inflexion, ou aux points d'inflexion, s'il y en a plufieurs. 822. Lorfque les ordonnées partent d'un point fixe, alors on a dx2+dy-yddy dx2 o ou∞. Ex. I. Soit la premiere parabole cubique dont l'équation eft y3 a2x, ou aura y = x a 2 Ex. II. Soit la conchoïde de Nicomede, dont l'équation eft y= b+x x √ (aa-xx); on a en differentiant ; différentiant de nouveau en supposant dx ddy d'x2 * point d'inflexion. Donc x3 + 3b x2. • 2 a2 b o, équation qui étant réfolue (338), donnera pour x la valeur qui convient au point d'inflexion. Ex. III. Soit une courbe qui ait pour équation y (x—a)3, il s'agit de trouver les valeurs de x & de y qui répon dent au point d'inflexion, au cas qu'il doive y en avoir, qui étant égalée à zéro, ne fait rien connoître; il faut donc l'éga- FIG. ler à l'infini, & on a x=a=y; valeurs qui répondent au point d'inflexion. 823. Si l'ordonnée M P d'une courbe quelconque B M eft plus 193. grande ou plus petite que celles qui la précédent (pm), & que celles qui la fuivent (p'm'), on lui donne alors le nom de Maximum ou de Minimum; & la méthode qui apprend à déterminer ces fortes de quantités, fe nomme la méthode de Maximis & Minimis. 824. Si CM eft le rayon du cercle ofculateur au point M, il eft clair que l'ordonnée MP doit être plus grande ou plus petite que toute autre ordonnée correfpondante à quelque point de l'arc KMD décrit dư rayon CM; d'où il fuit que l'ordonnée MP (prolongée dans le cas du Minimum paffe par le centre du cercle ofculateur: donc la tangente en M eft parallèle à l'axe AP, & par conféquent la foutangente y dx dy c. Donc =0. dy dx Or y peut être confidérée comme une fonction quelconque de l'abfciffe AP (x), d'où il fuit que pour favoir dans quels cas une quantité y dépendante de peut devenir un Maximum ou un Minimum, il faut bien différentier l'équation qui exprime leur rapport, & égaler à zéro la quantité L'équation qui en réfultera, combi dy dx née avec la premiere, donnera les valeurs de y & de x dans lesquelles y eft un Maximum ou un Minimum. 825. Mais pour diftinguer lequel de ces deux cas a lieu, il faut obferver que le rayon de la développée au point du Maximum eft pofitif, & qu'il eft négatif au point du Minimum. Or l'expreffion dy2 2 ddy •) d x2 du rayon ofculateur eft (i+ ddy dx2 ; & comme Donc, fi y eft un Maximum ; -dx2 on a CM= doit être négatif, & s'il eft un Minimum, ddy dx2 ddy dy ddy dx doit être pofitif. S'il arrive que d'inflexion, ou de rebroussement, la tangente en M fera paralléle à l'axe, mais il pourra fe faire que MP ne foit ni un Maximum ni un Minimum. Voyez la Fig. 192. soit infini ou nul, alors M fera un point 826. Il peut encore arriver que l'ordonnée PM foit un Maximum ou un Mininum, lorsque la tangente en M eft perpendicu |