FIG. =∞; formule qui déterminera ces fortes d'ordonnées. Alors MP peut être tout à la fois un Maximum & un Minimum à l'égard 195. des deux branches MB, M B'. Mais ce n'eft qu'un cas particulier renfermé dans celui dont nous venons de parler, & dont voici quelques exemples. telles un 827. I. Soit propofé de divifer une droite a en deux parties, Maximum ou un Minimum. En nomleur rectangle foit que mant x l'une de ces parties, a- x fera l'autre, & on aura ax-xx pour l'expreffion du Maximum ou du Minimum. Soit donc y=ax dy dx --xx, & on aura =a2x=o, d'où x— a. Pour fa voir maintenant fi cette folution donne un Maximum ou un Mini dy mum, je différentie l'équation =a-2x, & j'ai ddy a quantité négative; d'où il fuit que la valeur x == 2 dx 2 donne un Ma ximum y=4a2. En général, fi y=x” (a — x )", pour que cette quantité soit II. Trouver les diametres conjugués de l'ellipfe qui font entre-eux le plus petit angle. OR Soient mn ces diametres, p l'angle qu'ils font entre-eux, aura (684) m n fin p = ab, & m2 + n2 = a2+b2. Donc a b fin P o; donc n V d fin p · a b ( a2 + b2 - 2 n2) & dn m. n2 (a2 + b2 - 12) Ainfi les diametres conjugués & égaux de l'ellipfe font ceux qui par leur interfection forment le plus petit angle cherché. Le finus de cet 2 ab =2 fin u. cof u = fin 2 u; donc l'angle p eft egal à celui que FIG. forment entre elles les deux lignes menées des deux extrémités du petit axe à une du grand. III. De toutes les paraboles que l'on peut couper dans le cône droit D CB, déterminer celle qui a le plus de furface. Soit B Da, C D = b, BP = ≈ on aura a:b::x:AP b x a PM = v(ax-xx) v (ax-xx)=y; donc bx a a ( x): √ (ax — xx) = α = a x − x x + 2 x ) = 1⁄2 a x − 2 x x. D'où x=&a, folution qui donne un 138. 196. Maximum, parce que IV. De tous les triangles conftruits fur la même base A B, & de même périmetre, quel eft celui qui a le plus de furface? Soit le demi-périmetre =q, la base A Ba, le côté A M —x, M B fera 2 q -a-x. Donc en appellant y la furface, on aura (492) yv [q.qa . q—x. (a + x−q)] lq +1(q-a) +1 (q − x ) + 1 ( a +x-q) 828. Il fuit de-là qu'entre tous les triangles ifopérimetres ou de même contour, celui qui a le plus de furface eft équilatéral. Car fi AMB eft le triangle cherché, il eft clair qu'il doit avoir plus de furface que tout autre triangle ifopérimetre A M B conftruit sur la même base A B; donc AMM B. On prouvera de même que AM AB. 829. Jufqu'ici nous n'avons confidéré que le Maximum ou le Minimum des fonctions d'une feule variable x. Pour trouver dans quels cas une fonction quelconque Y de deux variables x & y devient un Maximum ou un Minimum, on peut fe fervir de la méthode fuivante. (Le mot fonction eft pris généralement pour toute expreffion dépendante de la valeur des deux variables). Suppofons que y a déja la valeur propre à rendre la fonction Y 197. un Maximum ou un Minimum; il ne s'agira donc plus que de trouver la valeur convenable dex, c'est-à-dire qu'il faudra différentier la fonction Y en faisant varier x feule, & égaler le coefficient de dx à zéro. En faisant un raisonnement femblable, on verra que pour avoir y, il faut différentier la fonction Y en faifant varier y feule, & égaler le coefficient de dy à zéro. D'où il fuit que fi d Y eft représenté généralement par Pdx+Qdy, on doit avoir P — =o, Q: o, équations qui donneront les valeurs de ≈ & de y propres à rendre la fonction Y Maximum ou Minimum. Or il eft aifé de voir que ce même raisonnement a lieu quel que foit le nombre des variables dont Y peut repréfenter une fonction. D'où il fuit en général, que pour connoître les valeurs des variables qui rendent la fonction Y Maximum ou Minimum, il faut prendre la différentielle totale de Y, & égaler à zéro le coefficient de la différentielle de chaque variable, ce qui donnera autant d'équations que d'in connues. Par exemple, foit propofé de divifer le nombre donné a en trois par ties dont le produit foit un Maximum. En appellant x & y deux de ces parties, la troifieme sera exprimée par a-x-y, & on aura xy (a-x-y) dont la différentielle = (a − 2 x-y) ydx+(a-2y-x)x dy. Egalant donc féparément à zéro le coefficient de dx & celui de dy, on aura a-2xy=o—a— x, d'où y≈ 4. Il faut donc diviser le nombre donné en trois parties égales. -2y Propofons-nous maintenant de trouver entre tous les triangles isopérimètres celui qui a le plus de furface. Nous avons déja résolu ce problême, mais indirectement. Soient x, y deux de fes côtés, 2q le périmetre, 2 qxy fera l'autre côté, & la furface [ q 9 x.q-y (x + y−q)} devant être un Maximum, fi on la nomme Y on aura 2/Y-lq = ? ( 9 - x) + 1 ( q − y ) + 1 ( x + y − q ), Donc dY I x + y J Y dx = 2 I x + y Չ 9 y égalant à zéro le coefficient de dy & celui de dx, on a x+y-q gle cherché eft donc équilatéral, comme nous l'avons déja trouvé. Pour s'exercer à la résolution de quelques autres problêmes de ce genre, on peut chercher la réponse aux queftions fuivantes. I. De tous les quarrés inferits dans un quarré donné, quel eft le plus petit? II. De toutes les fractions, quelle eft celle qui surpasse sa puissance m de la plus grande quantité poffible? III. Quel eft le nombre x dont la racine x est un Maximum? IV. On voudroit conftruire une mefure cylindrique d'une capacité donnée, & dont la furface intérieure fût un Minimum. Quel rapport doit-il avoir entre la hauteur de cette mesure & le diametre de fa base? y V. Entre tous les cylindres que l'on peut infcrire dans une même sphere, quel eft celui dont la furface convexe eft un Ma ximum? VI. Parmi tous ces cylindres, lequel a le plus de folidité? VII. Quelles doivent être les dimensions du plus grand cylindre qu'il foit poffible d'infcrire dans un cône donné? VIII. De tous les triangles qui ont même base, & qui font infcrits dans le même cercle, quel eft le plus grand? IX. Quel feroit, au contraire, le plus petit de ceux qui feroient circonfcrits au même cercle? Des Fractions dont le Numérateur & le Dénominateur Se réduisent à zéro dans certains cas. 830. On trouve quelquefois des expreffions algébriques en forme de fractions, qui fe réduifent à . Telle eft, par exemple, la quantité. lorfque xa. Or, quoique indéterminés en apparence, ces résultats font pourtant fufceptibles de valeurs déterminées, & voici une méthode pour les trouver. Soit une fraction dont le numérateur & le dénominateur font des fonctions de x qui fe réduifent l'une & l'autre ào lorfque x=a. Pour en trouver la valeur, on fubftituera x + dx au lieu de x dans P P+dP & dans Q, & on aura : faisant enfuite xa dans cette Q+dQ dP fraction, elle fe réduira à ; & ce fera la valeur de la fraction ¿Q propofée dans la fuppofition de x = a+dx, ou de x=a, fi toute fois les termes de la fraction ne s'anéantiffent pas encore en faifant x=a. ¿Q a- Vax3 qui devient lorfque xa. En prenant les différentielles féparément, on aura 831. Mais s'il arrive qu'en fubftituant a au lieu de x dans cette fraction devienne auffi dp dQ on la traitera de même que la pre miere & ainfi de fuite, jufqu'à ce qu'on ait une valeur dont un des termes au moins foit fini. Ex. Si on différentie la même équation-x:x:x3 : হলই IX on aura après avoir divisé par mais cette nouvelle expreffion donne encore x; il faut donc différentier féparément fon numérateur & fon déno minateur, & on aura − n x2 - 1 (n + 1)2 + n. n + 1 . 7 + 2 . x2 + 72 — 2 ( Į x) } |