Page images
PDF
EPUB
[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]
[ocr errors]

x

X.

+

[merged small][ocr errors]

b2 m2. p (p − 1 ) x "*1*2m (a+bxm; p=2

[ocr errors]

(1 + n) (1 + n +m) (1+n+2m)

•P.P-1.p-2......(p-i+2)

(1+x) (1+~+ m) (1 + n + 2 m)...[1+n+m(i-1)]

̧1+n+m(i-1)

nim

- &c.

(a+bxm) p = i + 1 = S x d x ( a + bxTM ) ? • i

b'm'. p.p-1...(p—i+1)

(I+n) (1+n+m)... [1+n+m (i−1)]

; le figne fupérieur est

9

eft un nom.

pour le nombre entier i impair, & l'inférieur pour i pair. Il est clair à présent que fi p — i =q, ou fip bre entier i, l'intégrale de xdx ( a + bxTM)3 se réduira à celle de x ("+imdx (a+b xTM), laquelle pouvant être réduite à . . . . . .

[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

entier pofitif, la formule propofée pourra s'y réduire auffi.

Qu'il s'agiffe, par exemple, de ramener fx+ dx (1-xx) à

sd x ( 1 − xx); on aura a = 1, b—

[ocr errors][merged small]

q={,r=o,p—q=i=2. Donc fx+ d x ( 1 − xx)3

[ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][subsumed][ocr errors][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][subsumed][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][subsumed][ocr errors][ocr errors][subsumed][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][subsumed][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors]
[merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][subsumed][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors]

861. La méthode réuffira toujours, lorfque p-q fera un nombre entier pofitif; mais s'il étoit négatif, ou fi q étoit plus grand que p, au lieu de ramener fx dx (a+b) à la formule

[ocr errors]

[x" dx (a+bx), il faudroit réduire celle-ci à la premiere, & on auroit une intégrale de cette forme

Sx* dx (a+bxm2 )2 = X + A sx2 dx (a+b xTM)P; d'où par une fimple tranfpofition on déduiroit

[merged small][merged small][merged small][merged small][subsumed][ocr errors][merged small]

EXEMPLE. Soit la différentielle xa d x ( 1 + x x )°3 qu'il faut ramener à d x ( 1 + xx)1. Je suppose, au contraire, qu'il faut ramener celle-ci à la premiere, & j'ai n =0, a = 1 b=1,m=1, p=1,9=-3,r=4, P-q=i= 2. Doncfdx(1+xx)=

I

-2

*(1+xx)`1+7x3 (1+xx) ̃2 + } fx+ d x ( 1 + xx) ̃3, & par conféquent, fans avoir recours à la premiere formule, j'ai fx+ dx (1+xx)"3 = − × (1+xx)`' —4x3 (1+xx)`1 +

¿sdx (1+xx)". Or fdx (1+xx)

de cercle dont le rayon eft i

[blocks in formation]

dx

=S

l'arc

I+xx

[ocr errors]

d tang z s+tang

& dont la tangente eft x; car
dx
I+xx

[ocr errors]
[ocr errors]

fait tang = x.

[ocr errors]

En général, cette méthode peut fervir à ramener l'intégrale de

I

2k dx ( 1 + xx) ̄” à celle de dx (1+xx) ̈1, ou à un arc de

cercle.

De l'Intégration des Fractions différentielles rationelles.

Pdx

862. Suppofons que fóit une fraction rationelle, & que le

unité

Q

plus grand exposant de x dans P foit plus petit, au moins d'une que dans Q. S'il ne l'eft pas, on divifera le numérateur par le dénominateur, jusqu'à ce que cette derniere condition ait lieu.

Soit, par exemple,

a

x d x

[ocr errors][merged small][merged small]
[blocks in formation]

dont la feconde partie eft telle que nous l'avons fuppofée

[merged small][ocr errors]

863. Cela pofé, on cherchera les facteurs de Q, comme fi on avoit à résoudre l'équation Qo; & s'ils font tous du premier degré, réels & inégaux, alors la fraction propofée fera de cette ax ·m-1+ bx,m-2 &c...+w fuppofant que le (x-f)(x-g) (x-h) &c.

forme

d x en

nombre des facteurs x-f, x-g, &c foit m. Pour intégrer dans ce cas on décompofera cette fraction en celles-ci..

Adx

B dx

+ +&c, dont l'intégrale eft A/(x-f)+Bl(x-g) x-f X- g

+ &c. ....

avec une constante, & on déterminera les coefficients A, B, &c, en réduifant d'abord au même dénominateur, en transpofant enfuite, & égalant fucceffivement à zéro le coefficient de chaque puiffance de x, ce qui donnera autant d'équations que d'inconnues.

[merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small]
[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small]

864. Cette méthode réuffira toujours lorfque les facteurs du dénominateur propofé seront tous réels & inégaux; mais fi quelques-uns d'entre eux étoient égaux, fi(x -a)" par exemple, représentoit un nom bre m de ces facteurs, alors on décompoferoit la fraction en celles-ci, Adx Bdx A'xm-1+ B'xm-2+ &c. + x-f x-g

+ &c..... +

+R

dx,

& après avoir déterminé les coefficients, comme ci-dessus, on inté

[blocks in formation]

( x — a jm

dx+

B'xm-2
(x-a)m

dx + &c, ou en général,

x* dx (x − a)"", en faisant x-az.

(x2+x2+2)dx dont on cherche l'intégrale. Je fup

x (x − 1 )3 (x+1)2 (x3+x2+2)dx

[ocr errors]

Ex. Soit

pole

=

[merged small][ocr errors][merged small]

Adx (B x + C) dx
+

(x-1)

+

(Dx+E) dx, d'où A = 2, B-, C, D=— {, E=—};

[merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

ce qui la change en (4— 3 z ) d z — 4 d z _ 3 dz

[merged small][merged small][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

grale eft — — — 3/3 ==—32(x-1); & en traitant de

[ocr errors]

4

x-I

la même maniere l'autre fraction, je trouve pour l'intégrale totale,

[merged small][merged small][merged small][merged small][subsumed][ocr errors][ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

865. S'il y avoit dans Q des facteurs imaginaires, en représentant l'un d'eux par x++a+bv. -I il y en auroit un autre de la forme x + a by -1. Donc leur produit x2 + 2 a x + a2 + b2 feroit un facteur réel de Q. On chercheroit donc (347) les coefficients 2 a a2+b2, & le facteur réel du fecond degré x2+2 ax+ a2 + b2, ou pour abréger, le facteur x2+mx+n feroit déterminé. Ainfi on (Ax+B) dx eft une des fractions partielles de

fuppoferoit que

Pdx

Q

[ocr errors]

& on détermineroit A & B comme ci-deffus.

Ensuite, faisant x+{m=z, la fraction deviendroit (A+B) d

[blocks in formation]
[merged small][ocr errors]

1+??
b'b'

A'zdz {{+b'b'

=

[merged small][ocr errors]
[merged small][ocr errors]
[ocr errors]

? ( { { + b'b'), &

× Arc de cercle dont la tangente eft.

× Are tang,+C; on auroit donc l'intégrale demandée.

[merged small][merged small][ocr errors][merged small][ocr errors][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small][merged small][ocr errors][merged small]

1+1

14+33

dz

[ocr errors]
[ocr errors]

dont l'intégrale est

{ / (1 + z ) − / 2 ( x + { } ) — ¦ Arc tang x+C.

[blocks in formation]
« PreviousContinue »