x X. + b2 m2. p (p − 1 ) x "*1*2m (a+bxm; p=2 (1 + n) (1 + n +m) (1+n+2m) •P.P-1.p-2......(p-i+2) (1+x) (1+~+ m) (1 + n + 2 m)...[1+n+m(i-1)] ̧1+n+m(i-1) nim - &c. (a+bxm) p = i + 1 = S x d x ( a + bxTM ) ? • i b'm'. p.p-1...(p—i+1) (I+n) (1+n+m)... [1+n+m (i−1)] ; le figne fupérieur est 9 eft un nom. pour le nombre entier i impair, & l'inférieur pour i pair. Il est clair à présent que fi p — i =q, ou fip bre entier i, l'intégrale de xdx ( a + bxTM)3 se réduira à celle de x ("+imdx (a+b xTM), laquelle pouvant être réduite à . . . . . . entier pofitif, la formule propofée pourra s'y réduire auffi. Qu'il s'agiffe, par exemple, de ramener fx+ dx (1-xx) à sd x ( 1 − xx); on aura a = 1, b— q={,r=o,p—q=i=2. Donc fx+ d x ( 1 − xx)3 861. La méthode réuffira toujours, lorfque p-q fera un nombre entier pofitif; mais s'il étoit négatif, ou fi q étoit plus grand que p, au lieu de ramener fx dx (a+b) à la formule [x" dx (a+bx), il faudroit réduire celle-ci à la premiere, & on auroit une intégrale de cette forme Sx* dx (a+bxm2 )2 = X + A sx2 dx (a+b xTM)P; d'où par une fimple tranfpofition on déduiroit EXEMPLE. Soit la différentielle xa d x ( 1 + x x )°3 qu'il faut ramener à d x ( 1 + xx)1. Je suppose, au contraire, qu'il faut ramener celle-ci à la premiere, & j'ai n =0, a = 1 b=1,m=1, p=1,9=-3,r=4, P-q=i= 2. Doncfdx(1+xx)= I -2 *(1+xx)`1+7x3 (1+xx) ̃2 + } fx+ d x ( 1 + xx) ̃3, & par conféquent, fans avoir recours à la premiere formule, j'ai fx+ dx (1+xx)"3 = − × (1+xx)`' —4x3 (1+xx)`1 + ¿sdx (1+xx)". Or fdx (1+xx) de cercle dont le rayon eft i dx =S l'arc I+xx d tang z s+tang & dont la tangente eft x; car fait tang = x. En général, cette méthode peut fervir à ramener l'intégrale de I 2k dx ( 1 + xx) ̄” à celle de dx (1+xx) ̈1, ou à un arc de cercle. De l'Intégration des Fractions différentielles rationelles. Pdx 862. Suppofons que fóit une fraction rationelle, & que le unité Q plus grand exposant de x dans P foit plus petit, au moins d'une que dans Q. S'il ne l'eft pas, on divifera le numérateur par le dénominateur, jusqu'à ce que cette derniere condition ait lieu. Soit, par exemple, a x d x dont la feconde partie eft telle que nous l'avons fuppofée 863. Cela pofé, on cherchera les facteurs de Q, comme fi on avoit à résoudre l'équation Qo; & s'ils font tous du premier degré, réels & inégaux, alors la fraction propofée fera de cette ax ·m-1+ bx,m-2 &c...+w fuppofant que le (x-f)(x-g) (x-h) &c. forme d x en nombre des facteurs x-f, x-g, &c foit m. Pour intégrer dans ce cas on décompofera cette fraction en celles-ci.. Adx B dx + +&c, dont l'intégrale eft A/(x-f)+Bl(x-g) x-f X- g + &c. .... avec une constante, & on déterminera les coefficients A, B, &c, en réduifant d'abord au même dénominateur, en transpofant enfuite, & égalant fucceffivement à zéro le coefficient de chaque puiffance de x, ce qui donnera autant d'équations que d'inconnues. 864. Cette méthode réuffira toujours lorfque les facteurs du dénominateur propofé seront tous réels & inégaux; mais fi quelques-uns d'entre eux étoient égaux, fi(x -a)" par exemple, représentoit un nom bre m de ces facteurs, alors on décompoferoit la fraction en celles-ci, Adx Bdx A'xm-1+ B'xm-2+ &c. + x-f x-g + &c..... + +R dx, & après avoir déterminé les coefficients, comme ci-dessus, on inté ( x — a jm dx+ B'xm-2 dx + &c, ou en général, x* dx (x − a)"", en faisant x-az. (x2+x2+2)dx dont on cherche l'intégrale. Je fup x (x − 1 )3 (x+1)2 (x3+x2+2)dx Ex. Soit pole = Adx (B x + C) dx (x-1) + (Dx+E) dx, d'où A = 2, B-, C, D=— {, E=—}; ce qui la change en (4— 3 z ) d z — 4 d z _ 3 dz grale eft — — — 3/3 ==—32(x-1); & en traitant de 4 x-I la même maniere l'autre fraction, je trouve pour l'intégrale totale, 865. S'il y avoit dans Q des facteurs imaginaires, en représentant l'un d'eux par x++a+bv. -I il y en auroit un autre de la forme x + a by -1. Donc leur produit x2 + 2 a x + a2 + b2 feroit un facteur réel de Q. On chercheroit donc (347) les coefficients 2 a a2+b2, & le facteur réel du fecond degré x2+2 ax+ a2 + b2, ou pour abréger, le facteur x2+mx+n feroit déterminé. Ainfi on (Ax+B) dx eft une des fractions partielles de fuppoferoit que Pdx Q & on détermineroit A & B comme ci-deffus. Ensuite, faisant x+{m=z, la fraction deviendroit (A+B) d 1+?? A'zdz {{+b'b' = ? ( { { + b'b'), & × Arc de cercle dont la tangente eft. × Are tang,+C; on auroit donc l'intégrale demandée. 1+1 14+33 dz dont l'intégrale est { / (1 + z ) − / 2 ( x + { } ) — ¦ Arc tang x+C. |