mot multiplié, lequel n'ayant été mis en ufage dans l'Arithmétique, que pour fignifier des additions répétées d'une même quantité pofitive doit naturellement offrir un fens louche, quand on le fait fervir pour marquer une véritable fouftraction de quantités négatives. Or c'eft ce que l'on fait, en difant, par exemple, que + ab De la Divifion algébrique. -ax - b 129. QUAND on veut divifer une quantité algébrique par une autre, on les met ordinairement en fraction. Ainfi pour divifer 2bc par mn, on écrit 2bc ; & parce que le numérateur de cette fraction n'a rien de commun avec fon dénominateur, elle eft cenfée irréductible à de moindres termes. On fe contente alors d'indiquer la divifion. m n Mais lorsqu'on peut réduire la fraction algébrique à une plus fimple expreffion, il ne faut pas manquer de le faire. On y réuffira communément au moyen des quatre regles fuivantes. (Je dis communément, parce qu'il y a certains cas où l'on eft obligé de fe fervir, outre cela, de la méthode du plus grand commun divifeur, avec quelques modifications). I. Pour les fignes. Le quotient de deux termes qui ont un même figne, eft pofitif; & le quotient de deux termes qui ont différents fignes, eft négatif. II. Pour les coefficients. Si on peut les divifer fans refte l'un par l'autre, il faut les effacer tous deux, & mettre leur quotient à la place du plus grand coefficient i s'ils ne font pas divifibles fans refte, il faut les laiffer en fraction tels qu'ils font; enfin s'ils font égaux, il faut les effacer l'un & l'autre. III. Pour les lettres. Effacez celles qui étant communes au dividende & au divifeur, ont le même expofant dans les deux termes; & par-tout où elles font feules, écrivez I à leur place. IV. Pour les expofants. Quand une même lettre se trouve avec des expofants différents dans le dividende & dans le divifeur, on l'efface dans le terme où elle a l'expofant le plus petit, (on met 1 à fa place, fi elle eft feule) & dans l'autre terme on ne lui laiffe pour expofant que la différence des deux expofants primitifs. EXEMPLES. Pour divifer 4ac3 de3 par 2bd3e3f, je dis d'abord; + 4 divifé par 2 = 2; que je mets au quotient, pour lui fervir de coefficient. Je paffe à la regle des lettres, en difant, les lettres a & c ne fe trouvent que dans le dividende, & les lettres b & ƒ ne fe trouvent que dans le diviseur, il faudra donc les mettre au quotient, chacune à leur place. Puis, je vois par la je conclus que le quotient cherché eft bdf 3a3 Pareillement, je trouverai que 12a b3 3 I 4ab3 en difant 4. J'efface 3 dans le dividende & je mers 4 à la place de 12 dans le divifeur : puis je vois que felon la regle des expofants, il faut mettre 1 dans le dividende à la place de a3, & laiffer a' ou a feulement dans La regle des coefficients & celle des expofants ne font, comme l'on voit, que des réductions de fractions aux expreffions les plus fimples. plement aa ou d'où il fuit que cette réduction exige que la différence des deux expofants ferve d'expofant à la lettre qui avoit le plus grand, & que l'on fubftitue 1 à la lettre dont l'expofant étoit le plus petit, fi elle est toute feule. 130. Ces regles peuvent s'appliquer aux fractions des Polynomes, lorfqu'il fe trouve une même quantité dans tous les termes du dividende & du diviseur. Ainfi ax-rabx 1-26 fe réduit à + en effaçant ax dans tous les termes, & mettant 1 à sa place dans ceux où il fe trouve ax+axx feul. 131. On divife auffi les Polynomes comme dans l'Arithmétique; & quoiqu'il arrive rarement que cette divifion fe puiffe faire, il faut cependant l'effayer, avant que de fe contenter de faire quelques-unes des réductions précédentes. Mais pour s'épargner bien des tâtonnements, il faut arranger les termes du dividende & ceux du divifeur, de façon que de part & d'autre, celui-là foit le premier, dont une lettre quelconque choifie à volonté, pourvu qu'elle foit commune à tous les deux, ait un plus grand expofant que dans les autres termes : que celui-là foit le second, où la même lettre ait l'expofant prochainement moindre, & ainfi de fuite. Cela s'appelle ordonner une quantité. Voici un exemple dans lequel le dividende & le divifeur font ordonnés par rapport à la lettre a. aa +4a3b+6 a*b*+4ab3 +ba { a2+2 ab+ba. On auroit pu l'ordonner de même par rapport à la lettre b. Quelquefois cependant il eft plus commode de préférer une lettre à une autre. C'eft lorfque celle-ci fe trouve avec le même expofant dans plufieurs termes; par exemple, on a préféré la lettre x aux lettres b & c, dans la divifion fuivante, dont nous allons détailler le procédé. 982x5 -362x2 3 tient. Je multiplie le divifeur par ce terme, & je fouftrais le produit 9 b2x2 - 3 b2c x*, des deux premiers termes du dividende. Il ne me refte rien. J'abaiffe les deux termes fuivants, & je dis ; je mets au quotient. 3 620x3 2 2 +cx, que Multipliant enfuite le divifeur par ce nouveau terme, je fouftraits le produit 3 b2c x23 + b2 c2x2 des deux termes abaiffés; refte zéro. Il n'y a plus rien au dividende. La divifion eft donc finie, & le quotient exact eft 3.x3 +cx. Je le vérifie, en le multipliant par le divifeur; je retrouve le dividende, l'opération eft donc bonne. Au refte pour acquérir de la facilité dans ces fortes de calculs, il faut multiplier d'abord deux quantités algébriques l'une par l'autre, & divifer enfuire leur produit par l'une des deux. Le quotient doit être l'autre quantité. 132. On peut auffi s'exercer fur des expreffions fem as + ms blables à celle-ci,,. -. Elles ont cela de particulier, a+m qu'elles font naître, pour ainfi dire, de nouveaux termes dans le dividende, à mefure que l'on pourfuit la divifion, comme on va le voir dans l'exemple fuivant. On trouve pour quotient a*—a3ma'm2—am3+m*. En divifant 1-x I 2 par I le quotient fera 1+x +x2+x3+x2+x3+x2+x7+x3+x2+x1o+x11. Il en feroit de même pour d'autres exemples semblables. Auffi avec un peu d'ufage voit-on, fans calcul, quels doivent être les quotients en pareil cas. des en x+x3 —&c+&c... à l'infini pareillement. 133. La divifion des fractions algébriques par tiers ou par d'autres fractions, ou d'un entier par une fraction, ne peut souffrir aucune difficulté (67). Exemples. b b 1o. Pour diviser par 4m la fraction —, on écrira d'abord 4 172 b puis (On'a foin, dans ce cas-là, de faire un peu 4cm' plus long le trait qui fépare le divifeur du dividende, pour b marquer que c'est 응 que |