grande utilité, comme on le verra par la fuite. Cette transformation fe fait en divifant par l'expofant du radical les expofants de la quantité qui eft fous le figne. 2 Exemples. √ (c3g1)=c3 g1 = c g3 . . . . ỷ ( b° q′ > b3 qs = b2 q3 ... √(ab3c3)—as b3 c3....... q3 6 9 I 3 162. Dans les deux premiers exemples, la division a réuffi, & toutes les fois que cela arrive, on dit que l'extraction de la racine demandée peut s'effectuer. Ces fortes de racines s'appellent rationelles ou commenfurables. Mais quand l'expofant du radical n'eft point un divifeur exact des expofants foumis au figne, comme cela eft arrivé dans le troifieme exemple, on dit alors que l'extraction eft impraticable; & qu'il n'eft pas poffible d'obtenir, autrement que par approximation, la racine demandée. On appelle ces racines, des quantités irrationelles ou incommenfurables. Quelques Auteurs les appellent encore des racines fourdes; ces trois mots font fynonymes. 163. La transformation réciproque des puiffances fractionaires, en quantités radicales, n'eft pas d'un auffi grand ufage: mais elle eft tout auffi facile; elle fe fait, ainfi que nous l'avons déja infinué, en donnant pour expofant au radical, le dénominateur de la fraction qui marque la puiffance, & en foumettant à ce figne la même quantité, élevée à la puiffance défignée par le numérateur de la fraction. Exemples. 4 (3a)=√3a.......(x2—y2)3—V′(x2—y3) . . . bì =√b3 ...c3 p3 = √ c* p ....... ( 29. — 3€ +4w). I =√(20→3€+4w)2. V Souvent il arrive que les quantités dont on veut extraire la racine, font affectées d'un coefficient numérique ; & il faut bien alors favoir la maniere de faire fubir à toute forte de nombres l'extraction convenable. On l'apprendra dans les trois Chapitres fuivants. De l'extraction des racines, & en particulier de la racine quarrée. 164. L'EXTRACTION des racines eft l'opération inverfe de la formation des puiffances. On cherche, par exemple, dans celle-ci le produit d'une quantité par elle-même, pour avoir fon quarré. Dans l'autre, on a le quarré, & on cherche la racine. Elle est très-aisée à trouver dans les quantités algébriques, quand elles font commenfurables; & comme nous venons d'indiquer la méthode générale pour toutes les quantités monomes, il ne nous refte qu'à traiter de fextraction de la racine des polynomes. Commençons par la racine quarrée. 165. Soit la quantité a'+2 a x + x2 dont on cherche lat racine quarrée....D'abord il eft évident que fi cette quantité qui n'a que trois termes, eft un quarré complet, sa racine ne peut être qu'un binome (141). Il n'eft pas moins évident enfuite, que le premier de ces termes eft le quarré de la premiere partie du binome cherché; que le fecond terme eft le double du produit des deux parties de ce même binome, & que le troifieme eft le quarré de la feconde partie. Je fuis donc sûr de trouver la premiere partie du binome en prenant la racine quarrée de a'. Ory a2 a; j'écris donc a à la racine. Puis je souftrais fon quarré a2 de la quantité propofée. Il me refte 2 ax+xx. a2+2ax+x2 a+x Raci -a2 0+2ax + x2 Mais puifque 2ax doit être le produit du double de la premiere partie a de la racine par la feconde, il eft clair que pour connoître cette feconde partie, il n'y a qu'à divifer 2ax par 2 a. Le quotient +x me la fera connoître. Car s'il eft vrai que+x foit le fecond terme de la racine, fon produit par 2 a, plus fon quarré x2 étant fouftraits du refte que j'avois, il ne doit rien refter. Or pour avoir tout à la fois ce produit & ce quarré, je multiplie (2a+x) par x; & j'ai 2 ax+xx. Souftraction faite, il ne refte rien; d'où je conclus que a+x eft la racine cherchée. 166. Dans des cas auffi fimples, on voit à la feule infpection de la quantité donnée, fi elle a une racine quarrée exacte, ou fi elle n'en a point. Mais fi on ne le voyoit pas du premier abord, on ne tarderoit pas à le reconnoître, en ordonnant la quantité, (131) & en obfervant les regles fuivantes. 1. Si la quantité propofée eft un quarré parfait, compofé de trois termes, on eft sûr qu'elle a un binome pour racine. II. Si les termes de cette quantité font tous pofitifs, ceux de la racine feront tous pofitifs, ou tous négatifs. On voit bien en effet que la racine quarrée de a2+2ab+ b' eft également ab, ou-a-b. Mais fi le fecond terme du quarré eft négatif, l'un des deux termes de la racine (n'importe lequel doit être négatif. Car a-b, &a+b fervent également de racine à la quantité a-2 ab +b2. 167. C'est-là l'origine de l'ambiguité du radical quarré; lequel eft fufceptible, comme l'on voit, du figne+ & du figne. Auffi trouve-t-on affez fouvent l'occafion de l'affecter de ce double figne que l'on prononce plus ou moins, & qui est toujours fous-entendu, quand on ne l'écrit pas. La racine de c2, par exemple, équivaut à c2, c'està-dire, qu'elle eft indifféremment +cou-c, fans que fon puiffe fe décider pour une valeur plutôt que pour une autre, à moins que l'état de la question n'exclue une des deux valeurs, comme cela arrive quelquefois. III. Après avoir au moins entrevu la poffibilité de l'extraction projettée, cherchez la premiere partie de la racine. Vous la trouverez en divifant par 2 l'expofant du premier terme de cette quantité. Donc fi vous fouftrayez de ce premier terme le quarré de la racine trouvée, il ne vous reftera plus que deux termes dans la quantité. IV. Et de ces deux termes, l'un fera le double du produit des deux parties de la racine totale; l'autre fera le quarré de la feconde partie de cette racine. Tous deux peuvent également fervir à faire connoître cette feconde partie. Le dernier, par la fimple extraction de fa racine; l'autre, en le divifant par le double de la partie déja connue. Si on préfere cette divifion, c'est uniquement parce qu'elle est toujours applicable aux quantités numériques. V. Le fecond terme de la quantité étant donc divifé par le double de la premiere partie de la racine, vous aurez pour quotient la feconde partie, & c'est alors, que pour la vérifier, vous la multiplierez par le double de la premiere, plus par elle-même, afin de voir fi ces deux produits fouftraits des deux termes qui reftoient dans la quantité, donnent zéro pour réfultat. Quand cela arrive, l'opération eft finie, & on a une racine exacte. Application. On demande la racine quarrée de 4p +16p3q2+16q*. 1o. La racine de 4 p eft 2 p3. 2°. Le double de 2 p3 eft 4p3. 2 3°. Le quotient de 16 p3q divifé par 4p3, est 4 q2. 4°.4q' eft la racine de 16 q4. 2 Donc 2 p3+4 q' eft la racine demandée. la 168. Pour la racine foit un trinome, il faut que que quantité donnée foit non-feulement un quarré parfait, mais encore qu'elle foit compofée de fix termes (141). Il en faudroit dix pour un quadrinome, & ainfi de fuite. Mais à peine trouve-t-on une fois dans la vie ces fortes d'extractions à faire, fur dix termes. Nous nous bornerons donc à un exemple de racine trinome. Soit a+2 ab+b2 — 2 a2c3 2 b'cc, dont on cherche la racine quarrée. Celle du premier terme eft a', dont le quarré a étant fouftrait de la quantité donnée, on a pour refte les cinq autres termes 2a2b2+b2 &c... Le premier terme de la racine eft donc a'. Pour trouver le fecond, j'abaisse 2a2b2+b2, & je divife-2ab par 2a. Le quotient eft-b2, qui multiplié par (20b) donne 2 a2b2+b* pour produit. Je fouftrais ce produit des deux termes abaiffés, & comme la fouftraction fe fait fans refte, je vois que a-b' font les deux premieres parties de la racine. 2 Pour trouver la troifieme, j'abaiffe les trois derniers termes |