COMPLET

D'ARITHMÉTIQUE.

INTRODUCTION.

On appelle quantité, tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution: les lignes, les surfaces, le temps, les poids sont des quantités.

Pour nous former une idée d'une quantité, nous sommes obligés de la comparer à une autre de même espèce. Si nous voulons connaître la longueur d'un jardin, nous prenons une mesure quelconque, un mètre, par exemple; nous portons cette mesure sur la longueur du jardin, et nous obtenons la connaissance de cette longueur.

On appelle unité, une quantité prise arbitrairement pour servir de terme de comparaison à d'autres quantités de même espèce. Dans l'exemple ci-dessus, le mètre est l'unité, le terme de comparaison.

La collection de plusieurs unités de même espèce s'appelle nombre.

L'arithmétique est la science des nombres; elle a pour objet d'enseigner les moyens de les composer et de les décomposer.

Les nombres se divisent en nombres concrets et en nombres abstraits.

Les nombres abstraits sont ceux qui n'indiquent pas l'espèce d'unités à laquelle ils appartiennent cinq, neuf, irente; douze entiers, vingt-cinq centièmes, trois dixièmes, sont des nombres abstraits. Ceux après lesquels on désigne l'espèce des unités que l'on a en vue, sont appelés concrets; Arithmétique.

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huit mètres, vingt grammes, neuf francs, dix centimes, dix-huit décilitres, sont des nombres concrets.

Les nombres sont dits complexes, lorsque les multiples et les subdivisions de l'unité ne sont pas soumis au système décimal, comme l'année qui se divise en 12 mois, le mois en 30 jours, le jour en 24 heures, l'heure en 60 minutes, et les minutes en 60 secondes.

On appelle nombres incomplexes, les nombres concrets qui ne renferment que des unités d'une seule espèce, comme douze heures, huit mois, etc.

Les nombres sont entiers ou fractionnaires. Ils sont dits entiers, lorsqu'ils ne renferment que des unités entières, comme 25 grammes, 10 mètres.

On les nomme fractionnaires quand ils renferment une ou plusieurs unités, plus des parties de l'unité.

DE LA NUMÉRATION.

Tous les hommes ont une idée distincte de l'unité; la vue d'un objet quelconque suffit pour faire naître cette idée.

Celle de la pluralité n'est pas moins facile à acquérir; il suffit de voir deux ou plusieurs objets qui se ressemblent.

Mais toute pluralité étant le résultat des unités particulières qui concourent à la former, on dut bientôt sentir la nécessité d'imaginer un moyen sûr de distinguer telle ou telle pluralité d'une autre.

Trois hommes, quatre hommes, par exemple, ne pouvaient pas être désignés de la même manière; il paraissait donc indispensable d'avoir recours à autant de signes différents qu'il pouvait y avoir de nombres.

Cependant, la moindre réflexion dut faire prévoir l'inconvénient qu'aurait entraîné cette multitude innombrable de signes; on renonça donc à ce moyen, et, par un procédé aussi simple qu'ingénieux, qu'on appelle numération, on vint à bout d'exprimer tous les nombres par la simple combinaison de dix caractères.

La numération est la partie de l'arithmétique qui a pour objet d'énoncer tous les nombres quelconques avec un certain nombre de mois, et de les écrire avec un nombre limité de caractères qu'on appelle chiffres.

De là, deux divisions: la numération parlée, la numération écrite.

NUMÉRATION parlée.

Pour indiquer les nombres jusqu'à dix, les hommes ont dûire usage de leurs dix doigts, et, pour les énoncer, ils ont donné un nom particulier à chacun d'eux. Nous appelons ces noms un, deux, trois, quatre, cinq, six, sept, huit, neuf, dix. Ils ont dù ensuite compter par dizaines, comme ils avaient compté par unités simples, et ils ont énoncé : deux > dizaines, trois dizaines, quatre dizaines, etc., les nombres que nous appelons vingt, treate, quarante, cinquante, soixante, soixante-dix, quatre-vingts, quatre-vingt-dix, cent; et, après chaque dizaine, ils ont répété les neuf premiers nombres et ont dit: dix un, dix deux, dix trois, dix quatre, dix cinq, dix six, etc., que nous remplaçous par onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, etc. Ils ont ensuite formé une espèce d'unité de troisième ordre, que nous appelons centaine, et ont compté par centaines, comme ils avaient compté par unités et par dizaines; ils ont pu, après chaque centaine, répéter les quatre-vingt-dix-neuf premiers nombres, et dire cent un, cent deux, cent vingt-quatre, cent trente-huit, ainsi de suite, jusqu'à neuf cent quatre-vingtdix-neuf. Formant ensuite un quatrième ordre, que nous appelons mille, ils ont pu compter par unités de mille, comme ils l'avaient fait par centaines; et comme ils avaient compté par unités, dizaines d'unités, centaines d'unités ils ont compté par unités de mille, dizaines de mille, centaines de mille; et procédant toujours par analogie, ils ont formé une autre unité principale, que nous appelons million; puis une autre appelée billion ou milliard, une autre ap→ pelée trillion, quatrillion, etc., etc.

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NUMÉRATION Écrite.

Pour représenter les neuf premiers nombres, on emploie les neuf caractères suivants qu'on appelle chiffres:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Pour exprimer tous les nombres possibles, on est convenu que tout chiffre placé à la gauche d'un autre chiffre représenterait des unités dix fois plus fortes que cet autre, c'està-dire que lorsque plusieurs chiffres seraient écrits horizontalement à la suite les uns des autres, le premier chiffre représenterait des unités simples; le second, des dizaines d'unités; le troisième, des centaines d'unités; le quatrième,

des mille; le cinquième, des dizaines de mille, ainsi de suite.

Soit, par exemple, le nombre dix-huit mille neuf cent vingt-sept, qui se compose d'une dizaine de mille, de huit mille, de neuf centaines, de deux dizaines d'unités, plus sept unités. Ce nombre sera représenté par les cinq chiffres suivants, 18927.

Ces cinq chiffres sont-ils suffisants pour écrire tous les nombres possibles? Non, car il peut se trouver dans un nombre un ou plusieurs ordres d'unités qui n'existent pas. Soit le nombre quarante, où l'ordre des unités n'existe pas: il est donc nécessaire de placer à la droite du 4, qui représente l'ordre des dizaines, un caractère quelconque, qui n'ait aucune valeur par lui-même, mais dont la fonction soit de remplacer l'ordre des unités qui n'existe pas. Ce caractère est le zéro. Soit à écrire, par exemple, le nombre neuf mille trente, dans lequel il n'existe ni centaine, ní unité, on remplace ces deux ordres d'unités par deux zéro, et l'on écrit 9030.

Il résulte de ce que nous avons dit plus haut, que tout nombre se partage en diverses parties principales, qu'on appelle ternaires: celle des unités, celle des mille, celle des millions, celle des billions, des trillions, des quatrillions; et que chacune de ces parties se compose d'unités, de dizaines et de centaines.

Pour écrire un nombre, on place horizontalement les chiffres à la suite les uns des autres, de sorte que ceux de l'ordre le plus élevé occupent le premier rang à gauche, et que ceux d'un ordre inférieur viennent successivement après, et l'on remplace par des zéro les unités qui pourraient manquer, quel que soit l'ordre auquel elles appartiennent.

Ainsi, le nombre huit cent quarante-deux millions six cent neuf mille trois cent quatre-vingts unités, s'écrit: 842609380.

Réciproquement, pour énoncer un nombre écrit en chiffres, on le partage en tranches de trois chiffres, et l'on énonce chaque tranche successivement, en commençant par la gauche, comme si elle était seule, en ayant soin de lui donner le nom des unités dont elle se compose; ainsi, le nombre 28,745,904 s'énoncera : vingt-huit millions sept cent quarante-cinq mille neuf cent quatre.

Et le nombre 540,501,400,077,508 s'énoncera: trois

cent quarante trillions cinq cent un billions quatre cent millions soixante dix-sept mille cinq cent huit.

Il suit de ce que nous avons dit, que dans un nombre quelconque, les chiffres significatifs, c'est-à-dire qui ne sont pas des zéro, ont deux espèces de valeur : l'une absolue, qui indique le nombre d'unités que représente le caractère; l'autre relative, qui est celle que le chiffre acquiert, eu égard à la place qu'il occupe. Ainsi, dans le nombre 430, le chiffre du milieu marque trois unités, et, eu égard à la place qu'il occupe, il représente trois dizaines d'unités.

DES DÉCIMALES.

Ce que nous avons dit jusqu'ici suffit pour faire voir comment, en réunissant toujours dix unités d'un certain ordre pour en former une nouvelle unité, et en plaçant le chiffre qui représente ces nouvelles unités dans un rang plus avancé vers la gauche, on peut, au moyen de dix caractères, exprimer tous les nombres entiers imaginables.

Reste à faire voir maintenant comment on peut représenter et énoncer les quantités plus petites que l'unité principale qu'on a choisie.

Le nombre de divisions et subdivisions qu'on peut faire de l'unité principale, est, comme on voit, purement arbitraire et de convention. Conséquemment, on doit, parmi toutes les divisions qu'on peut choisir, adopter de préférence celle qui, dans le système actuel de numération, rend les calculs plus facilès.

Ces divisions et subdivisions sont celles qui se font par décimales, c'est-à-dire en partageant l'unité en parties de dix en dix fois plus petites.

Pour évaluer en décimales les fractions, ou les parties plus petites que l'unité, on conçoit que l'unité principale est divisée en dix parties que l'on appelle dixièmes. On les représente par les mêmes chiffres que les unités; et, pour ne 1 point les confondre avec elles, on les place à leur droite, et on les en sépare par une virgule. Ainsi, pour marquer trois unités quatre dixièmes, on écrit 3, 4. Il faut faire attention à ne point négliger d'écrire la virgule, sans quoi on ne - pourrait plus distinguer les unités entières des fractions décimales.

Maintenant on peut regarder de même les dixièmes comme des unités composées de dix autres plus petites, et