placée au point M donné sur la surface, et que deux de ces axes, MX et MY, soient situés dans le plan tangent; FIG. 41. alors on aura, comme ci-dessus, les conditions

p=0, q=0, cos 6 = sin α,

ce qui réduira la formule générale (12) à

(25)

P

I

r cos2 a + 2s cosa sin a+ t sin2 a

En outre, nous pouvons admettre que les deux axes MX
et MY ont été choisis tangents aux deux sections prin-
cipales MA et MB, puisqu'on vient de voir que ces
courbes sont situées dans deux plans normaux rectangu-
laires; mais alors une des racines de l'équation (24) devra
être nulle, et l'autre infinie; ce qui entraîne évidem-
ment la condition s = o, attendu que
l'on a

donc, avec de tels axes coordonnés, on aura pour le rayon de courbure MI d'une section normale MN qui fait un angle a avec MA, la valeur très-simple

-383. Maintenant, pour déduire de là les deux rayons principaux qui appartiennent, d'après nos hypothèses, aux sections MA et MB, il suffit ici de poser tour à tour a=0, α = 90°o; ce qui donne

Or, en substituant ces valeurs dans la formule (26),

relation très-remarquable, trouvée d'abord par Euler, et d'après laquelle on pourra toujours calculer aisément le rayon de courbure MI=p d'une section normale quelconque MN, dès que l'on connaîtra l'angle a qu'elle forme avec une des deux sections principales MA et MB, ainsi que les rayons R' et R" de ces dernières.

Tandis que si l'on employait des sections normales quelconques, il faudrait connaître trois rayons p', p", p" de pareilles courbes, et les angles a' et a" compris entre elles, pour calculer, d'après la formule (25), le rayon p d'une section normale MN qui ferait l'angle a avec la première. En effet, si dans la formule (25) où a est compté à partir d'un axe des x qui a une direction arbitraire sur le plan tangent, on pose tour à tour

on aura trois équations de condition qui suffiront pour déterminer les constantes r, s, t; après quoi, cette même formule (25) fera connaître le rayon p de la section particulière que l'on cherche.

384. Remarquons ici que si l'on compare deux sections normales qui soient perpendiculaires l'une à l'autre, leurs rayons de courbure p' et p" se déduiront de la formule (27) en y posant successivement

Ainsi la somme des rayons de courbure renversés de deux sections rectangulaires, ou bien la somme des courbures (no 352) de ces sections, est toujours constante autour d'un même point d'une surface. Mais on doit bien remarquer qu'il s'agit ici d'une somme analytique; car les règles établies au no 375, sur les signes des rayons et sur le sens de la courbure des sections normales, doivent être observées dans toutes les conséquences que nous avons tirées de la formule générale (12); et c'est aussi d'après ces règles que nous allons maintenant discuter l'équation d'Euler.

385. Lorsque les deux rayons principaux sont de même signe, comme dans la fig. 41, où R' = MG et R′′=MH, Fig. 41. la formule

montre clairement que, quel que soit l'angle a, chaque section normale MN aura aussi un rayon p=MI de même signe que R' et R"; et par conséquent (no 375) toutes les sections normales autour du point M seront situées, dans les environs de ce point, d'un même côté du plan tangent: la surface est dite alors convexe au point M.

Dans la même hypothèse, le plus petit des deux rayons principaux, en valeur absolue, est MINIMUM parmi tous les rayons de courbure des diverses sections normales;

et le plus grand des deux rayons principaux est MAXIMUM entre tous les autres. En effet, puisqu'ici R', R" et p sont tous de même signe, l'équation (27) subsistera toujours en ne prenant que les valeurs absolues de ces rayons, c'est-à-dire en rendant tous ses termes positifs; et si alors on suppose RR", on pourra écrire cette équation sous

l'une et l'autre des formes suivantes :

Or, d'après l'hypothèse R'<R", il résulte évidemment de ces équations qu'on aura toujours, quel que soit l'angle α,

ce qui prouve que R' est minimum, et R" maximum entre toutes les valeurs de p.

386. Lorsque les deux rayons principaux sont égaux et de même signe, la formule (27) montre que p=R', quel que soit l'angle a; alors toutes les sections normales faites autour du point M ont une courbure égale, et chacune peut être regardée comme une section principale. En effet, si nous prenons le plan tangent pour le plan des (x, y), comme au no 381, nous aurons p=0, q= 9=0, et la formule générale (22) deviendra

or, pour que ces deux valeurs soient égales, il faudra

poser à la fois

rt=0 et s = 0,

conditions qui rendront identique l'équation (24), et laisseront alors entièrement arbitraires les directions des sections principales que cette équation devait déterminer. Cette circonstance se présente évidemment dans une sphère pour tous ses points, et dans un ellipsoïde de révolution pour les deux points qui sont sur l'axe; mais nous reviendrons (no 397) d'une manière plus complète sur ce genre de points singuliers que l'on nomme des ombilics.

387. Supposons maintenant que les rayons principaux soient de signes contraires, par exemple, R' positif et R" négatif; les deux sections principales MA et MB auront la position indiquée fig. 42, et la surface sera non convexe au point M, puisqu'il y aura des sections situées au-dessus du plan tangent en ce point, et d'autres placées au-dessous. Pour déterminer les limites des unes et des autres, mettons en évidence les signes des deux R' et R" dans la formule (27), qui deviendra ainsi

rayons

On voit alors qu'en faisant augmenter l'angle a à partir de zéro, le rayon variable p commencera par être positif, et égal à R'; puis, il ira toujours en croissant jusqu'à p∞, valeur qu'il atteindra quand l'angle a aura acquis une grandeur o propre à vérifier l'équation

Si donc on tire dans le plan tangent, deux droites MD FIG. 42. et ME qui fassent chacune avec MX un angle égal à w,