courbes, c'est-à-dire qu'elles auront avec ces sections un contact du deuxième ordre. Or, ces deux ellipses déterminent complétement un ellipsoïde S′ dont les demi-axes sont OA', OB', OM, et qui sera dit osculateur de la surface S, parce que tout plan normal ZMX' coupera ces deux surfaces suivant deux courbes MN et MN', qui seront osculatrices entre elles, ou bien qui auront le même rayon de courbure.

Pour démontrer cette proposition, il faut remarquer que la section MN' sera une ellipse ayant pour axes OM C et ON' a', et que, d'après la note précédente, le rayon

de courbure au sommet M sera p

a'2

= ; mais a est un

C

demi-diamètre de l'ellipse A'N'B', lequel est lié avec les

axes par la relation déjà citée

et puisque l'on a, par tout ce qui précède,

or, en la comparant avec la formule (27) qui donne le rayon de courbure de la section MN, savoir,

on en conclut que p

p',
', c'est-à-dire que les sections MN

et M'N', faites dans les surfaces S et S', sont osculatrices l'une de l'autre, pour une même valeur de l'angle a. Par

conséquent, la forme bien connue de l'ellipsoïde S'aux environs de son sommet M, pourra servir à donner une idée exacte de la courbure de la surface S autour de ce point; seulement il faudra se rappeler que quand le point M variera sur la surface S, l'ellipsoïde osculateur changera lui-même, puisque ses axes dépendent des rayons principaux au point que l'on considère.

394. Si maintenant on suppose le rayon principal R' positif, et R" négatif, les axes de la surface osculatrice S' devant toujours être déterminés par les conditions

p'

en continuant de prendre MO=c positif, on voit que a sera réel et b imaginaire : par conséquent l'ellipse MB' se changera en une hyperbole tangente à MY, mais située au-dessous de cette droite, et la surface osculatrice S deviendra un hyperboloïde gauche, dont l'ellipse de gorge sera MA'. Du reste, l'identité des rayons de Courbure pet p relatifs à deux sections MN et MN', faites par un même plan dans la surface S et dans l'hyperboloïde S', se démontrera comme ci-dessus, puisqu'il suffira de changer partout les signes de R" et de b2, et que la courbe A'N'B', qui deviendra une hyperbole dont l'axe réel sera OA' et l'axe imaginaire OB', offrira encore entre ces axes et le diamètre ON'a', réel ou imaginaire, la relation

Ainsi, cet hyperboloïde gauche sera OSCULATEUR de la surface S non convexe, et donnera par la courbure de son sommet une idée exacte de la forme de cette surface dans les environs du point M. Nous n'avons pas effectué

ici ces constructions; mais on les trouvera développées avec détail dans la Géométrie descriptive, no 698.

395. Lorsque la surface sera développable, un des deux rayons principaux, R" par exemple, sera infini (no 391); et alors l'axe b devenant aussi infini, l'ellipse MB' se changera en deux droites parallèles à MY, de sorte que la surface du deuxième degré osculatrice de S, deviendra un cylindre ayant pour section droite l'ellipse MA'. Toutefois, ce cylindre, quoique tangent à S tout le long de la génératrice rectiligne, ne sera osculateur qu'au point M.

396. Nous ferons observer aussi que dans le n° 393 on aurait pu employer pour surface osculatrice, un hyperboloïde à deux nappes ou un paraboloïde elliptique, puisque ces surfaces sont convexes comme l'ellipsoïde ; et dans le n° 394, l'hyperboloïde gauche aurait pu être remplacé par un paraboloïde hyperbolique; mais nous nous sommes bornés à employer, parmi ces cinq surfaces, les deux principales dont la forme est plus facile à se repré

senter.

En général, deux surfaces quelconques S et S' sont osculatrices en un point M où la normale est commune, lorsque toutes les sections normales sont respectivement osculatrices. Or, pour cela, il suffit que les deux sections principales de S soient dans les mêmes plans et aient les mêmes rayons de courbure que les sections principales de S': ou bien, que trois sections normales quelconques de S se trouvent osculatrices des sections faites dans S' par les mêmes plans normaux ; car il résulte évidemment de la formule (27) et des calculs indiqués au no 383, qu'alors tout autre plan normal coupera S et S' suivant deux courbes qui auront aussi le même rayon de courbure, et qui seront par conséquent osculatrices l'une de l'autre.

Cette définition des surfaces osculatrices équivaut, d'après la formule générale (12), à exiger comme conditions analytiques, que l'ordonnée z et les dérivées p, q, r, s, t, aient des valeurs égales dans les équations des deux surfaces, lorsqu'on y substitue les coordonnées x et y du point considéré.

397. DES OMBILICS. On nomme ainsi un point d'une surface pour lequel toutes les sections normales ont la même courbure, ce qui exige (no 386) que pour un tel point, les deux rayons principaux soient égaux en grandeur et en signe. Il est donc nécessaire et suffisant que le radical de la formule (22) soit nul, c'est-à-dire que l'on ait h2 - 4gk2 =0, ou bien

(29) [(1+q3) r — 2pqs+ (1+p3) t]3 — 4 (rt — s2) (1+p2+qa ) = 0;

mais cette condition se partagera toujours en deux autres, comme il est arrivé déjà dans le cas particulier du no 386. En effet, si l'on développe le carré indiqué, en ne laissant dans le premier membre que la quantité

[(1 + q2)r +"(1 + p2)t]2,

et que l'on retranche des deux membres de la nouvelle équation, quatre fois le produit des deux termes de ce binôme, on pourra écrire la relation (29) sous la forme

(30) · [(1+q3) r— (1+p2) t]2+4}[ (1 +p2)s — pqr] [(1 +qa)s —pqt]=0;

alors l'équation (30) deviendra

(34) [(1 +p2) V − (1 ́ + q2)U]2 + 4p2q2ÜV = o,

qui, en développant le carré, peut être écrite ainsi

Or, sous cette forme, on voit clairement qu'on ne peut y satisfaire qu'en posant à la fois U = o et V = 0, c'est

car on ne doit pas chercher à vérifier l'équation (35) en rendant nulles ou infinies les quantités p et q, puisque ces hypothèses ne feraient qu'exprimer une inclinaison particulière du plan tangent sur les plans coordonnés, sans avoir aucune influence sur la courbure de la surface dans les points auxquels on serait conduit par ce moyen.

398. Nous avons imité ici la marche de M. Poisson, parce qu'elle offre l'occasion de prouver généralement que les racines des équations (21) et (23) sont toujours réelles; car les radicaux que produit la résolution de ces équations, renferment précisément les deux polynomes (29) et (30), équivalents entre eux, et qui viennent d'être ramenés à la forme (35) composée de deux carrés.

Mais pour arriver aux conditions Uo et Vọ, il suffisait d'exprimer directement que, dans un ombilic, tous les rayons de courbure des sections normales sont égaux entre eux; ce qui devient facile en partant de la formule générale trouvée, no 374,

[(1+p2)+ 2pqm +(1+q2) m2]

r + 2 sm + tm2