> fist raison de ces lois d'honneur qui vont » si souvent choquant et troublant celles » de la raison (1). »

Ce vœu de Montaigne et de tous les hommes sages aurait été rempli, s'il n'existait pas des habitudes plus fortes que les lois mêmes. Un édit de Louis XIV prononçait contre les duels les peines les plus sévères : ont-ils depuis été plus rares?

Un homme doué d'un grand génie a pensé que, au lieu de la peine capitale, il eût suffi peut-être de priver un guerrier, par la perte de sa main, de la faculté d'exercer sa profession (2).

Un autre écrivain, homme de beaucoup d'esprit', a imprimé qu'on ne détruirait jamais les funestes préjugés du point d'honneur que par la honte et le ridicule (3): malheureusement les moyens qu'il indique pour atteindre ce but ne semblent guère admissibles; mais la pensée principale reste, et pourrait être mise à profit.

Nul sujet, sans doute, n'est plus digne de l'attention du législateur et des méditations des gens instruits; c'est un grand problème à résoudre, et celui qui le résoudra aura, certes, bien mérité de l'humanité tout entière.

TH. B.

ÉQUATEUR. C'est le nom qu'on donne au grand cercle perpendiculaire à l'axe d'une sphère douée d'un mouvement de rotation. Sa propriété fondamentale est de passer par le centre de la sphère, et d'avoir tous ses points également éloignés des deux pôles de rotation. La terre, qui a un mouvement réel sur elle-même qui s'effectue en 24 heures d'occident en orient, a donc son équateur; et la sphère céleste, qui semble avoir le même mouvement dans le sens contraire, a donc aussi le sien. L'un est l'équateur terrestre, et l'autre l'équateur céleste. Les planètes qui tournent sur ellesmêmes ont aussi chacune leur équateur. Ces cercles, et tant d'autres dont les astronomes parlent si souvent, n'ont rien de physique; ce ne sont que des conceptions géométriques propres à faciliter l'explica tion des phénomènes.

(1) Essais de Montaigne, liv. II, chap. 27. (2) Montesquieu, Esprit des Lois, liv. XXVIII, chap. 24.

(3) Saint-Foix, Essais historiques sur Paris, liv. Ier, pag. 222 et suivantes. Il est fort remarquable que cette pensée émane de l'un des hommes qui se sont le plus souvent battus en duel.

L'équateur terrestre et l'équateur céleste ont des propriétés communes : ils passent tous les deux par le centre de la terre, ils ont les mêmes pôles et ils se confondent dans le même plan. Le premier partage la terre en deux hémisphères terrestres, l'un boréal et l'autre austral; et le second partage aussi la sphère étoilée en deux hémisphéres célestes, l'un boréal et l'autre austral. C'est par rapport au premier que l'on détermine la position des lieux de la terre, et c'est par rapport au second que l'on détermine celle des différents points du ciel. (Voyez LONGITUDE et LATITUDE GÉOGRAPHIQUES.)

On sait que le mouvement diurne est uniforme, et qu'il s'accomplit en 24 heures. Ce mouvement, estimé sur l'équateur, sert à mesurer le temps sidéral; pour cela, on règle une pendule de manière à lui faire marquer 24 heures juste, pendant le temps que toutes les parties de l'équateur mettent à passer successivement au méridien. Cette pendule donne alors la longueur du jour sidéral, dont les parties sont mesurées par les degrés de l'équateur, à raison de 15o par heure. A l'aide de ce rapport, on construit une table qui sert fréquemment en astronomie pour convertir les degrés de l'équateur en temps sidéral, ou pour réduire les parties du temps sidéral en parties de l'équateur.

L'équateur terrestre coupe la zone torride en deux parties égales. Quand il est tracé sur les cartes et les planisphères, les navigateurs l'appellent la ligne équinoxiale, ou simplement la ligne. Les peuples qui habitent sous l'équateur ont perpétuellement les jours égaux aux nuits : cela vient de ce que leur horizon, passant par l'axe de la terre, coupe en deux parties égales tous les parallèles terrestres, dont le soleil paraît décrire un chaque jour. A l'égard des autres lieux de la terre, cette circonstance d'égalité des jours et des nuits n'a lieu que deux fois par an, aux équinoxes du printemps et de l'automne, quand le soleil répond à l'équateur.

La hauteur de l'équateur sur l'horizon d'un lieu est un élément indispensable aux personnes qui veulent faire de l'astronomie distance du pôle au zenith, ou au complément dans ce lieu. Cette hauteur est égale à la de la latitude géographique ; à Paris, sa va

leur est de 41° 9' 47".

ÉQUATEUR magnétique. (Voyez MAGNÉ TISME TERRESTRE.)

N...T.

ÉQUATIONS. (Analyse.) Lorsqu'on traduit en langage algebrique les conditions d'un problème, il arrive souvent qu'on en tire des expressions qui doivent être égales entre elles; c'est ce qu'on appelle des équations. Comme les questions ont ordinairement pour objet la recherche des valeurs inconnues de certains nombres, qui, représentés par des lettres x, y, z...., sont engagés dans ces expressions, on se propose d'en tirer les grandeurs par des calculs convenablement dirigés ; c'est ce qu'on appelle résoudre les équations. Les méthodes dont on fait usage sont fondées sur des propriétés que nous allons exposer, en commençant par les équations qui ne renferment qu'une inconnue x.

Il faut d'abord supposer qu'on a transporté tous les termes de l'équation dans le premier membre, et qu'on a réduit en un seul tous ceux qui sont affectés d'une même puissance de z cette opération dépend des règles élémentaires de l'algèbre, et ne doit pas nous arrêter. L'équation se trouve alors mise sous cette forme :

kxn+pxm−1qxm−2+.....+tx+u=0,

équation que nous représentons, pour abréger, par X=o: elle est dite du degré m, et les coefficients k, p, q... t, u, sont des nombres donnés, positifs, nuls ou négatifs, suivant les cas proposés. Admettons que l'on divise ce polynome X par x-a, a étant un nombre choisi à volonté, on aura un quotient Q du degré m—1, et un reste R qui ne contiendra pas l'inconnue x, puisqu'on peut continuer la division tant que x entre dans le reste. Or, il est clair qu'en multipliant le quotient Q par le diviseur z-a, puis ajoutant le reste R, on reproduira le dividende X, savoir :

X=Q(x-a)+R.

Cette équation n'a pas, comme la précédente, besoin, pour subsister, qu'on donne à x une valeur déterminée; elle est vraie, quelque nombre qu'on substitue pour x; c'est une équation identique. En effet, si l'on exécutait les calculs qui sont indiqués dans le second membre, on devrait retrouver le premier X, et cela sans qu'il soit nécessaire d'attribuer à x de valeur particulière. Cela posé, puisqu'ici x est quelconque, faisons x=a; le terme X se changera en un nombre A; Q (x-a) sera nul, et R, qui ne contient pas, restera ce qu'il est: on aura

AR, c'est-à-dire que, si l'on divise le polynome X par x-a, le reste R sera kam + pam−1+....+u, ou ce que devient le polynome X, quand on y remplace x par a.

Admettons maintenant que xa satisfasse à l'équation proposée, ou rende X nul: on aura donc R=o, et X=Q (x—a); ainsi X est, dans ce cas, exactement divisible par x-a. Comme on est convenu d'appeler racine d'une équation toute valeur de x qui y satisfait, on énonce ainsi ce théorème : Toute équation est divisible sans reste par l'inconnue moins sa racine. Nous voyons en outre que, si a n'est pas racine, x-a ne divise pas X, puisque le reste est R= kampam — 1 qui n'est pas 0.

....

Résoudre l'équation X=o, revient à rendre nul le produit Q (x-a). Or, non-seulement xa jouit de cette propriété, mais tout nombre qui rend nul le polynome Q, du degré m-1, en jouit pareillement. Si x-b donne Q=o, on aura aussi Q=Q' (x—b); et de même, si x=c donne Q'o, on aura Q'=Q′′ (x-c), et ainsi de suite. Comme les degrés des quotients Q, Q', Q′′... s'abaissent graduellement d'une unité chaque fois, après m-1 divisions successives, on arrive au quotient x- I du premier degré, et on a

X=(x-a)(x-b) (x —c).... (x—l). C'est-à-dire que tout polynome du degré m peut être considéré comme le produit de m facteurs binomes du premier degré, et que l'équation proposée X=0 admet m racines x=a,=b, =c,...,= 1. On ne pourrait supposer que X fût en même temps le produit d'un autre système de m facteurs binomes (x—a') (x—b') (x-c')..., dont tous ou plusieurs seraient différents des précédents. En effet, si X admettait le facteur x-a', a' étant différent des nombre a, b,...l, en faisant x=a', on aurait X=0, ou Q(x-a)=o.Or, x-a devient a'—a qui n'est pas nul; donc Q deviento quand on fait x=a', savoir Q' (x—b=) o, pour x=a' ; et, comme a'-b n'est pas nul, c'est Q' qui l'est, et ainsi de suite. On trouverait enfin a'-l=o, ou a'=1, contre l'hypothèse. Ainsi, toute équation du degré m ne peut étre décomposée qu'en un seul système de facteurs binomes du premier degré, et admet m racines seulement.

Puisqu'on reproduit identiquement le polynome proposé X, en multipliant les m

facteurs binomes x-a, x-b, x—c,........... pour savoir comment les coefficients p, q, r,.... u sont composés à l'aide des racines a, b, c... il suffit d'exécuter la multiplication. Si, par exemple, on prend ces trois facteurs binomes

surde, et contient des conditions incompatibles entre elles, à moins que la question n'admette de certaines relations entre les coefficients qui fassent rentrer quelques équations dans d'autres, et en réduise le nombre à celui même des inconnues. Ces

on observe ici cette loi :

+b +ac +cl +ab

1o. Le coefficient du second terme est la somme des seconds termes des facteur's binomes, ou la somme des racines en signes contraires ;

2o. Le coefficient du troisième terme est la somme des produits différents 2 à 2 des racines ou des seconds termes;

30. Le coefficient du quatrième terme est la somme des produits différents 3 à 3 des seconds termes ou des racines en signes contraires ;

Etc.... enfin, le dernier terme est le produit de tous les seconds termes ou celui des racines en signes contraires.

Cette loi, vérifiée ici pour trois facteurs seulement, a lieu pour un nombre quelconque de facteurs, ainsi qu'on le reconnaît par les principes mêmes de la multiplication. (Voyez mon Cours de mathém., no 97, 4o.) Ces propositions font voir que tout problème, dont la résolution dépend d'une équation du degré m, a m réponses, dont plusieurs ou toutes peuvent être imaginaires (voyez ce mot): que la question qui consiste à résoudre cette équation, c'est-à-dire à en trouver les m racines, est la même que celle-ci : trouver m nombres dont la somme soit le coefficient du second terme en signe contraire, dont la somme des produits 2 à 2 soit le coefficient du troisième terme, etc.; enfin dont le produit soit le dernier terme (en signe contraire, quand m est un nombre impair). Nous nous bornerons à ce qui vient d'être démontré sur la composition des équations, remettant à traiter le reste de ce sujet à l'article Réso

LUTION.

Quand le problème comprend plusieurs inconnues, leur détermination exige qu'il y ait autant d'équations que d'inconnues, et nous avons montré, à l'article ÉLIMINATION, comment on peut toujours ramener la question à n'avoir à résoudre qu'une équation à une seule inconnue. S'il y a moins d'équations que d'inconnues, le problème est indéterminé ; s'il y en a plus, il est ab

Quand on n'a qu'une seule équation et deux inconnues, le problème admet une infinité de solutions, qu'on peut figurer sur le papier par les coordonnées d'une courbe ; et, lorsque l'équation contient trois inconnues, on peut concevoir une surface dans l'espace dont les coordonnées des divers points sont les solutions par leur système; enfin deux équations et trois inconnues appartiennent à une courbe à double courbure. (Voyez COURBE.)

Quant aux équations différentielles, nous nous en occuperons plus en détail à l'article INTÉGRATION : elles représentent diverses affections des courbes et des surfaces. Celles qui sont à trois variables donnent lieu à des différences, prises en considérant l'une comme constante; ce qu'on appelle des différentielles partielles. Toutes les fois qu'on a pour objet, dans un probléme, de déduire des propriétés analytiques, indépendantes de la forme d'une fonction, ces sortes d'équations sont nécessaires. Par exemple, si l'on veut avoir l'équation de la surface cylindrique, lorsque la courbe directrice est quelconque, on ne le peut qu'en éliminant du calcul la fonction qui caractérise cette courbe; ce qui exige l'emploi des équations aux différences partielles. (Voyez l'article FONCTION ARBITRAIRE.)

*

F...R.

ÉQUICOLA (MARIO), littérateur et historien italien, né en 1460, dans un canton du royaume de Naples appelé gli Equicoli, d'où il prit lui-même son nom, fut reçu docteur en droit à l'université de Naples, attaché ensuite à plusieurs princes italiens, et mourut en 154!. On a de lui : Comment. della istoria di Mantova, Ferrare, 1521; D. Isabella Estensis Mantuæ principis iter per narbonensem Gallium, per Marium Equicolam, opuscule très-rare. On attribue à Équicola beaucoup d'autres ouvrages, dont les deux plus connus ont pour titre, le premier: Istituzioni al comporre in ogni sorte di rima, 1541; et le deuxième : Della natura d'amore, 1525, traduit en français par G. Chappuis, Paris, 1554, in-8°; Lyon, 1598, in-12.