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sont celles que je viens d'indiquer. Mais ici elles sont combinées avec les faces c, c' parallèles à l'axe du métastatique, et la figure de ces dernières qui serait celle d'un. trapézoïde, si elles existaient solitairement

devient un rhombe , par l'effet de ses intersections avec les facettes v, v'. Le calcul prouve que l'existence de ce rhombe est indépendante de toute mesure d'angles ; elle peut avoir lieu pour un noyau rhomboïdal quelconque , et tient uniquement à la combinaison des lois de la structure. De plus, le cristal est terminé de chaque côté par les facettes t, t, qui , avec les faces ret c, donnent la variété soustractive (1), en sorte qu'il n'est autre chose que

celle-ci

augmentée des facettes v, v'.

En cherchant à déterminer ces dernières facettes , j'ai reconnu qu'elles provenaient d'une espèce de décroissement intermédiaire dont je n'ai point parlé dans mon Traité, parce que je n'en avais rencontré aucun exemple. Ce décroissement a lieu sur les angles inférieurs e du noyau (fig. 2). Soit a bdl (fig. 3) la même face que P (fig. 2). Si l'on suppose que

les bords des lames décroissantes appliquées sur cette face, aient successivement des directions qui répondent à ef (fig. 3), gh, kn, les lames dont il s'agit subiront un décroisseinent intermédiaire analogue à ceux qui naissent sur les angles latéraux É, E (fig. 2), dans plusieurs variétés de chaux carbonatée. Ic décroissement, tel que l'offre la fig. 3,

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(1) Traité de Minéralogie , tome II, page 153.

aurait lieu par des soustractions de molécules liées entre elles trois à trois , et l'on conçoit qu'il est susceptible de varier, selon les différens rapports entre les nombres d'arêtes de molécules soustraites le long des bords bd, dl. Mais ici la symétrie exige que le décroissement se répète en sens contraire , suivant des lignes situées comme no,pr,se, de manière que les bords des lames décroissantes seront représentés successivement par les lignes anguleuses exn, şup, etc.

La loi qui donne les facettes v, v' (fig. 1) est relative au cas que je viens d'exposer; mais elle est en même-tems mixte et intermédiaire , en sorte que les soustractions se font par cinq rangées en largeur et trois en hauteur , de molécules triples. Le signe représentatif complet du

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(è DD'.D'D') DB. L'incidence

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r3

de v sur v, ou de v' sur u', est de 1524. 28' 22"; celle de v sur v' de 884. 55' 8" ; et celle de ć sur v de 1644. 3' 16". Si l'on adopte pour les diagonales du rhombe primitif le rapport VV 73, qui résulte des mesures de M. Wolaston (1), on trouve pour l'incidence de v sur V, 152d. 28' 48", différence 26"; pour celle de v sur q', 884: 56' 58", différence 1' 50"; et pour celle de c sur v, 1644. o' 8", différence 3' 8".

Si l'on conçoit que les faces v, v, v', u', etc. se prolongent jusqu'à s'entrecouper , en mas

(1) Transact. philos. an. 1802.

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quant toutes les antres, le solide dont elles pror duiront la surface, par leur réunion, sera un dodécaèdre à triangles scalènes (fig. 4), ana, logue au metastatique, et sil'on fait passer dans ce dodécaèdre sis plans mar, ars, rst, stx, trm, Imr, ils intercepteront un rhomboïde aigu. Or j'ai prouvé (1) que ces sortes de rhome boïdes étaient toujours susceptibles d'être produits, comme formes secondaires, par des dés croissemens relatifs à la forme primitive, et que de plus chacun d'eux étant consideré comme noyau hypothétique, par rapport an dodecaèdre, pouvait le faire naitre, en vertu d'une loi de décroissement sur les bords inferieurs nn, nr,rs, etc. Dans le cas present, le noyau hypothétique est semblable au rhomboïde que j'ai nommé contrastant (2), et la loi qui produit le dodécaèdre a lieu par trois rangées.

Cette corrélation entre les différens polyè. dres qui dérivent d'une même forme primitive, a ainsi le double avantage de ramener les résultats des lois intermédiaires à un point de vue très-simple, et de faciliter le calcul des angles, en permettant de substituer aux formules qui représentent ces mêmes lois, celles qui sont données par les lois ordinaires. Et ce qui ajoute encore à cet avantage de pouvoir simplifier, à Paide d'un équivalent, la conception des décroissemens intermédiaires, c'est que la forme du noyau hypothétique est ordinairement une de celles qui étant produites elles-mêmes par une loi simple , sont les plus familières à la

(1) Traité de Minéral. , t. II, p. 15 et suiv. (2) Ibid, p. 137.

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cristallisation. Dans le cristal qui nous occupe, c'est, comme je l'ai dit, le rhomboïde contrastant dont le signe est e. Dans la variété paradoxale , dont la découverte est due aux savantes recherches de M. Tonnellier (1), c'est le rhomboïde inverse qui a pour signe E''E. Dans la variété numérique (2), c'est le rhomboïde équiaxe représenté par B. Enfin dans la variété ambigue (3), le noyau hypothétique est semblable au véritable.

Les facettes t, t (fig. 1), qui résultent du décroissement B (fig. 2), ont cette propriété, que leurs intersections avec les faces rer (fig. 1), produites par le décroissement D (fig. 2), forment un hexagone , c'est-à-dire , qu'elles sont situées sur un même plan perpendiculaire à l'axe du cristal. Or, j'ai trouvé récemment que cette propriété dépend généralement de la condition que le nombre des rangées sonstraites sur B , excède d'une unité celui des rangées soustraites sur D, et que de plus elle a lieu pour tous les rhomboïdes, quelles que soient les valeurs de leurs angles.

Je donne à la variété que je viens de décrire le nom de chaux carbonatée euthétique , qui indique les positions heureuses des façes c, v (fig. 1), dont les premières se trouvent transformées en rhombes par l'intervention des

(1) Traité de Minéral., t. II, p. 154.
(2) Voyez le no. 106 de ce Journal, p. 302.
(3) Idem , no. 133. p. 50.

secondes , et celles des faces r, t, qui sont limitées les unes par les autres, de manière que leur jonction est sur un même plan.

J'ai pensé que les minéralogistes géomètres et les savans qui, sans avoir fait une étude particulière de la minéralogie, ont bien voulu accueillir un travail qui a étendu le domaine de la géométrie , par des applications à des corps dont l'existence est réelle, me sauraient gré de leur offrir ici la démonstration de ces divers résultats auxquels je suis parvenu, en cherchant à déterminer la nouvelle variété de chaux carbonatée. Je vais donner d'abord la théorie générale des décroissemens intermédiaires sur les angles inférieurs d'un rhome boïde.

Soit ph (fig. 5), le dodécaèdre produit par un décroissement de ce genre; a fm i, la face du

noyau dont l'angle inférieur touche l'arête pe; et c mb la section du prolongement de cette face sur les triangles vpe,ape. Menons cb, puis les diagonales a m; if, et du point o qui est l'intersection des lignes cb, am, menons an perpendiculaire sur pe; le rapport de boà on sera celui du sinus au cosinus de la moitié de l'angle que forment entre elles les faces vpe, ape. Il s'agit de trouver l'expression algébrique de ce rapport.

Soit a b 02 (fig. 6), un rhombe semblable à l'une des faces du noyau , et ye, le bord analogue à ef (fig. 3), sur la première lame de superposition, dans l'hypothèse d'une seule rangée soustraite. Soit x , le nombre d'arêtes de molécules compris dans dg (fig. 6), ety, celui que renferme d 4. Menons gą parallèle

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