SUR ÉCOLE POLYTECHNIQUE. N°. 5. Frimaire an XIV. S I. TRAVAUX DE L'ECOLE. MÉCANIQUE. Conditions de l'Équilibre des corps solides; par M. POISSON. On sait depuis longtems que les conditions d'équilibre des corps olides sont exprimées par six équations, dont trois sont relatives au mouvement de translation du corps, et les trois autres à son nouvement de rotation. Ces équations se déduisent d'une manière fort simple du fameux principe des vitesses virtuelles, ainsi qu'on peut le voir dans la Mécanique analytique et dans la Mécanique céleste; mais les démonstrations qu'on en donne dans les ouvrages élémentaires n'ont pas toute la rigueur ou toute la simplicité qu'on y pourrait desirer. Je me suis donc proposé de remplir cette lacune qui reste encore dans les élémens de la mécanique, et je crois y être parvenu, sans supposer autre chose que le parallelogramme des forces et les théorêmes connus sur la composition des forces parallèles. Je considère un, systême quelconque de points matériels m, m', m", etc. attachés fixement les uns aux autres, et auxquels sont appliquées des forces de grandeur et de direction quelconque. La position de chacun de ces points dans l'espace est déterminée par des coordonnées parallèles aux axes rectangulaires Ax et Ay, menés dans le plan de la figure, et à un troisième axe Az que je suppose perpendiculaire à ce plan. x, y et z sont les coordonnées du point m'; p est la force appliquée à ce point; la direction de cette force fait avec l'axe des x, un angles a; avec l'axe des y, un angle ß; avec l'axe des z, un angle. Les quantités x, y, z, p, α, ß, y deviennent respectivement a', y', z', p', a', B', y' pour le point m'; x", y", pll, all, Bll, y" pour le point m", etc. Pour simplifier ce systême de forces, je décompose chacune d'elles parallèlement aux trois axes; savoir: la force p, en trois forces p cos a, p cos ß, p cos y ; la force p' en trois forces p' cosa, p' cos B', p' cosy et ainsi de suite. Les forces parallèles à un même axe et dirigées dans un mème sens 9 se composeront en une seule de même direction, et égale à leur somme; en sorte que les forces parallèles à chacun des trois axes se réduiront à deux forces seulement dirigées en sens contraire l'une de l'autre. Et si l'on représente par X et X' les résultantes des forces parallèles à l'axe des x; par Y et Y celles des forces parallèles à l'axe des y; par Z et Z', celles des forces parallèles à l'âxe des z,, on aura La théorie des momens des forces parallèles fournit six autres équations que l'on formera de cette manière. Supposons que XB, X'B', YC, Y'C', soient les projections des forces X, X', Y, Y' sur le plan des x et y; que X tende à pousser le systême du point X vers le point B, et par conséquent que X' tende à le pousser du point X' vers le point B'; que Y tende à faire avancer le systême du point Y vers le point C, en sorte que Y' tende à le faire avancer du point Y' vers le point C'. Supposons aussi que D et D' sont les points où les forces Z et Z' viennent couper le plan des x et y, Z étant la force qui tend à élever le systême au-dessus de ce plan, et Z' celle qui tend à l'en rapprocher. Des points D et D', abaissons des perpendiculaires DE et D'E' sur l'axe des x, et faisons DE = «‚ D'E' = «', AE≈u, AE'u', BH⇒q, B'H'=q', AH=r, A'II'r'. Enfin appelons s et s' les distances des forces X et X' au plan des x et y, et t et t' les distances des forces Y et Y' au même plan. En prenant les momens des forces parallèles à l'axedes z, d'abord par rapport au plan des x et z, et ensuite par rapport au plan des y et z, on aura Zu-Z'pcosy.y+p'cos y'.y +p" cos y". y!! +, etc.? De même en prenant successivement par rapport au plan des x et z et à celui des x et y, les momens des forces parallèles à l'axe des *, on aura |