Xq-X'q'=p cosa.y +p'cos a' ¡y'+picos a".y+, etc. etc. } (4) Xs-X's' p cosa.z +p'cos a'.z' + pllcosa".2"+, etc.)

=

Enfin les équations des momens des forces parallèles à l'axé des pris par rapport au plan des y et z et à celui des y et æ, seront

Yr Y'r' = pcosß.x+p'cos s'.x' + p/ cos 8".xl +, etc. }; (d)

YtY't'pcos B.z +p'cos p'.+p" cos Bl.zy etc.)

Cela posé, cherchons les conditions d'équilibre des six forces X, X', Y, Y, Z, Z, auxquelles nous avons réduit les forces immédiatement données. On ne pourroit pas supposer que ces six forces se réduisissent toujours à trois, parce qu'il peut arriver qué les forces parallèles à un même axe soient égales et non directement opposées; auquel cas elles ne peuvent pas être remplacées par une seule force. Nous conserverons done ses six forces afin de parvenir à une démonstration contre laquelle on ne puisse faire aucuné difficulté.

Par la direction de la force Z, je mène un plan quelconque dont la trace sur celui des x et y, est LK. Cela fait, je décompose la force Z en deux forces Z, et Zy, toujours perpendiculaires au plan des x ety, et passant par les points L et K. Je compose Z, avez Y; la résultante vient couper la projection CY en un point N, et Ton a

KN,Z=t.Y;

d'ailleurs on voit aisément, d'après les directions attribuées anx forces Z et Y, que le point N doit être plus bas que le point K, par rapport à l'axe Ax; ce qui achève de déterminer la position de ce point. J'imagine la résultante de Y et de Zy appliquée au point N de sa direction, et je la décompose en ce point, ce qui reproduit les forces Y et Z, la première dirigée suivant la projection YC, et la seconde parallèlement à l'axe des z. De même je compose Z, et X; leur résultante coupe la projection BX en un point M, situé en deça du point. I par rapport à l'axe Ay, et dont distance au point L est déterminée par cette equation

Cette résultante étant appliquée au point M de sa direction, je retrouve, en la décomposant, les deux' forces X et Z, la pre mière dirigée suivant la projection BX, et la seconde parallèlement à l'axe des z. Maintenant je prends la résultante de Z, et Z, ce qui reproduit en grandeur la force Z, appliquée en un point de la ligne MN, et perpendiculaire au plan des x et y. En appli quant aux trois forces X, Y, Z' des transformations analogues, ces forces ne changeront pas de grandeur; elles resteront parallèles

aux trois axes; les deux premières seront dirigées suivant leurs projections X'B' et Y'C'; le point d'application de la troisième aura changé et sera devenu, je suppose, le point Oʻ. De cette manière, nous n'aurons plus à considérer que quatre forces'X, Y, X', Y', dirigées dans un même plan, celui des x et y, et deux autres forces Z et Z' dirigées dans un plan perpendiculaire au premier. Or, pour qu'il y ait équilibre entre ces six forces, il faut d'abord que les deux forces Zet Z' se détruisent réciproquement. Pour le démontrer, si on le croit nécessaire, je suppose que cette condition ne soit pas remplie ; j'élève en un point quelconque de la ligne OO' une perpendiculaire à cette ligne, et je fixe invariablement cette perpendiculaire; les forces X, X', Y, Y' dirigées dans le plan de cette droite fixe, seront détruites; rien n'empêchera donc les forces Z et Z' de faire tourner le systême autour de cette droite, et par conséquent l'équilibre sera impossible avec la droite fixe; donc, à plus forte raison, il n'a pas lieu quand le systême est entièrement libre.

Les forces Z et Z' ne peuvent se détruire qu'autant qu'elles seront égales et directement opposées; ainsi il faut qu'on ait

et le point O coïncide avec le point O', ce qui donne en que abaissant les perpendiculaires OP et O'P' sur l'axe Ax les deux autres équations

OP O'P' et AP=AP',

dans lesquelles nous allons remplacer les lignes par leurs valeurs. En prenant, , par rapport au plan des x et z, les momens des forces Z,, Z et Z,,, lorsqu'elles sont appliquées aux points L, D et K, et lorsqu'elles sont appliquées aux points M, O et N; on a

Z.DEZ,.BH + Z,,.KH
Z.OPZ,.BH+Z,,.NH

d'où l'on tire

Z.OP Z.DE - Z,,. KN.

Z,,.KN.

D'ailleurs on a DE et Z,,.KNY.t; donc

Z.OPZ — Y.t.

On trouvera de même

Z'.O'P'Z'.'-Y'.t';

donc, à cause de ZZ', l'équation OP=O'P', devient, en transposant les termes,

Par un calcul semblable, on trouve que l'équation AP=AP', devient

Z.u-Z'.u' — X.s — X'.s'. (3)

Maintenant les forces Z et Z' étant détruites, il faut encore qu'il ait équilibre entre les quatre forces X, X', Y, Y', dirigées dans le plan des x et y; il faut donc que la résultante de X et Y soit égale et directement opposée à celle de X' et Y'; d'où l'on peut conclure,

1°. Que les composantes X et X' doivent être égales entre elles, ainsi que les composantes Y et Y', c'est-à-dire qu'il faut qu'on ait

2°. Que les deux résultantes doivent être dirigées suivant la diagonale BB' du rectangle BC B'C'.

Or, pour que cette dernière condition soit remplie, il est nécessaire que les composantes X et Y soient entre, elles comme les côtés BC et BC du rectangle BC B'C' ; proportion d'où l'on tire X.BCY.BC'; et à cause de BC=q- q, BC'=r➡r, et de X = X', Y=Y', cette équation peut s'écrire ainsi :

En vertu des équations (a), (b), (c), (d), les équations (1), (2), (3), (4), (5), (6), que nous venons de trouver, prennent cette forme:

(e)

cos a + p'cos a'+p" cos "+etc. —o, p cos &+p'cos ß' + pcos ß" + etc, =0, p cos y +p'cos y+p" cos y" + etc. =0,

pycosy-zcosß)+p' ('cosy'-z'cose')+p" ("cosy"-z" cosp")+etc.=0, p(xcosy-zcosa)+p'(x'cosy'-z'cosa")+p" (x" cosy"-z" cosa")+etc.=0,. (p(ycosa-xcos)+p' (y'cosa'-x'cos")+p" (x" cosa"-y" coss")+etc. o. Ces six équations sont nécessaires et suffisent pour l'équilibre d'un systême de points de forme invariable, dans lequel il ne se trouve aucun point fixe. Mais lorsque le systême renferme un point ou un axe fixe, les équations d'équilibre se réduisent à un moindre nombre; et pour déterminer celles qui sont encore nécessaires, je vais chercher ce que signifie chacune de ces six équations prise séparément.

La première exprime que la somme des composantes parallèles à l'axe des x, est égale à zéro. Il ne s'ensuit pas que ces forces

se fassent équilibre, parce qu'il peut arriver qu'elles se réduisent à deux égales et de signe contraire, mais non directement opposées. De même la seconde et la troisième signifient que les sommes des composantes parallèles aux axes des y et des z sont nulles; d'où il ne suit pas que ces forces se fassent équilibre. C'est parce que les forces parallèles à un même axe peuvent, en être égales à zéro sans que ces forces se détruisent, que les trois premières équations (e) ne suffisent pas pour l'équilibre du systême.

somme,

La sixième équation (e) ou son équivalente, l'équation (6), exprime que les forces X, X', Y et Y étant supposées agir suivant feurs projections, XB, X'B', CY, C'Y', sur le plan des x et y, ont une résultante qui passe par le point A. En effet, il résulte de l'équation (6) que les momens de ces quatre forces, pris par rapport au point A et avec les signes convenables, font une somme égale à zéro; or quand un nombre quelconque de forces dirigées dans un même plan jouissent de cette propriété par rapport à un point de ce plan, ce point est nécessairement sur la direction de leur résultante. Si donc l'axe des z étoit fixe, la sixième des équations (e) suffiroit pour l'équilibre du systême; car on pourroit substituer aux forces p, p', p", etc. les forces Z et'Z' appliquées aux points O et O', et les forces X, X', Y, Y' dirigées dans le plan des x et y; les forces Z et Z' étant parallèles à l'axe fixe, seroient détruites la résistance de cet axe, par et les forces X, X', Y, Y'ayant une résultante qui passe par le point A, seroient aussi détruites par la résistance de l'axe fixe.

La cinquième des équations (e), ou son équivalente, l'équation (3), exprime que les forces parallèles au plan des x et z, si elles agissoient sans changer de grandeur, suivant leurs projections sur ce plan, auroient une résultante qui passeroit par le point A; et l'on en peut conclure que cette équation suffiroit pour l'équilibre du systême, si l'axe des y étoit fixe. De même la quatrième des équations (e) seroit l'équation unique de l'équilibre du systême dans le cas où l'axe des x seroit fixe.

La cinquième et la quatrième des équations (e) prises ensemble, expriment que la résultante des forces Z et Z', appliquée aux points O et O', passe par le point A. En effet les équations équivalentes (2) et (3) proviennent de celle-ci :

QO' prolongée passe par le point A. On déduit aisément des deux mêmes équations

les momens de Z et Z', pris par rapport au point A et avec des signes convenables, font donc une somme égale à zéro ; et comme le point A est dans le plan de ces forces, il en faut conclure que leur résultante passe par ce point.

On voit maintenant que quand les trois dernières équations (e) ont lieu en même tems, on peut être certain que les forces p, p', p", etc. ont une résultante unique qui vient passer par le point A. Car si l'on substitue à ces forces les forces X, X', Y, Y' dirigées suivant leurs projections sur le plan des x et y, et les forces Z et Z' appliquées aux points O et O'; les quatre premières auront, en vertu de la sixième équation (e), une résultante passant par le point A; et en vertu de la quatrième et de la cinquième équation (e) prises ensemble, les forces Z et Z' auront une résultante passant aussi par le point A; or ces deux résultantes étant appliquées au même point, on pourra les composer en une seule force, et ce sera la résultante unique des forces p, p, p, etc.

Lors donc qu'il y aura un point fixe dans le systême, en prenant ce point pour l'origine des coordonnées, les trois dernières équations (e) suffiront ponr l'équilibre, puisqu'elles exprimeront que les forces appliquées aux différens points du systême, ont une résultante unique qui vient passer par le point fixe; et comme chacune de ces équations prise séparément est l'équation d'équi libre dans le cas où l'un des axes des coordonnées est fixe, if en résulté ce théorême dans tout systême de forme invariable, l'équilibre a lieu autour d'un point fixe, quand il a lieu successivement autour de trois axes fixes, passant par ce point et perpendi culaires entre eux. Il en résulté aussi cette autre couséquence qu'il suffit que l'équilibre ait lieu autour de trois axes fixes passant par un même point et perpendiculaires entre eux pour qu'il ait également lieu autour de tout autre axe fixe qui passeroit par le même point.

Lorsque les forces p, p', p", etc. appliquées aux différens points du systême, ne se font point équilibre, on peut demander si ces forces ont une résultante unique, et c'est une question qu'il est maintenant facile de résoudre. En effet, si ces forces ont une résultante unique, rien n'empêche de transporter l'origine des coordonnées en un point quelconque de cette résultante, et alors, d'après ce qu'on a vu plus haut, les trois dernières équations (e) devront avoir lieu en même tems.

Soient donc a, b, c les coordonnées de ce point quelconque: