Tous ces modes de génération peuvent être appliqués à la description d'une même courbe, et alors, chacun d'eux ne sera plus arbitraire; ils auront entre eux une relation nécessaire; la position et l'étendue des lignes qui les composent seront déterminées, et toutes ces grandeurs seront soumises à une même loi que nous allons exposer. Il existe pour chaque courbe du second degré deux systêmes de description bien, distincts, tels que les lignes d'un même systême sont soumises entre elles, relativement à leurs affections, à la loi de continuité, et que cette loi est rompue ensuite, et n'existe plus lorsqu'on veut passer d'un systême dans un autre. Dans les générations d'un de ces systêmes, le point générateur est entre les points directeurs; dans celles de l'autre systême, il est en déhors de ces points. On réunit tous les modes de génération d'un même systême, par les constructions suivantes : Si, à partir du centre d'une courbe quelconque du second degré, on porte sur le grand axe une droite égale à la demi-somme des deux axes et qu'on conçoive le cercle dont cette droite est diamètre, chacune des cordes menées de l'extrémité du grand axe la plus rapprochée du centre du cercle, et les diamètres de la courbe qui passent par l'extrémité de ces cordes, on pourra regarder ces diamètres comme directrices, la corde comme droite mobile, et le sommet commun à toutes les cordes comme point générateur. On formera ainsi une infinité de moyens différens de génération, qui tous ensemble donneront la même courbe du second degré, celle qui a servi à produire chacun d'eux. Ils appartiennent tous au systême de génération, où le point générateur est entre les points descripteurs. Si, à partir du centre d'une courbe quelconque du second ordre, on porte sur le petit axe une droite égale à la demi-difference des deux axes, et qu'on conçoive le cercle dont cette droite est diamètre, chacune des sécantes menées de l'extrémité du petit axe la plus éloignée du centre du cercle, et les diamètres de courbe qui passent par l'extrémité de ces sécantes, on pourra regarder ces diamètres comme directrices, la sécante comme droite mobile, et le sommet commun à toutes les sécantes comme point générateur. On formera encore une infinité de moyens différens de génération qui tous ensemble donneront la même courbe du second degré, celle qui a servi à produire chacun d'eux. Ils appartiennent tous au systême de génération où le point générateur est en dehors des points directeurs, et la courbe produite dans ces deux systèmes de génération entièrement différens l'un de l'autre, est cependant une seule et même courbe du second degré. Cette première généralisation n'est pas la seule qui puisse être donnée à la méthode indiquée au commencement de cette analyse. Jusqu'ici, on a supposé le point générateur sur la droite mobile, et cela n'est pas nécessaire; sa position, relativement à cette droite, peut être quelconque, pourvu qu'elle soit constante pour la même courbe cette courbe sera toujours du second degré. : Les deux systêmes de génération que nous venons d'indiquer s'accroîtront encore, d'une infinité d'autres systêmes plus généraux qui ne tiendront à aucun des deux premiers, puisqu'un point hors d'une droite terminée n'est ni entre ses extrémités ni sur son prolongement; mais les systêmes seront liés entre eux par les deux au→ tres, qui seront, si je puis parler ainsi, leurs limites extrêmes entre lesquelles ils se trouveront tons placés. On a encore supposé que les deux directrices étaient dans un plan; cette condition est également superflue. Elle peut cesser d'avoir lieu sans que pour cela la courbe décrite par le point générateur cesse d'être plane et du second degré. Passons actuellement aux surfaces. Si on suppose qu'une droite mobile s'appuie par une de ses extrémités sur une droite directrice quelconque et par l'autre sur un plan fixe, , que nous nommeróns par analogie plan directeur, le point générateur décrira une surface qui jouit des propriétés suivantes : Cette surface a toujours un centre à l'intersection du plan direc teur et de la directrice; elle est symétrique par rapport à trois de ses normales qui se croisent à angles droits à son centre; toutes les sections parallèles au plan directeur ou à un autre plan symétrique ment placé par rapport à ces normales, toutes ces sections, dis-je, sont des cercles dont les centres sont en ligne droite ; cette droite est un diamètre de la surface. Si on suppose ensuite qu'au lieu de deux points directeurs, on en prenne trois sur la droite mobile, que le premier s'appuie sur un premier plan, le second sur un second plan, le troisième sur un troisième plan directeur, la surface décrite alors par le point générateur sera la même que celle que nous venons d'examiner, et elle jouit toujours de ces propriétés générales, que les sections faites par des plans quelconques, sont du second degré, que de plus toutes les sections par des plans parallèles sont semblables, avec leurs mêmes axes parallèles, et leurs centres en ligne droite. D'où il suit que les surfaces données par l'une et l'autre génération sont du second degré, et que les propriétés qui dérivent de ces générations sont des propriétés de ces surfaces. I De là toutes les propriétés connues des diamètres conjugués, des des plans tangens, etc... axes, Nous avons trouvé pour chaque courbe du second degré une infinité de modes différens de description; nous verrons également que chaque surface du même ordre a une infinité de systêmes de plans directeurs dont les dispositions relatives ne sont pas arbitraires, mais sujettes entre elles à une même loi, qui nous donnent les moyens de passer d'un systême à l'autre, et de les trouver successivement tous par la connoissance d'un seul ou de quelques-uns de ses élémens. Après avoir considéré les surfaces du second ordre données par ces systêmes de génération relativement aux plans qui les coupent d'une manière quelconque, il reste à les considérer relativement aux plans qui les touchent; cela conduit aux contacts du premier ordre et à la solution des questions suivantes : Déterminer, 1°. Le plan tangent à une surface du second degré en un quelconque des points de la surface, et toutes les lignes qui en dépendent; 2°. la grandeur et la position des axes de cette surface, lorsqu'on connaît un systême quelconque de plans directeurs ou dé plans diamétraux conjugués. En passant ensuite aux contacts du second ordre, la méthode de description qui fait le sujet de cet essai, donne, pour tracer les lignes de courbure des surfaces du second degré, un moyen fort simple, et qui paraît susceptible de pouvoir facilement être appliqué aux arts et particulièrement à la coupe des pierres, qui ne posséde encore aucun noyen géométrique de décrire par des mouvemens continus les lignes de courbure, qui sont, comme on sait, les arêtes de douelles des voussoirs dans les voûtes cllipsoïdes. Quand le point générateur qui décrit la surface parcourt seulement ane de ses lignes de courbure, les points directeurs décrivent sur chacun des plans principaux qui leur appartiennent, les courbes du second degré qui ont leur axe sur les axes mêmes de la surface; et les axes des courbes ainsi produites sur le même plan principal par les lignes d'une des courbures, sont les coordonnés d'une même courbe du second ordre. Si au lieu d'une droite mobile à trois points directeurs, on conçoit trois droites mobiles, chacune seulement avec deux points directeurs, le point générateur étant le même pour ces trois droites, chacune d'elles, parallèle à l'un des trois plans principaux et ayant les extrémités sur les deux autres, le point générateur commun décrira nécessairement une des lignes de courbure de la surface, et chaque point directeur des trois droites mobiles décrira sur le plan principal où il se tronve, une courbe du second ordre, dont les axes seront sur les axes mêmes de la surface; et tous les axes de chacune de ces courbes formeront encore entre eux comme coordonnées une courbe du second ordre dont les axes seront sur ceux de la surface. DU PLUS PETIT CREPUSCULE; Par М. НаснЕТТЕ. Le problême de déterminer le jour de l'année pour lequel le crépuscule est le plus petit, ne peut appartenir à la géométrie que dans l'hypothèse où l'on ne fait pas dépendre la durée du crépuscule de circonstances variables et d'élémens encore inconnus, lorsqu'on propose cette question, on entend par crépuscule, le tems qui s'écoule depuis l'instant où le centre du soleil est dans l'horizon rationnel jusqu'à celui où il arrive au parallèle à l'horizon, qui correspond à la nuit totale. On sait que la lumière du crépuscule, d'abord égale à celle du jour, s'affaiblit continuellement, et après un certain tems, qui varie pour les différens lieux de la terre, elle devient insensible. La cause de ce phénomène est bien connue. Le soleil arrivé au-dessous de l'horison, ne ccsse pas d'envoyer des rayons dans tous les sens. L'atmosphère reçoit ses rayons, les réfracte, les réfléchit, et devient un nouveau foyer de rayons lumineux. Plusieurs géomètres se sont proposés de résoudre la question du plus petit crépuseule. Nonius, géomètre portugais, le même qui a fait aux instrumens propres a mesurer les angles cette heureuse addition connue sous le nom de Nonius ou Vernier, a résolu cette queston par la trigonométrie sphérique. Son mémoire De crepusculis a été imprimé à Coimbre en 1573, environ quatre ans avant sa mort. Jean Bernouilli s'est proposé d'appliquer à la même question sa méthode de maximis et minimis. Voici ce qu'il en écrivit en janvier 1693: « « « J'ai résolu le problême de trouver géométriquement le jour « du plus petit crépuscule; ce qui a occupé mon frère, professeur de « mathématiques à Bâle, et moi depuis plus de cinq ans sans en pouvoir venir à bout. Ce problême est d'autant plus curieux, que « je demeure, par ma méthode de maximis et minimis (qui est pourtant une des plus courtes), dans un calcul prolixe et em« barrassé, qui se laisse à la fin réduire en une petite équation carrée, que je transforme en cette simple proportion géométrique : «comme le rayon est à la tangente de la moitié de l'arc crépuscu«laire (qu'on suppose ordinairement de 18° pour Paris), ainsi le « sinus de l'élévation du pôle est au sinus de la déclinaison méridio«nale cherchée du soleil. Quand on a sa déclinaison, on a aussi le lieu dans l'écliptique, et partant, le jour de l'année auquel se fait le plus court crépuscule. « Supposé donc l'arc crépusculaire de 18 degrés, et la latitude de 48 degrés 51 minutes, qui est celle de Paris, on trouve par la « règle que je viens de donner, que le plus petit crépuscule se fait » à Paris quand le soleil décline vers le midi de 6 degrés 50 mi«nutes. Si on cherche maintenant le lieu dans l'écliptique, on « trouvera que le soleil doit être éloigné d'un des points équinoxiaux « de 17 degrés 25 minutes; c'est-à-dire qu'on aura le plus petit « crépuscule à Paris, le 18. jour avant le premier équinoxe, et le » 18. après l'autre équinoxe. M. Monge a résolu la même question par des considérations géométriques; sa solution consiste à mener un plan tangent commun à deux cônes droits, dont l'un à pour axe la verticale du lieu pour lequel on demande le plus petit crépuscule, et pour base le parallèle à l'horison dans lequel le centre du soleil se trouve, lorsque la nuit est totale; l'autre cône a pour axe l'axe du monde ; il est l'enveloppe de l'espace parcouru par le plan de l'horison tournant autour de cet axe; l'arête de contact du plan tangent au premier cône, coupe le parallèle à l'horison qui lui sert de base, en un point, par lequel, si on mène un plan perpendiculaire à l'axe du monde, ce dernier plan contiendra le cercle de déclinaison du soleil qui correspond au plus petit crépuscule. (MM. les élèves sont invités à trouver la raison de cette construction, dont la vérité sera démontrée par calcul de la page suivante.) le On a déja vu (solution de la pyramide triangulaire, no. 4 de cette Correspondance, pag. 48) comment on peut mener un plan tangent à deux cones droits qui ont même sommet, en n'employant que |