ANALYSE APPLIQUÉE A LA GÉOMÉTRIE.

DE LA COURBE DE CONTACT D'UNE SURFACE CONIQUE AVEC UNE SURFACE DONT L'ÉQUATION EST DU DEGRÉ M,

Par M. HACHETTE.

M. Monge, après avoir démontré dans ses feuilles d'analyse appliquée à la géométrie, que la courbe de contact d'une surface conique avec la surface du second degré étoit plane, a énoncé la proposition suivante :

Si une surface dont l'équation est du degré m est touchée par un cóne, la courbe de contact est sur une autre surface courbe du degré m

- I.

Pour le démontrer: soit Vo,

(1)

L'équation algébrique d'une surface: en la décomposant en ses termes des degrés m, m—

Fm, Fm Fm

189

—1; m−2, etc,, et nommant ces termes

L'équation aux différences partielles de la surface conique dont le sommet a pour coordonnées les constantes a, b, c, est en supposant dz=pdx + qdy,

c — z = p2 ( a − x ) + q (b−y),

L'équation P(a — x ) + Q ( b −y ) + R ( c—z ) = o, qui en résulte, appartient à la courbe de contact que l'on considère. Ayant mis cette dernière équation sous la forme:

Pa+Qb + Rc = Px + Qy+Rz,

(4)

le premier membre est évidemment du degré m — 1; la ques

se réduit donc à faire voir que le second membre est aussi du degré m-1.

Chaque terme de l'équation (2) étant une fonction homogène, on aura pour l'un quelconque, par exemple, le premier E dans lequel entrent les trois variables x, y, z,

En effet, en supposant que chacune de ces variables devienne

x (1+g),y(1+8), 2(1+8),

la fonction Fm deviendra

(1+g)"Fm=F2(1+mg+

m (m- -1).

g', etc.);

2

mais par le théorême de Taylor, cette même fonction F devient:

dFm

F+gx +gy

dFm

dx

dy

dFm dz

+gz + etc.; donc on aura:

Fm + mg Fm + m (m −1) g2 Fm + etc.,

2

Cette dernière équation doit avoir lieu, quelle que soit la valeur de g; donc on doit égaler dans les deux membres les coëfficiens de g, g2, etc.; ce qui donne :

(1) Ce théorême est vrai, quel que soit le nombre de variables qui entrent dans la fonction homogène. (Voyez le Traité élémentaire de calcul différentiel et intégrul de M. Lacroix.)

Ajoutant tous les termes de ces équations par colonnes verticales; la première somme se réduit par l'équation (2) à

— ( Fm − 1 + 2 Fm-2+3 Fm-3+ etc. ) ;

19

elle

Ce résultat ne fait pas seulement voir que la courbe de contact est sur une surface dont l'équation est du degré m indique encore comment elle est composée en fonctions dérivées des termes de l'équation proposée Vo.

Si on suppose le sommet du cône tangent à l'origine des coordonnées, elle se réduit à

Fm-1+2 Fm-2+3 Fm-3+ etc.

M. Cauchy, élève de cette année, est arrivé à ce même résultat de la manière suivante:

L'origine des coordonnées étant placée pour plus de facilité au sommet du cône, les équations de la droite mobile qui engendre ce cône, seront de la forme xaz, y = bz. Soit de plus

L'équation de la surface proposée, les z des points où la droite touchera la surface seront donnés par l'équation

dont le développement sera de la forme:

pzm +92-3+ etc. +sz+1=0.

(az, bz, z) =0;

(2)

Pour que la droite mobile soit tangente à la surface proposée, il faudra que cette équation ait des racines égales, ou que les z des points de tangence satisfassent à l'équation

mpz"+(m-1)qzm-1+etc.+sz=0.

(3)

Mais les mêmes z satisfont aux équations xaz, y=bz. Si donc on substitue pour a et b leurs valeurs prises dans ces der

nières équations, dans l'équation (3), celle qui en résultera sera satisfaite par les coordonnées de la courbe de tangence. A l'égard de cette substitution, nous observerons que si on la faisoit d'abord dans l'équation (2), on retomberoit sur l'équation (1). Mais l'équation (3) se déduit de l'équation (2), en multipliant chaque terme par le degré de ce terme : donc aussi l'équation cherchée se déduira de l'équation (1), en multipliant chaque terme par le degré de ce terme. Soit donc

f(x,y,z) = 0, (4)

l'équation cherchée. Les coordonnées de tangence satisferont aux équations (1) et (4). Si on multiplie la première par m et qu'on en retranche la seconde, les mêmes coordonnées satisferont encore à la différence, qui sera une équation du (m-1)eme dégrè, et si l'on représente A, B, C, D, etc. la somme des termes de différens degrés de l'équation (1), cette équation pourra être représentée par A+B+C+ etc. = o, ou

mA + mB + mC + etc. = o.

L'équation (4) sera représentée par

mA+(m~1) B + (m −2 ) C+ etc. = o,

et l'équation qui sera leur différence

B+2C+3 D + etc. o.

C'est l'équation d'une surface (m-1)eme degré qui contient la courbe cherchée.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Par M. PUISSANT, Professeur à l'École impériale Militaire.

Il existe plusieurs théorêmes de statique qui donnent lieu à des propositions très-curieuses de pure géométrie, comme on peut le voir dans la Polygonométrie de M. Lhuilier de Genève, et sur-tout dans la Géométrie de position de M. Carnot. Ces savans sont parvenus, par des méthodes géométriques, à quelques propriétés du centre des moyennes distances, point qui est le même que celui que l'on nomme en mécanique centre de gravité; ces propriétés peuvent aussi se découvrir aisément et avec beaucoup d'élégance par l'analyse. Pour donner une preuve de cette assertion, nous nous proposerons la question suivante qui dérive du principe des momens..

PROBLEME.

Mener un plan dans l'espace, de manière que la somme des perpendiculaires abaissées sur ce plan et de plusieurs points donnés à sa volonté soit égale à une droite donnée m.

Solut. Supposons, pour plus de symétrie dans le calcul, que les perpendiculaires soient situées d'un même côté du plan cherché, et au nombre de trois seulement, ce qui ne nuit point à la généralité de la question, l'équation de ce plan sera'

z = ax + by +ċ,

et la perpendiculaire à ce même plan aura généralement pour expression

Zax - by C

Ainsi, relativement aux points donnés x'y'z'xyz", xly!!!!!!, on aura, en se conformant d'ailleurs à l'énoncé de la proposition, (zaxby'—c) + (z!! — ax!! — by"—c) +(z-ax!!!—by!!!—c)=mvi+a2+b2.

2

Substituant dans l'équation du plan cherché pour c sa valeur tirée de l'équation, on obtiendra

Si on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes, et si on place leur origine au centre des moyennes distances des trois points donnés, on aura simplement, en désignant, par x, y, z, les coordonnées relatives aux nouveaux axes

+by

Cette équation est évidemment celle d'un plan mené par un point de l'axe des x,, distant de la nouvelle origine de la quantité mV 1 + a2

+62

Mais il est facile de s'assurer que cette quantité