à la pesanteur? et, lorsqu'on la fait entrer en considération, la forme, la direction des routes changent-elles ou se conserventelles les mêmes ?

Quelle que soit la direction de chacune des routes qui doivent être placées sur une surface quelconque, elles doivent être les lignes les plus courtes qu'on puisse, entre leurs extrémités, mener sur cette surface.

Mais les lignes les plus courtes sur les surfaces jouissent de cette propriété remarquable, caractéristique, et qui suffit à leur définition, que tous leurs plans osculateurs sont normaux à la surface au point d'osculation.

Cette propriété est la vraie clef de toute la théorie de la courbure des surfaces: en effet, toutes les courbes des centres de courbure sont sur la surface des centres de courbure des lignes les plus courtes qu'on puisse, sur cette surface, mener entre leurs extrémités; et pour qu'un systême donné de lignes puisse être celui des centres de courbure d'une surface, il faut que ces lignes soient entre leurs extrémités les lignes les plus courtes sur la surface qu'elles forment par leur ensemble.

Cette propriété démontre immédiatement que les surfaces développables des rayons de courbure se croisent à angles droits, et tous les autres théorêmes relatifs aux contacts du second ordre des surfaces; mais comme ceux-ci tiennent en outre à un ensemble de propriétés qu'il seroit trop long de faire connoître ici, nous ne nous en occuperons pas.

Je me suis beaucoup écarté de mon sujet, et cependant les principes que je viens d'exposer étant nécessaires à sa discussion, j'ai dû les développer; je me hâte de revenir à la théorie des transports.

Nous venons de dire que les routes devoient, en s'infléchissant sur la surface qu'elles sont assujetties à parcourir,suivre les lignes les plus courtes de cette surface; donc, les tangentes à ces courbes, c'est-à-dire la partie rectiligne des routes, avant qu'elles aient atteint et après qu'elles ont quitté la surface, sont les normales d'une même surface courbe, les surfaces développables qu u'elles forment se croisent à angles droits, etc....

En faisant entrér en considération l'action de la gravité sur les volumes transportés, on démontrera que dans le systéme actuel de nos transports, la direction des routes ne doit pas cesser d'être la même que dans l'hypothèse plus simple où les corps sont soumis à la puissance de translation. En supposant même que la densité du déblai et du remblai puisse être variable dans chacun de leurs points, tout ce que nous avons dit jusqu'ici s'appliquera

également au cas déjà traité de l'homogénéité du déblai et du remblai, et au cas où la densité varieroit pour chacune de leurs parties d'une manière quelconque.

Ainsi, les belles propriétés que M. Monge a assignées aux routes dans les relations de leurs positions reciproques, lorsque ces routes sont entièrement libres dans l'espace, qu'elles se croisent au-delà du déblai et du remblai, que la pesanteur est négligée et la densité uniforme, conservent toute leur généralité lorsque les routes sont libres ou dirigées sur des surfaces quelconques, qu'elles se croisent ou non au-delà de leurs extrémités, que la densité soit ou ne soit pas constante, qu'on néglige ou qu'on considère l'action des forces de la nature.

Il y a plus: l'examen des cas les plus généraux semble être plus facile, et les résultats auxquels il conduit démontrent comme conséquence immédiate ceux où les routes sont supposées rectilignes, et cet examen fait connoître encore les diverses propriétés de la courbure des surfaces.

Après avoir considéré les routes commé assujetties toutes ensemble à des inflexions soumises à des lois uniformes et continues, envisageons les cas où elles sont forcées à des changemens brusques dans leur direction; supposons, par exemple, qu'a chaque retour les ouvriers, ou les voitures destinées au transport, doivent passer par un point donne. Tel seroit le cas de transports éloignés qui ne permettroient de faire qu'un voyage par jour ou par relais: tous les ouvriers, les chevaux, etc........... reviendroient à chaque route parcourue, à l'habitation de l'atelier.

Voici quelles seront alors les relations entre les positions des routes: si le déblai et le remblai sont des volumes déterminés, les routes des allées seront les mêmes, soit qu'on ait ou non égard aux retours, car elles sont également les routes du minimum dans l'un et l'autre cas.'

Il n'en est pas ainsi lorsque le déblai et le remblai sont regar dés comme des volumes indéfinis qu'il faut déterminer le plus avantageusement possible; en regardant dans ce cas le point commun à tous les retours comme un point lumineux, la surface qui doit circonscrire le déblai ou le remblai comme un miroir ou surface réfléchissante, les routes des retours seront les rayons incidens, les routes des allées seront les rayons réfléchis par cette surface, et le lieu des images sera la surface sur laquelle doivent s'infléchir toutes les routes, c'est-à-dire la surface du terrain; et en supposant pour cette surface, ce qui a lieu pour tous les corps, que les rayons de lumière se dévient en venant la tou

cher, l'inflexion de la lumière (on emploie ici la dénomination de Newton) sera précisément la partie courbe des routes.

On voit par-là que si on considère les rayons partis d'un point lumineux réfléchis par une surface quelconque, qui se coupent consécutivement deux à deux, les surfaces développables qu'ils formeront appartiendront à deux systêmes qui se croiseront à angles droits, les lieux des images seront les arêtes de rebroussement des surfaces développables; ainsi, il y aura deux systêmes d'images donnés chacun par un des systêmes de surfaces dévelop pables. Ce théorême revient à celui que M.Malus a fait connoître; l'évaluation des transports déterminera l'intensité de la lumière; et, en adoptant l'analyse de M. Monge au cas général qu'on considère, toute l'optique ne sera plus qu'une conséquence mathématique facile d'un cas particulier de la théorie des transports.

Mais d'autres considérations peuvent conduire avec une égale facilité aux mêmes résultats, nous en avons fait l'objet d'un travail à part auquel il manque encore quelques développemens pour être terminé,

Toutes les images sont réelles dans l'hypothèse du déblai ou du remblai indéfini et des retours dirigés sur un point fixe; elles sont toutes imaginaires dans l'hypothèse du croisement des routes entre leurs extrémités; c'est la seule difference que présente l'analyse de ces deux questions si différentes: déterminer la surface qui doit circonscrire le déblai ou le remblai quand les retours sont dirigés sur un point fixe, et déterminer la surface qui, dans le croisement des routes, sépare les routes d'une direction de celles de l'autre direction; l'une est un miroir qui rend réelles toutes les images, l'autre est un miroir qui les rend toutes imaginaires; l'une est l'enveloppe d'un systême d'ellipsoïdes, l'autre l'est d'un systême d'hyperboloïdes de révolution qui ont avec elleş un contact du second ordre.

Passons actuellement à l'application de ces solutions à la pratique.

Ce seroit évidemment une entreprise ridicule que de vouloir assigner à chaque élément, ou pour chaque charge très-petite, la route qu'elle doit parcourir. Mais en divisant le travail par ateliers, comme cela se fait toujours dans les grands travaux, en déterminant les routes extrêmes qui doivent séparer les transports des divers ateliers, il suffira que les transports, dans chacun d'eux, se fassent en suivant des directions intermédiaires aux limites, et qui seront nécessairement et suffisamment indiquées par les premières ; et cette opération, peu longue en elle-même, présentera encore moins de difficultés.

On déterminera facilement avec des jalons les lignes les plus

courtes sur le terrain, c'est-à-dire les routes, leur direction primitive étant donnée, par les conditions que le contour apparent du terrain, ou son plan tangent, soit normal au plan osculateur de la route, et par conséquent au plan mené par trois de ses points consécutifs.

On cherchera d'abord une des lignes les plus courtes sur le terrain qui intercepte sur le déblai et le remblai, par la surface développable de ses tangentes, des volumes assez peu différens de ceux à transporter par les ateliers qu'on veut limiter. Cette ligne déterminée, ce qui n'exigera que quelques évaluations grossières en un simple jalonnage, on concevra sa développante qui, sur le déblai, sépare en deux parties égales la section de la surface des tangentes dans le déblai: on cherchera celle des développées de cette développante dont la surface des tangentes intercepte sur le remblai un volume égal au volume donné; l'hypothèse que la première route diffère peu de la véritable, rendra cette recherche facile, et cette développée sera la route cherchée.

Il est un cas plus facile que les autres, c'est celui où le transport, au lieu de se faire en montant doit se faire en descendant; on profite alors de l'action de la pesanteur pour avancer le travail; on sape les terres du déblai en enlevant d'abord les parties les moins élevées, on les voiture jusqu'aux premiers points qu'on rencontre à remblayer; on les élève jusqu'à leur plus grande hauteur, et on passe ensuite tout le reste des terres par-dessus celles-là; on les jette, et leur poids entraîne jusqu'aux parties les plus basses du remblai. Voici comment alors on trouvera les

routes.

La surface du terrain à obtenir sera le lieu de toutes les routes : mais les élémens de cette aire ne devront pas être regardés comme homogènes, les densités des élémens seront représentées par les hauteurs de terre (cotes rouges) qui leur correspondent sur le déblai et le remblai; et d'après ces données, on déterminera les routes sans plus de difficultés que dans le transport des aires planes homogènes.

C'est par des méthodes qui ont avec celles-ci les plus grandes analogies, que les ingénieurs maritimes déterminent la vraie flottaison des vaisseaux, d'après une flottaison fictive et qui est supposée en peu différer; et les mêmes methodes d'approximation se présentent à chaque instant dans les applications des sciences mathématiques: seulement, comme c'est de l'exactitude des opérations des constructeurs de vaisseaux que dépendent la fortune ou l'honneur et la vie des marins, la gloire des armes de l'Etat, elles doivent avoir une plus grande précision entre leurs mains, qu'en l'appliquant à d'autres usages. Dans l'exemple que

nous donnent les remblais, on doit se borner à une exactitude rapprochée : car, je le répète, c'est à des déterminations générales et rapides qu'on doit se borner: une approximation suffisante, et voilà tout ce qu'il faut dans les arts; le temps est leur élément le plus précieux, et dès qu'on atteint la limite où, pour parvenir à un plus grand degré de précision, il faut que les artistes sacrifient plus de leur temps qu'ils n'en épargneront en donnant une méthode plus avantageuse, cette limite est le véritable minimum, parce que le temps des opérations entre aussi dans l'évaluation qu'on doit faire du prix des travaux.

Beaucoup de choses échappent dans une analyse, quelque longue qu'elle puisse être : celle-ci ne l'est déjà que trop; cependant nous avons omis beaucoup de détails nécessaires, et nous craignons de n'avoir donné qu'une idée obscure et peu exacte du travail que nous avons entrepris. D.

Des lignes de plus grande pente (1).

PROBLEM E.

Une surface courbe étant coupée par une suite de plans parallèles entre eux, on demande l'équation de la ligne perpendiculaire aux sections de la surface par ces plans?

SOLUTION par M. Bétourné, élève.

Je puis supposer que le plan coupant soit le plan des x,y; car, s'il ne l'étoit pas, il me suffiroit d'une simple transformation des coordonnées pour parvenir au cas que je considère. La courbe cherchée étant sur la surface, elle sera parfaitement connue par sa projection sur le plan des x,y; je suppose donc que l'equation de cette projection soit y Fx. Pour que la courbe cherchée et la section parallèle aux x, y, soient perpendiculaires entre elles, il faut que leurs tangentes le soient; et il est évident que cette condition sera remplie, si les projections des tangentes sur le plan des x, y, sont perpendiculaires, ou bien si 1+ aa'=0 y=ax+a, y=axaétant les équations de ces projections:

(1) Etant chargé d'enseigner la théorie de la levée des plans et l'usage des lignes de plus grande pente dans le dessin des cartes topographiques, j'ai cru utile de proposer le problême dont on va lire la solution.

H.