curieuses dont les solutions peuvent s'obtenir en n'employant que la seule ligne droite, considérée simplement comme direction et non comme mesure, je me bornerai à indiquer la suivante parce qu'elle peut se résoudre très-brièvement, et qu'elle présente quelque chose de piquant.

"Une ligne droite étant disposée d'une manière quelconque dans le plan d'un parallelogramme, on propose de lui mener << une parallèle par un point donné sur le même plan. »

DÉMONSTRATION ANALYTIQUE

DU THÉORÈME DE GÉOMÉTRIE DONNÉ PAR M. HACHETTE (1); Par M. PUISSANT, professeur de Mathématiques à l'Ecole Militaire de Fontainebleau.

Si deux plans rectangulaires sont assujettis à se mouvoir entre deux droites fixes, leur commune section engendrera un cone qui aura même sommet que l'angle des deux droites fixes, et dont la base sera un cercle perpendiculaire à l'une ou à l'autre de ces droites.

Soient AM, AM' (fig. 11), les deux droites fixes données ou les traces horizontales des deux plans rectangulaires passant par l'origine des coordonnées. Les équations de ces plans sont

Ax+By+Cz → o
Ax+By+C'zo,

lesquelles ont lieu en même temps à la ligne d'intersection; et la condition de perpendicularité est exprimée par

de-là on tire

AA' + BB' + CC!= 0,

(AA' + BB') z2 + BB'y AA'x2 + (AB' + A'B) xy=0....(1), Telle est l'équation de la surface conique engendrée par la commune section des deux plans rectangulaires. Lorsque z=o, on à seulement

(By+Ax) (B'y + A'x) = 0.

(1) Voyez le no. 6 de la Correspondance, page 179.

c'est-à-dire que le plan des xy coupe le cône suivant les deux droites AM, AM', dont les équations respectives sont

Ax+ By =0, A'x+ B'y = 0.

Tout plan parallèle à celui des xy coupe le cône suivant une ellipse, ce qui est évident ; d'où il suit que le cône est oblique. Pour déterminer la position de la base circulaire de ce cône, il faut substituer dans l'équation (1) les valeurs connues

(AA' + BB) sin' + BB' cos cos1

+ AA' cos' sin’q—(AB'+A'B) cos'è sin cos &

+ { BB'sin*q+AA' cos2q+(AB'+A'B) sino cosq} x'1

+ 2 AA'sin 4 cos cos

--

- 2 B B' sin 4 cos & cos

+ (AB' + A'B) (sin2 è cos ♦ — cos3 4 cos 0)

+ Mx'+Ny'+P=0.

La section, par ce nouveau plan, sera un cercle si les coefficiens de x' et y sont égaux, et si celui de x'y' esto; or ce dernier devenant nul par la supposition de

mière relation devient

100s. la pre

(B cos - A sin q) (B' cos - A'sin q)=0;

B
A

d'où l'on tire tang = ou tang =

B'

A

mais les droites AM et AM' font avec AX des angles dont les tangentes sont respectivement

Done la base circulaire du cône est perpendiculaire à l'une ou l'autre de ces droites C. Q. F. D

DE LA PERSPECTIVE LINÉAIRE

Par la méthode des points de concours;

Par M. HAchette.

La solution graphique des problêmes de géométrie aux trois dimensions exige en général l'emploi simultané de deux plans de projections qu'on suppose ordinairement l'un horizontal et l'autre vertical, Les lignes de construction par lesquelles on résout ces problêmes, sont le plus souvent tracées alternativement sur l'un et l'autre plan; il y a cependant des cas où la dépendance réciproque de ces lignes n'a pas lieu; et pour en donner quelques exemples, on se rappellera qu'ayant sur un plan horizontal les bases et les sommets de deux surfaces coniques, et le point où ce plan est rencontré par la droite qui joint les sommets des deux cônes, on construit la projection horizontale de la courbe d'intersection des deux surfaces coniques, sans avoir recours à la projection verticale; on obtient de même la projection de l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes se rencontrent sur un plan parallèle à ces axes, lorsqu'on s'est donnésur ce plan les axes et les courbes génératrices des surfaces.

La perspective linéaire étant aussi une projection faite sur un plan par des droites concourant en un point, on peut demander dans quels cas cette espèce de projection se construira, sans avoir recours au systême de deux projections orthogonales, et quelles seront les données du problême de perspective, pour que sa solution se déduise d'un systême de lignes tracées sur un seul plan, celui du tableau. Quel que soit le nombre des points à mettre en perspective, ils peuvent être considérés comme les sommets d'angles égaux dont les côtés sont parallèles; or on sait que les perspectives de tous ces côtés concourent sur le tableau en deux points; donc si on a ces deux points, et si on connoît d'ailleurs les points de rencontre du tableau avec les côtés des angles, il est évident que la perspective de chaque point sera déterminée par la rencontre de deux droites tracées sur le tableau même; tel est le principe qui sert de base à la méthode usitée pour construire les dessins perspectives d'architecture. Dans l'enseignement de cet art, tel qu'il se fait à l'Ecole Polytechnique, on emploie, les dessins géométraux pour la composition des monumens, et on fait sentir aux élèves l'utilité des dessins perspectives pour juger l'effet des compositions: il seroit donc à

désirer que ceux de MM. les élèves qui désirent cultiver plus particulièrement l'architecture, connussent les méthodes de perspective plus faciles et moins longues que la méthode générale qui est l'objet d'une partie de mon cours de géométrie descriptive. Je me suis proposé de leur faire connoître la méthode des points de concours. Les auteurs des traités de perspective l'ont bien indiquée; mais mon objet est d'éviter à nos élèves la lecture longue et pénible des livres qui ont été écrits sur cette matière, et de leur faire voir comment cette méthode-pratique se déduit de nos principes de géométrie aux trois dimensions.

Quel que soit le nombre et la forme des objets dont on demande la perspective, les contours apparens et les arêtes visibles de ces objets sont considérés comme les bases des surfaces coniques, qui ont pour sommet l'œil du spectateur qu'on regarde comme un point d'intersection de ces surfaces par le tableau et la perspective demandée.

Les lignes à mettre en perspective étant données par leurs projections sur deux plans rectangulaires, et la surface du tableau étant supposée plane, on mène un troisième plan de projection perpendiculaire à l'un des plans rectangulaires et au plan du tableau ; on projette sur ce troisième plan les arêtes des surfaces coniques, et par la combinaison des lignes tracées sur les trois plans de projection on obtient le développement du tableau, c'est-à-dire la perspective linéaire demandée; cette méthode est rigoureuse: elle est générale; mais on conçoit que dans un grand nombre de cas il sera très-difficile d'en faire usage: en effet, qu'il s'agisse de la décoration d'un théâtre, on prend ordinairement la toile d'avant-scène pour tableau, et on suppose le spectateur placé immédiatement au-dessous de la première galerie ou des premières loges, et sur la ligne du milieu du parterre dont la direction est perpendiculaire à la toile d'avant-scène; cette toile ayant environ 15 mètres de largeur, le spectateur est au moins en avant de cette toile de 15 mètres; les décorations du théâtre en sont à-peu-près à la même distance en arrière; les objets à mettre en perspective seront, d'après ces hypothèses, éloignés de l'oeil du spectateur d'environ 30 mètres; les aires sur lesquelles on traceroit les lignes de projections orthogonales auroient donc cette dimension dans le sens de la longueur, ce qui entraîneroit des opérations graphiques, longues et très-pénibles. Pour les éviter, on a imaginé plusieurs méthodes d'une application commode pour les dessins d'architecture, car c'est principalement pour ce genre de dessins que l'exactitude est nécessaire. Lorsqu'un objet est irrégulier, on peut attribuer l'inexactitude de sa perspective

à l'irrégularité de l'objet; mais lorsqu'il s'agit d'un monument dont toutes les parties ont entre elles un certain rapport fixé par l'usage et par le goût des arts, le dessin perspective qui changeroit ces rapports produiroit l'effet le plus désagréable.

Une observation très-importante échappe à la plupart de ceux qui commencent la perspective et qui la considèrent comme un simple problême de géométrie; ils supposent le spectateur tellement près du tableau, que la perspective qu'ils ont construite d'après toutes les règles de la géométrie, paroît fausse, et l'est réellement en ce sens, que si un objet étoit placé, par rapport à l'œil, de la même manière que le tableau, la vue en seroit confuse, et le spectateur n'en distingueroit pas la forme. L'expérience apprend que la distance à laquelle un objet peu étendu nous paroît bien distinct, a pour limite un décimètre environ; quant à la distance dont on peut éloigner l'objet de l'œil, elle dépend de sa grandeur. On sait, par observation, que le champ ordinaire de la vue a pour limite un cône droit dont le côté fait avec l'axe environ un demiangle droit; on sait aussi que les rayons visuels, d'où résulte une image vive des objets, sont peu inclinés par rapport à la surface extérieure de l'œil. On a déduit de ces observations sur l'organe de la vue, deux règles, la première consiste à placer l'oeil sur une perpendiculaire au tableau élevé par son milieu; la seconde, à prendre pour distance de l'oeil au tableau une largeur à-peu-près égale à celle du tableau, en conservant néanmoins les limites inférieures et de cette distance et de l'angle formé par les rayons visuels extrêmes: lorsqu'en réduisant un bon dessin perspective on dépasse cette limite, il n'y a pas lieu à s'étonner que la perspective réduite produise un effet différent du premier, et qu'elle soit réputée fausse..

Cela posé, voici le problême de perspective qu'il s'agit de résoudre : « Connoissant les dimensions d'un monument, la po«sition de l'œil et du tableau par rapport à ce monument, en construire la perspective sans avoir recours aux plans de pro«jections, et en ne faisant usage que des cotes qui fixent les di«mensions de toutes les parties dont ce monument est com«posé. Il faut distinguer les détails d'un monument, dont les formes irrégulières peuvent varier au gré de l'imagination de l'artiste qui les emploie, des parties principales dont les formes régulières sont susceptibles d'une définition rigoureuse; celles-ci. sont terminées par des surfaces qui sont ou planes, ou cylindriques, ou de révolution; coupées par des plans horizontaux, les sections qui en résultent sont ou des cercles, ou des carrés et des parallelogrammes dont tous les côtés sont parallèles: en

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