De la ligne droite et du plan, rapportés à des coordonnées obliquès, par M. FRANÇAIS, capitaine au corps impérial dis génie. I. Les équations de la ligne droite et du plan, rapportées à des coordonnées obliques, sont évidemment de la même forme que celles rapportées à des coordonnées rectangulaires; mais les coefficiens des variables ont nécessairement d'autres signifi cations, et ont entre eux des relations qui dépendent des angles que les coordonnées obliques font entre elles. Les équations de condition pour que deux droites, ou deux plans, ou une droite et un plan fassent entre eux des angles donnés, dépendent aussi des angles des coordonnées, et different par conséquent de celles qu'on a dans un système de coordonnées rectangulaires. Nous nous proposons de faire voir en quoi consistent ces différences. Nous nous servirons des mêmes notations que dans le Mémoire sur la transformation des coordonnées. (Voyez le 14. cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique, page 182. ) Pour indiquer l'angle formé par deux axes, on écrit ces deux axes entre parenthèses, en les séparant par une virgule; sin (x', y') indique le sinus de l'angle formé par l'axe des x avec celui des y'; (xy, x') est l'angle formé par le plan x y avec celui des x' z'; (z', xz) indique l'angle formé par l'axe des z' avec le plan des xz. Soit (fig. 1) AXZ'YX'ZY' M (1) le parallelipipède formé par les trois plans coordonnés et les trois plans projettans, qui déterminent le point M, on aura, AX=x, AY=y, AZ = x, AM = {; (1) ç'=x2+y2+z2+2xy cos (x,y)+2xz cos (x, z)+2yz cos (y,z). qui sont les équations des projections de la droite AM. En substituant les valeurs (2) dans l'équation (1), on trouve entre les coefficiens a, b,c, la relation suivante: (4) 1=a2+b2+c'+2abcos(x, y)+2ac cos (x,z)+2bc cos (y,z). En abaissant des points X et Y des perpendiculaires sur AM, on voit que cette ligne est composée des trois parties x cos (e, x), y cos (,y), z.cos (, ); ce qui donne (5) e=xcos (e, x)+y cos (p,y) + cos(ę, z); en substituant dans cette équation les valeurs (2) on obtient entre a, b, c, la relation (6) 1 = a cos (ę, x) + b cos ( 3, y) +c cos (p, ~ ). Cette équation devant être identique avec l'équation (4), on trouve (7) cos (g, x) = a + b cos (x, y) + c cos (x, z), (1) Le lecteur fera facilement cette figure en perspective; il tracera un parallelogramme AXZY, et il marquera des lettres Z, Y', M, X' les extréuites des arêtes égales partant des points A, X, Z, Ÿ, d'un autre côté, la seule inspection de la figure fait voir qu'on a valeurs qui étant substituées dans les équations (7), (4) et (6), fournissent entre les différens angles du système des coordonnées et de la droite AM les relations suivantes : Il est bon d'observer que le procédé que nous avons employé pour parvenir aux équations (3) de la ligne droite passant par l'origine, nous a fourni les expressions les plus simples; mais elles ne se présentent pas toujours sous cette forme. Chacun des coefficiens a, b, c, pourroit être multiplié par un facteur constant; par exemple, si on avoit ka, mkb, u kc, les équations (3) pourroient être remplacées par nxlz, ny = mz; mais alors l'équation (4) deviendroit (10) k2=l2+m2+r2+2lmcos(x,y)+2lncos(x,z)+2mncos(y,≈), et il faudroit remplacer dans nos formules, a par par k Soient maintenant les équations d'une seconde droite passant par l'origine on aura entre les coefficiens a', b', c' des relations analogues à celles que nous avons trouvées entre a, b, c. Proposons-nous de chercher l'expression de l'angle que ces deux droites font entre elles. Représentons par x', y', ' les coordonnées de l'extrémité de e, et par x, y, z celles de l'extrémité de g'; on aura pour le carré de la droite qui joint ces deux points (12) ç2+g'2— 2çç'cos (e, ç′)=(x'—x")2+(y' —y'')2 + (z! — z'')2 +2(x'—x'') (y'—y'') cos (x, y) +2 (x'—x'') (z'—z'')cos(x,=) +2(y'—y'') (3' — z'') cos(y, z); en substituant dans le second membre de cette équation pour x', y', z', x", y", z", leurs valeurs en et e', elle devient, en vertu de l'équation (4)et de son analogue en a', b', c', 62+ç'2— 2 çç' cos (ç, ç′) = ç2+'g'2—2 çç' {aa'+ bb'+ cc' +cos(x,y)(ab'+a'b)+cos(x,z)(ac'+a'c)+cos(y,*)(bc'+b'c)}; d'où l'on tire (13) cos (e, g)= aa' + bb! + cc' + cos ( x, y ) ( ab' + a'b) +cos(x, z) (ac' + a'c) + cos (y, z) ( bc' + b'c), ou bien, en vertu des équations (7), et de leurs analogues en a',b',c' (14) cos (e, e') = a' cos (g, x) + b' cos (g, y) + c'cos (p, =) = acos(p', x) +b cos ( p', y ) + c cos(p', s) Si les équations de ces deux droites avoient été données par les deux systèmes suivans : nx=lz, ny=mz; n'x= l'z, n'y=m's; les équations (13) et (14) seroient devenues (15) 'cos (p,l') == '}, {'ll' + mm' + nn' + cos (x, y) (lm' + l'm) kk' + cos (x,z) (In' + l'n) + cos (y,z) (mn' + m'n)}; cos (p,p') = {'cos (p, x) + m2 cos (p.y) + n' cos (p,5)} = =—=—= {l cos (p',x) +m cos (p',y) +n cos (p',z)} ; où k' est composé en l', m', n', comme k l'est en l, m, n. En égalant à zéro les valeurs (13), (14) ou (15), on a les équations de condition qui expriment que les droites et sont ę e perpendiculaires entre elles. La quantité e est évidemment la distance à l'origine d'un plan passant par le point M, et perpendiculaire à la droite AM; l'équation (5) est donc celle de ce plan; en faisant cos (ę, x)=A cos (,y)=B, cos (g, z) = C, elle devient (16) Ax+By+Czę; l'équation (6) devient par cette substitution (17) Aa + Bỏ + C=1, et exprime la relation qui doit exister entre les coefficiens a, b, c, A, B, C, pour que le plan (16) soit perpendiculaire à la droite (3). En faisant la même substitution dans les équations (7) on obtient (18) A=a+b cos(x, y) + c cos(x, 3), C=c+ acos(x, z) + b cos ( y, z); équations qui déterminent les coefficiens du plan perpendiculaire à la droite (3), par ceux de cette droite. Pour résoudre la question inverse, il faut tirer les valeurs de a, b, c des trois équations précédentes: elles fournissent, au moyen de l'équation connue, cos(x,y) = cos(x,z) cos (y,z) + sin(x,z) sin (y,z) cos (xz,yz), les valeurs suivantes : |