prisme; on mesure l'angle que le rayon réfracté fait avec l'horizon, et c'est de la mesure de cet angle que l'on déduit quelle seroit la valeur de i pour le corps opaque mis en expérience, en supposant que ce corps devint transparent.

rayon

On conçoit ce qui se passe dans cette expérience; le de lumière animé d'une vîtesse horizontale est à-la-fois soumis à l'action du corps opaque et du prisme; la différence de ces deux actions lui imprime une vitesse perpendiculaire à la base du prisme, qui étant combinée avec la vitesse horizontale, donne au rayon une nouvelle vîtesse dont la direction est en dessus ou en dessous de la base du prisme, selon le sens de la différence des deux vîtesses verticales; or, il est nécessaire pour le succès de l'expérience que la direction de la vitesse moyenne soit au-dessus de la base du prisme; donc il faut que la vitesse résultant de l'action du prisme soit plus grande que celle qui est due à l'action du corps soumis à l'expérience; d'où l'on voit que cette méthode de Wollaston ne s'applique pas encore à tous les corps opaques, et qu'elle dépend de la nature du prisme, qu'il importe d'avoir le plus réfringent pos

sible.

Wollaston,en mesurant les angles de réfraction correspondant au minimum d'action du prisme, a obtenu des nombres qui varient avec les pouvoirs réfringens, mais qui n'en sont pas la mesure; M. Malus appliquant la théorie de M. Laplace et la méthode du physicien anglais, est arrivé à des conséquences plus justes et tout-à-fait neuves sur la réfraction de la lumière. Raison

nant sur l'expression de pouvoir réfringent F

i.

il, s'est demandé si la même substance variant de densité et même d'état par un changement de température, les variations de i correspondant à seroient telles, que le pouvoir réfringent ne changeât pas. L'expérience a confirmé que ce pouvoir étoit constant. Parmi les substances propres à mettre en évidence ce résultat, la cire d'abeille étoit le corps le plus convenable; sa densité varie sensiblement de o° à 80° R.; de solide elle devient liquide à une température peu élevée; dans tous ces états, elle a un pouvoir réfringent qui ne varie pas.

La valeur de i se déduisant de l'angle observé avec l'appareil de Wollaston, il falloit trouver l'équation qui établit la relation de ces deux quantités; M. Malus l'a donnée dans son mémoire, et il a fait voir qu'elle n'étoit pas la même pour les corps opaques que pour les corps transparens, comme Wollaston l'avoit supposé. On conçoit en effet que la lumière se réfléchissant à la surface d'un corps, n'en éprouve pas une

action aussi complète que si elle ne se réfléchissoit qu'après avoir pénétré dans ce corps jusqu'à la limite de la sphère d'activité; dans l'appareil de Wollaston, le prisme dont il se sert est nécessairement rectangulaire; on en trouve rarement de cette forme et pour rendre les expériences comparables, il faudroit n'employer que des prismes rectangulaires d'une matière vitreuse parfaitement identique: ce qui est encore plus difficile à obtenir. M. Malus a donné des formules pour déterminer la valeur de i, au moyen des angles observés, quelles que soient l'inclinaison des faces du prisme employé aux expériences et la nature du verre.

Les expériences de M. Malus ont été faites au cabinet de physique de l'Ecole Polytechnique. Le tableau joint à son mémoire est divisé en plusieurs colonnes, qui indiquent en nombres les valeurs correspondantes des angles observés qu'il nomme b, de i, de et de F, il donne pour les densités de la cire les nombres suivans:

Cire solide...... à 14° Réaumur (l'eau étant I). 0.9670825 à 26°

0.9180000

0.8289910

0.8197652

0.8105372

Le pouvoir réfringent F de la cire est 1,3308, celui de l'eau distillée 0,78457; MM. Biot et Arago, dans leur mémoire sur les affinités des corps pour la lumière, ont estimé le pouvoir réfringent de l'eau 0,78451, nombre qui ne diffère du précédent que par la cinquième décimale.

La fig. 7 représente l'appareil de Wollaston, perfectionné par M. Malus. (Voy. l'explication de cette figure, page 386.)

GÉOMÉTRIE.

Des courbes du quatrième degré, considérées comme les projections de l'intersection de deux surfaces coniques du second degré.

Par M. HACHETTE.

Avant que la discussion d'une équation générale du second degré entre deux variables eût fait voir que la courbe repré

sentée par cette équation, affectoit trois formes différentes connues sous le nom d'ellipse, hyperbole, parabole, les considérations géométriques les plus simples avoient conduit à ce résultat en effet, l'équation du cône droit étant du second degré en la combinant avec celle du plan qui est linéaire, pour éliminer l'une des trois coordonnées d'un point commun aux deux surfaces, l'équation qui en résulte est la plus générale qu'on puisse obtenir entre deux variables, et par conséquent elle comprend toutes les courbes du second degré, d'où il suit que ces courbes peuvent être considérées comme les projections de la courbe d'intersection d'un cône et d'un plan; mais le plan peut couper toutes les arêtes du,' cône, ou être parallèle à quelques-unes d'entre elles; on distingue ces deux cas, en menant par le sommet du cône un plan parallèle au plan coupant; si ce plan parallèle n'a de commun avec le cône que le sommet, la courbe d'intersection est fermée, s'il le rencontre suivant deux arêtes, ou qu'il le touché suivant une seule, la courbe a des branches infinies: et parce que les plans tangens au cône, menés par les arêtes parallèles au plan coupant, rencontrent ce dernier plan suivant les asymptotes à la courbe d'intersection, on en conclut qu'il y a trois courbes du second degré; la première qui est fermée, la seconde qui a deux branches infinies avec deux asymptotes, et la troisième qui a une branche infinie sans asymptotes. Des considérations du même genre sur les péné-. trations du cylindre et du cône du second degré, vont mener à des conclusions semblables sur la forme des courbes du quatrième et du troisième degré.

L'intersection de deux surfaces cylindriques du second degré, étant composée de branches nécessairement fermées, ne peut pas faire connoître toutes les courbes du quatrième degré, qui peuvent avoir des branches fermées et des branches infinies or il est facile de voir que dans la pénétration de deux cylindres, la courbe n'a que des branches fermées, car elles ne pourroient devenir infinies qu'autant qu'il y auroit des arêtes. parallèles de l'un et de l'autre cylindre; mais par la définition des surfaces cylindriques, elles seroient elles-mêmes parallèles; et si elles se coupoient, leur intersection seroit nombre déterminé de lignes droites; dans le cas des cylindres du second degré, ces droites seroient au nombre de quatre au plus, parce que les bases de ces cylindres ne peuvent se couper qu'en quatre points: les courbes qui résultent de la pénétration de deux cylindres du second degré, sont donc nécessairement fermées; mais il y a entre elles cette variété, qu'elles sont formées de deux branches séparées ou d'une

un

branche unique; lorsqu'on cherche l'intersection des deux cylin dres, la courbe de pénétration est renfermée entre deux plans parallèles aux arêtes des deux cylindres. Or il y a deux cas à distinguer; ou ces plans touchent le même cylindre chaque cylindre est touché par l'un de ces plans; dans le premier cas, la courbe a deux branches; dans le second, elle n'en a qu'une.

Les projections de l'intersection des deux surfaces coniques du second degré renferment toutes les variétés des courbes du 4°. degré; car l'intersection elle-même se compose de branches qui sont toutes ou fermées ou infinies, ou de branches dont les unes sont fermées et les autres infinies; nous allons faire voir comment on détermine et la forme et le nombre de ces branches. La méthode pour trouver l'intersection des deux cônes, consiste à mener une suite de plans par la droite qui joint leurs sommets; chaque plan coupe le cône suivant des arêtes qui se rencontrent, et leurs points d'intersection appartiennent à la courbe cherchée; l'intersection de deux cônes du second degré est comme l'intersection de deux cylindres du même degré, comprise entre deux plans; ces plans passent par la droite qui joint les sommets des cônes, et sont ou tangens au même cône, ou chaque cône est touché par l'un de ces plans; lorsque ce dernier cas a lieu, la courbe d'intersection n'est pas complète ; quelques-unes de ces branches deviennent imaginaires, comme on le verra plus bas.

Pour distinguer la forme des branches (1) dans la pénétration de deux cônes du second degré, imaginons que de ces deux cônes, l'un soit fixe, et que l'autre s'en soit approché en se mouvant parallèlement à lui-même, jusqu'à ce que leurs sommets soient réunis en les coupant par un même plan, les sections qui en résultent étant du second degré, peuvent se couper en quatre points, ou se couper en deux points et se toucher en un; ou se toucher en deux points, où se couper en deux points; ou se toucher en un seul point, ou enfin n'avoir aucun point commun; ce qui fait six cas, auxquels correspondent six espèces de courbes du quatrième degré. Dans le premier cas, il est évident que l'un des cônes donnés a quatre arêtes qui ont leurs parallèles sur l'autre cône; les plans tangens menés par l'une quelconque de ces arêtes considérées sur l'un des cônes, et par sa parallèle sur l'autre cône, don

(1) Il ne faut pas confondre la branche d'une courbe avec les côtés de cette branche; une hyperbole est une courbe à deux branches, et chaque branche a deux côtés infinis; la parabole est une courbe à une seule branche, dont les

côtés sont infinis.

nent une asymptote à la courbe d'intersection; cette courbe aura donc dans ce cas quatre asymptotes, et sera formée de deux lignes, dont chacune a deux branches infinies.

Dans le second cas, celui où les bases des cônes rapprochés se coupent en deux points et se touchent en un, la courbe d'intersection aura deux asymptotes, et sera formée de deux lignes, 1o. d'une ligne à deux branches infinies ayant asymptotes; 2°. d'une ligne à une seule branche infinie, qui n'a pas d'asymptotes.

Dans le troisième cas, la courbe d'intersection est formée de deux lignes à une seule branche infinie, qui n'ont pas d'asymptotes; dans le quatrième cas, elle est formée d'une seule ligne à deux branches infinies avec asymptotes, et d'une branche fermée; dans le cinquième cas, il n'y a de même qu'une seule ligue à une branche infinie, qui n'a pas d'asymptotes, et une branche fermée; enfin dans le sixième cas, la courbe est composée de deux branches fermées et séparées.

,

A ces six cas il faut ajouter les variétés qui répondent à la seconde position des plans entre lesquels la courbe d'intersection est comprise, et qui résultent de ce que les deux lignes soit fermées, soit infinies, qui composent l'intersection générale, se réduisent en une seule ligne; ce qui présente trois nouveaux cas : et en résumant, on a pour les courbes du quatrième degré, les neuf espèces suivantes :

I. Deux lignes, chacune de deux branches infinies, qui ont quatre asymptotes linéaires.

II. Deux lignes, l'une à deux branches infinies avec asymptotes, l'autre à une seule branche infinie, sans asymptote? III. Deux lignes dont chacune à une seule branche infinie, qui n'a pas d'asymptote.

IV. Une branche fermée, et une ligne à deux branches infinies qui ont deux asymptotes.

V. Une branche fermée et une ligne à une branche infinie sans asymptote.

VI. Deux branches fermées.

8

VII. Une ligne à deux branches infinies, ayant deux asymptotes.

VIII. Une ligne à une seule branche infinie, qui n'a pas d'asymptote.

IX. Une branche fermée.

Il y a un dernier cas à examiner, c'est celui où la surface.des