SUR L'ÉCOLE IMPÉRIALE POLYTECHNIQUE. No. 3. Pluviose an XIII. S. I. TRAVAUX DE L'ÉCOLE. GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Solution complète de la pyramide triangulaire; I. La solution de la pyramide triangulaire comprend toute la trigonométrie sphérique: cette partie de la géométrie étoit trop liée à l'astronomie, pour qu'elle ne suivît pas les progrès de cette science. Hypparque (140 ans avant J. C.), Théodose (du tems de Jules César), Ménélaus (1°. siècle de l'ère chrétienne), Gebert (11o. siècle), Regio Montanus (né en 1436), ont successivement porté la trigonométrie sphérique au point où elle se trouvoit en 1614, époque à laquelle Néper publia sa Théorie des logarithmes, son usage pour la resolution numérique des questions d'astrono mie. et L'application de l'algèbre à la géométrie avoit ouvert une nouvelle route aux géomètres modernes, et les méthodes par lesquelles les Euler, les Lagrange (Académie de Pétersbourg 1776, et Journal de l'Ecole Polytechnique, n°. 6), sont arrives aux formules de la trigonométrie sphérique, n'ont rien laissé à désirer pour l'élégance et la simplicité. Les formules algébriques indiquent en général les opérations arithmétiques et géométriques qu'il faut faire sur les quantités données, pour en conclure les valeurs des quantités inconnues qui en dépendent; les formules dont on a fait usage pour la résolution des triangles sphériques, ont bien l'avantage de conduire aux opérations arithmétiques les plus simples; mais elles n'indiquent pas les constructions géométriques qui mènent le plus directement des lignes données aux lignes qu'on ne connoît pas. Pour trouver ces constructions, il faut considérer la trigonométrie sphérique sous un autre point de vue, et se proposer de résoudre tous les problêmes qu'elle présente, avec le plus petit nombre de lignes possible, et en ne faisant usage que de la règle et du compas. On ne peut pas douter que ces problêmes n'aient été ainsi résolus par les inventeurs de l'art du-trait, mais il ne reste aucun écrit qui le constate; et quoique les Arabes et les Goths eussent fait, dans leurs monumens, un fréquent usage de cet art, ils ne nous ont pas transmis les noms des hommes qui l'avoient inventé, ni la connoissance des principes de géométrie sur lesquels il est fondé. Sur la fin du 16°. siècle, quelques-uns des procédés de cet art ont été indiqués par Philibert de l'Orme, aumônier de Henri II, dans son Traite d'Architecture. En 1642, M. Jousse a publié un Traité de coupe des pierres, sous le titre de Secrets de l'architecture: ce qui prouve qu'à cette époque la pratique de l'art du trait n'étoit connue que d'un petit nombre d'initiés qui suivoient quelques écoles particulières. En 1649, François Derand, jésuite, et Desargues, architecte de Lyon, ont dévoilé un plus grand nombre de secrets, dans leurs traités de coupe des pierres. En 1728, M. Delarue, architecte, fit un recueil de dessins géométraux qui surpassoient en exactitude et en beauté tout ce qui avoit été fait avant lui. Mais ces différens auteurs ont fait voir, par le texte qu'ils ont ajouté pour l'explication des dessins, qu'ils n'en avoient compris qu'une très-petite partie. M. Frézier, chevalier de St.-Louis, officier du génie, s'est principalement occupé de la géométrie nécessaire pour entendre les constructions graphiques transmises par les anciens. Son ouvrage sur la théorie de la coupe des pierres et des bois, qu'il a publié en 1750, est probablement le premier livre français où l'on ait donné la solution graphique de ce problême: étant données les trois faces d'une pyramide, trouver les trois angles? ou, étant donnés les trois côtés d'un triangle sphérique, en déterminer les angles?Elle avoit été imprimée antérieurement dans le recueil mathématique du P. Deschalles, Mundus Mathe maticus, cap. de lapidum Sectione, anno 1672. Au milieu du grand nombre de propositions dont M. Frézier a rempli son ouvrage, il est difficile de reconnoître la relation qu'elles ont entre elles, et ce défaut de vues générales en rend la lecture longue et difficile. Il étoit réservé au célèbre G. Monge d'embrasser la géométrie aux trois dimensions dans toute sa gé, néralité, et de faire dépendre d'un petit nombre de principes simples la solution de toutes les questions qu'on peut proposer sur la coupe des pierres et des bois, la perspective, la détermination des ombres, la gnomonique, etc. Ces principes sont exposés avec la plus grande clarté dans la Géométrie descriptive. Ce livre est, à l'égard des ouvrages publiés sur l'art du trait, comme la Géométrie d'Euclide, par rapport aux anciens traités d'arpentage et de nivellement. M. Monge ayant composé sa Géométrie principa→ lement pour l'école normale de 1795, et les élèves de cette école ne s'occupant pas d'architecture, il n'a pas jugé à propes d'y traiter de la pyramide triangulaire; mais comme cette question fait partie du cours dont nous sommes chargés à l'Ecole Polytechnique, nous avons pensé qu'il seroit utile d'en publier la solution. II. L'angle solide d'une pyramide est formé par trois plans qui se coupent deux à deux suivant trois droites; on nomme arêtes de la pyramide,les droites intersections de ces plans, et faces, les angles des arêtes; on désignera les arêtes par les trois lettres a, b, c; les trois faces para, B, y; a'étant l'angle des deux droites b et c, ẞ l'angle des deux droites c et a, et enfin y l'angle des deux droites a et b; cette expression, face ab, indiquera la tace qui passe par deux arêtes à et b; face ac, celle qui passe par a etc; face bc, celle qui correspond aux arêtes b et c. Les plans des faces font entre eux des angles qu'on nomme Fig. A. angles de la pyramide; on désignera ces angles par les trois lettres A, B, C; A étant l'angle des plans qui se coupent suivant l'arête a, B l'angle des plans qui se coupent suivant b, et enfin Cl'angle des faces ac et cb, qui ont la droite c pour arête commune. Si on place le sommet S (fig. 4) de la pyramide au centre d'une sphère d'un rayon quelconque pris pour l'unité, les plans des faces ab, ac, be, coupent cette sphère suivant trois arcs de grands cercles qui comprennent le triangle sphérique abc, dans lequel les arcs , B, y, mesures des faces de la pyramide, sont opposés aux angles A, B, C de cette pyramide. Des six angles à considérer dans la pyramide, savoir, α, ß, Y, A, B, C, il s'agit de prouver que trois étant donnés, les trois autres sont déterminés: prenant ces angles trois à trois, on obtient les six combinaisons suivantes : 1o. Trois faces a, ß, y; 2o. Trois angles A, B, C; 3°. Deux faces et un angle compris entre elles; 4°. Deux angles et une face à laquelle ils sont adjacens; 5°. Deux faces et un angle non compris entre elles; 6°. Deux angles et une face à laquelle un de ces angles est adjacent. |