M. Carnot a donné, dans sa Géométrie de position, no. 262, un très-beau théorême, dont voici l'énoncé : Nommant M, N, P, Q, les aires des faces d'une pyramide triangulaire et de sa base, m, n, p, les angles dièdres opposés aux faces M, N, P, on a, entre ces sept quantités, la relation suivante : Q=M+N+P-2MNcos p-2NPcosm-2P Mcosn. (A) Pour le démontrer, soient m', n', p', les angles des faces 'M', N', P', qui ont pour sommet commun le sommet de la pyramide; M', 'N', P', les côtés de la base de la pyramide opposés à ces angles; p", n", m", les longueurs des arêtes de la pyramide qui, prises deux à deux dans l'ordre suivant (p", n"), (m", p"), (n", m"), comprennent entre elles les faces M, N, P. ༥༠ Les théorêmes de la géométrie élémentaire et de la trigonométrie rectiligne donnent les équations suivantes : Par les formules de la trigonométrie sphérique (Voy. pag. 275 de cette Correspondance), on a Enfin la formule au moyen de laquelle on détermine l'aire d'un triangle au moyen de ses trois côtés, donne l'équation suivante : Q' = — { 2 M' 'N' ' + 2 N''P''+2P''M'”—M'^—N'^—P1}. 16 (B) Au moyen des neuf équations cotées de 1 à 9, on tirera les valeurs des neuf quantités M', N', P', m', n', p', m", n", p"; on les substituera dans l'équation (B), qui deviendra l'équation (4). D'abord quarrant les équations (1), (2), (3), on a S: •M'4=n4 'N'p"4+2 m2p" + m24 — 4 mp3 cos no a calor el 4 m3p" cos n' + 4m//2p!/2 cos n22. Multipliant ces mêmes équations deux à deux, les produits deviennent M2N'2 = m"2n!" + n!1⁄2p"2 + pl2m"2 + pl/4 — 2 cos m' (m"2n"p"n"p"3)—2 cosn! (m"n"-p"+m" p3) +4mnp" cos m' cos n'. 2 2 N12 P12=n"'p"/"+p"3m" "+m"2n"2 + m2/4 cos n' (n"p"m" p"m"3)-2 cosp'(n" pl2m+n"m"3) +4n"p"m2 cos n' cos p'. PM'pam" + "'n2+n""p"2 + n#4 2 cosp'(p"m"n"+m"n"3)-2cosm' (p"m"n"+p"n"3) +4pm"n"2 cos p' cos m'.` Substituant dans l'équation (B), et observant qu'au lieu des trois quantités I — cos m'2, 1 — cos n22, 1 — p2, on peut mettre les trois suivantes : sin m2, sin n', sin p', on a, réduction faite 16Q4n2p2sin m' 4mp" sinn"+4m"n" sin p' ·8mn"p" {m" (cos m'—cosn'cosp')+n"(cosn'—cosm'cosp') +p (cosp-cos m'cos n')}. Par les équations (7), (8), (9), cette dernière devient 2 16 Q4 nap sin m'+4mapa sin n' + 4man" sin pa -Sm"n"p" {m" sin n' sin p'cos m + n sin p' sin m' cosn +p" sin m' sin n' cosp}. divisant par 16, et effectuant les multiplications, on a mais les équations (4), (5), (6) donnent Remettant les expressions dans la valeur de Q2, on an Q'=M2+N2+P2-2NPcos m-2PM cosn-2MÑ cosp, (4) M. Ensheim (de Metz) a déduit de ce théorême les équations, d'où dépend la solution du problême: «Diviser une pyramide trian gulaire en deux volumes équivalens, par un plan tel que la section de la pyramide soit un minimum, comme on peut le voir dans le cahier précédent, pag. 349. M. François, qui s'est occupé du même problême, a reconnu, par le calcul de M. Ensheim, qu'il s'était trompé, en supposant que le plan qui contient la section minimum retranche de la pyramide donnée une pyramide qui a ses arêtes de même longueur, et en concluant qu'elle est inscriptible à la sphère, dont le centre est au sommet de cette pyramide; M. Billy avait reconnu l'inexactitude de cette conclusion pour plusieurs cas particuliers, entre autres pour celui où les deux angles dièdres de la pyramide proposée sont droits, et le troisième quelconque. Voici le calcul de ce géomètre pour ce dernier cas. Nommants, s', " les aires des trois faces de la pyramide proposée, on a l'équations's'" + sll2 +, 51112 25'5ll cos A, l'angle A étant compris entre les faces dont les aires sont set ç”. De cette équation on tire celle-ci : expression qui devient un minimum quand s'—s", et. (s' + s") 2 cos A, parce que dans cette supposition, les deux premiers termes qui dans tout autre cas sont positifs, s'évanouissent, et les trois derniers termes, dont le produit est constant, deviennent égaux, circonstance qui rend leur somme un minimum: or, M. Billy ajoute que les arêtes de la pyramide correspondant à ce minimum, sont dans le rapport des nombres I, 1, cos 4 x 2, et par conséquent d'inégales longueurs. 'Lettre de M. François, capitaine du génie, à M. Hachette. Strasbourg, 10 avril 1808. J'ai l'honneur de vous adresser une correction pour la partie fautive de ma solution de votre problême. Tout ce qui vient après les équations (d), pag. 548, doit être remplacé par ce qui suit. Supposons maintenant le plan coupant mené; le volume de la nouvelle pyramide sera La perpendiculaire g', combinée avec les trois arêtes x, y, z, partagera cette pyramide en trois autres; en représentant leurs volumes par v, v, v, on aura leurs valeurs En divisant ces équations par leurs correspondantes (e), on obtient pour seconds membres les équations (d), qui prennent ainsi la forme suivante Il suit de là que la perpendiculaire g' partage la pyramide cherchée en trois autres pyramides équivalentes en volume; or, ces trois pyramides ayant même hauteur, il s'ensuit que leurs bases sont équivalentes en surface; le pied de la perpendiculaire tombe donc au centre de gravité de la base totale. Ainsi il faut que le plan de cette base soit placé de manière que la perpendiculaire, abaissée du sommet opposé, tombe sur son centre de gravité. : La droite e divisant l'angle solide, formé par les plans coordonnés, en trois parties égales, la construction de notre problême dépend de la trisection d'un angle trièdre ainsi il ne faudra pas nous attendre à une construction plus simple que celle de la trisection d'un angle plan. Nous allons en indiquer une que nous déduirons de notre analyse. En substituant dans les équations (c) pour A', B', C', leurs valeurs (18, p. 341), et pour a', b', c' leurs valeurs elles deviennent х y ż. X c{x+ycos(x, y)+zcos(x,z)}=y{r+zcos(y,z)+xcos(x, y)} =z{z+xcos(x,z)+rcos(y, z)}=}!''; d'où l'on déduit x2 + xz cos(x, z) = y2 + yz cos (y, z ), x2 + xy cos (x, y) = z2 +ƒz cos (y, z). Í 1 (h) (i) Ces deux équations sont celles de deux surfaces coniques du second degré, ayant leurs centres à l'origine, et dont l'intersection |