on aura une équation aux différentielles ordinaires appartenant à l'arête de rebroussement, Les deux dernières donnent facilement En substituant ces valeurs dans la première équation, on aura, réduction faite, z1 ( b2c3dx2 + a'c2dy2 + a'b'dz2 ) = c2 ( b'c1dx2 + a2c'dy2). Cette arête de rebroussement est susceptible d'une construction simple. Supposons d'abord la surface de révolution autour de l'axe des z, on aura alors a = b, ce qui réduira l'équation ci-dessus à 1 z2 ( a2dz2 + c2 ( dx2 + dy2 ) ) = c4 ( dx2 + dy2 ). Nous allons faire voir que cette équation appartient à la courbe méridienne recourbée sur une surface cylindrique verticale à base quelconque. En effet, l'équation de la courbe méridienne est c2x2 + a2z2 = a2c2. En recourbant l'axe des x sur une conrbe quelconque tracée dans le plan horisontal, une abscisse x comprendra un certain axe s sur cette courbe, et entre les quantités z et s, on aura encore la relation 'd'où enfin z1 ( a3dz3 + c2 (dx2 + dy3)) = ç1 (dx2 + dy3). If est donc prouvé, par ce calcul, que dans le cas de la surface ellipsoïde de révolution, l'arête de rebroussemement relative à l'enveloppe, n'est autre chose que la courbe méridienne recourbée sur une surface cylindrique verticale à base quelconque. De l'équation z1 ( a3dz1 + c1 ( dx2 + dy2 ) = c4 ( dx2 + dy2), on peut retourner facilement à l'équation plus générale a z3 (a2b3dz2 + b2c2dx2 + a2c2dy3) = c2 ( b1c2dx2+aac2dy3). Il suffira, dans la première, de substituer pour y l'expression ', ce qui fournit, dans le cas de l'ellipsoïde quelconque, une construction très-simple de l'arête de rebroussement dont voici l'énoncé. Recourbez sur une surface cylindrique verticale à base quelconque l'ellipse intersection de l'enveloppée par le plan des rz; concevez ensuite par la courbe à double courbure qui résulte de cette opération, une surface cylindrique horisontale perpendiculaire au plan des zz; concevez ensuite une courbe dans le plan horisontal dont les ordonnées y soient aux ordonnées correspondantes de la courbe qui sert de base à la surface cylindrique verticale dans le rapport constant de bà a; cette courbe ainsi construite sera la base d'une surface cylindrique verticale contenant l'arête de rebroussement en sorte que cette ligne sera celle d'intersection de cette surface cylindrique verticale avec la surface cylindrique horisontale. Il est encore à remarquer que si dans l'équation z1 ( a2b3dz2 + a2c3y2 + b2c2dx2 ) = c2 ( b2c’dx2 + a2c'dy'), on suppose z= a b — z' et y = ———y', on la réduira à C z2 ( dz2 + dy3 + dx2 ) = a2 (dx2 + dy2), qui correspond à un cercle de rayon a recourbé sur une surface cylindrique à base quelconque. Prenons maintenant pour enveloppée l'hyperboloïde à une nappe dont l'équation est bac2x2 + a2c2y? — a2b1z? — a2b1cTM, on aura pour équation aux différences partielles de l'enveloppe z2 ( a3p2 + b2g2 ➡ c2 ) = c4, et pour l'arête de rebroussement z3 (a3b3dz2 — b3c2dx2 —— a3c3dy2) —c2 (b2c2dx2 + a2c'dy'); } dans le cas où les axes a et b sont égaux, on obtient c4 x2 ( a2dz3 — e2 ( dx2 + dy2 ) ) = c1 ( dx2 + dy2 ). Il serait facile de vérifier que l'arête de rebroussement est dans ce cas-ci l'hyperbole méridienne recourbée sur une surface cylin drique à base quelconque. Je n'en dirai pas plus sur l'hyperboloïde, pour passer au paraboloïde dont l'équation est En supposant que le sommet de ce paraboloïde se meuve sur une courbe tracée sur le plan des yz, on trouve que l'enveloppe a pour équation p2x-mq2 m2, Lorsque le paraboloïde est de révolution, on a m'm', ce qui réduit l'équation ci-dessus à x ( dz2 + dy2 ) = mdx?. Elle correspond encore à la parabole méridienne recourbée sur une surface cylindrique à base quelconque. Démonstration analytique de la seconde propriété de la projection stéréographique, énoncée pag. 76 de cette Correspondance, par M. PUISSANT, professeur de mathématiques à l'École militaire. THEOREM E. « Dans la projection stéréographique de Ptolomée, deux sections quelconques se coupent toujours sous le même angle que « leurs projections. » M. Hachette a donné par la géométrie, dans le numéro précédent, une démonstration simple et élégante de cette propriété. M. Delambre, dans un mémoire très-intéressant qu'il a publié sur la projection stéréographique ( Mémoires de Mathématiques de l'Institut, tome V, page 393), a démontré cette même propriété par une analyse trigonométrique fondée sur les principes du tracé de cette projection. Voici une méthode analytique qui est propre à faire connaître en général le rapport entre l'angle et sa projection, de deux cercles qui se rencontrent sur la sphère. forme Sur une surface courbe quelconque, l'angle formé par deux courbes planes, qui se coupent, se mesure par l'angle que ·les deux tangentes menées à chacune de ces courbes au point de leur commune section. Relativement à la sphère, on peut toujours mener un plan par son centre et par l'une des tangentes dont il s'agit alors la section circulaire qui en résulte a pour tangente celle que contient ce plan, et la perspective de cette section est touchée par la perspective de sa tangente. இந்த Cela posé, prenons pour plan 'des xz celui qui passe par le centre de la sphère, et par le point d'intersection des deux tangentes à sa surface, et plaçons à ce centre l'origine des coordonnées rectangulaires. Les équations des plans passant par les deux tangentes à la surface de la sphère, seront z = Ax + By N et l'on aura respectivement pour les équations des projections stéréographiques des courbes eirculaires résultantes, des sections de ces plans, (2) le rayon de la sphère étant pris pour unité. (Voyez la page 104, ligne 9 de mon Traité de Topographie, ou le numéro 4, page 80 de cette Correspondance ). Si par le point où se coupent ces deux projections, on mène une tangente à chacune, l'angle de ces tangentes sera la perspective de l'angle des tangentes à la sphère; ainsi, désignant part et les angles que les premières tangentes font avec l'axe des a, on trouvera, en différentiant les équations ( 2 ) qui ont lieu en même tems, que la première donne tang Ces rapports se réduisent nécessairement à ceux-ci; car si Pon sonstrait l'une de l'autre les équations (2), on en obtien dra une nouvelle qui ne pourra être satisfaite, à moins que y ne soit nulle. On a donc yo et x =— A±VI+A2. Maintenant l'on sait qu'en général Telle est l'expression de la tangente de la projection de l'angle cherché; mais cet angle est aussi celui des deux plans (1), puisqu'ils font un angle V, dont le cosinus est - B' A2 + BB' + 1 1 ou dont tang V (B. — B′ ) V + đ2 2 Aa + BB' + 466 donc, dans la projection stéréographique de Ptolomée, la perspective de l'angle de deux cercles quelconques ne différe point de l'angle lui-même. Le calcul précédent aurait été plus simple, si nous eussions supposé une des tangentes dans le plan des z mais nous avons voulu traiter la question dans toute sa généralité. Nous observerons qu'en appliquant la même méthode aux projections centrale et orthographique des cercles de la sphère (voyez le Traité de Topographie cité), on parviendroit à ces deux resul tats; savoir : Que dans la Projection centrale, la tangente de l'angle de deux méridiens, dont l'un est le principal, est à la tangente de sa projection, comme le rayon des tables est au sinus de la hauteur du pôle. 1519 Que dans la Projection orthograplique, les tangeantes de ces |