deux angles sont précisément dans un rapport inverse du pré

cédent.

N. B. La première proportion démontrée d'une manière trèsdifférente dans tous les traités de Gnonomique, y est énoncée ainsi pour le cadran horisontal, la tangente de la distance angulaire du soleil au méridien, est à la tangente de l'angle que fait la ligne horaire avec la méridienne, comme le sinus total est à la latitude du lieu.

QUESTIONS de Minimis, par M. PUISSANT.

L'application de la méthode des maximis et minimis, insérée dans la Théorie des Fonctions Analytiques, page 191, est relative à ce problême : déterminer la plus courte distance entre deux droites données dans l'espace. Le célèbre auteur de (cet immortel ouvrage donne bien les deux équations qui servent à déterminer les deux inconnues renfermées dans l'expression de la plus courte distance cherchée; mais il n'en conclut pas la propriété dont jouit cette ligne, c'est d'être à-la-fois perpendiculaire aux deux droites données. Cette propriété étant le fondement de la solution géométrique du problême actuel, je vais la déduire trèssimplement de l'analyse même employée par M. Lagrange.

les équations des projections verticales de deux droites données; la distance entre les deux points x y z x'y' z' aura pour expression

u=√(a—a'+az—a'z')'+(6—ß'+bz—b'z')'+(z—z')'.

(2)

Cette quantité devant être un minimum, il faut que ses différentielles prises successivement par rapport à zet z' soient nulles: ainsi on aura pour déterminer ces deux ordonnées verticales, les équations

du

dz

=(z—z')+a («—a'+az—a'z')+b(s—ß' +b z—b'z') =0 (3)

du =(z—z')+a' (a—a'+az—a'z') +b'(ß—8′+bz—b'z')=o. (4)

dz

Il est d'abord facile de s'assurer que ces équations répondent au minimum demandé, car on trouverait que la condition

est remplie; ensuite pour parvenir à la propriété énoncée, on observera que la droite minimum devant passer par les points xyz, x'y' z', ses équations sont de la forme

ou à cause des valeurs de x, x',y,y' tirées des équations (1),

on a

(a — a + az — a'z' ) = a" ( z − =′)
(BB' + bz - b'z') == b" (z — z') S

delà les formules (3) et (4) se réduisent respectivement à

1 + aa" + bb" =0,

1+a'a" + b'b" =0.

(5')

Ces relations expriment donc que la droite minimum est en même tems perpendiculaire aux deux droites données, et l'on en tire

Maintenant si on résout les deux équations (3) et (4) par rapport aux inconnues z, z' on obtiendra

(a'b—ab′ ) { (b— b′ ) (a — a′ ) — (a — a') ( ß — 8')};

(a — a' )2 + (b — b′ )2 + (a' b — ab′)3

mais l'expression (2) devient, en vertu des formules (5) et (6),

u =

(= = =2) √(a~a' )2 + (b — b′ )2 + (a′b — ab′ )3 ;

a'bab

et en y substituant pour z, z' sa valeur précédente, on a

(b — b') (α — α') — (a — a') (B - B')

√(a—a')2 + (b— b′ )2 + (a′b — ab' )2

résultat conforme à celui auquel on parvient par des considérations

purement élémentaires. (Voyez l'Appl. de l'alg. à la géom. des surfaces, par MM. Monge et Hachette. Prob. IV.)

Dans la question précédente, les plans coordonnés sont situés d'une manière quelconque par rapport aux droites données; mais il est des cas où telle position de ces plans, à l'égard des objets que l'on considère dans l'espace, est plus propre que toute autre pour mettre en évidence certaines propriétés de l'étendue. Supposons par exemple qu'il faille déterminer la route la plus. courte pour aller d'un point à un autre, en passant par un plan donné de position à l'égard de ees points.

Cette proposition est susceptible d'une solution fort simple en prenant pour plan des x y le plan donné, et pour celui des xz, le plan qui passe par les deux points donnés. En effet, dans cette hypothèse admissible, les coordonnées du point M' (fig. 1, pl. 2), sont

et en supposant pour un moment que le point N du plan y soit celui qui satisfait au minimum demandé, point dont les coordonnées sont x et y, on aura

M'N+M"N=√(x-x2)2 + y2 + z22

z"2=VP

+ √(x − x")2 + y2+z"2 = VP + VP'..

Commie les variables x et y sont indépendantes, les différentielles successives de cette expression donneront

soit

pour que cette dernière équation soit satisfaite, il faut que nulle; ainsi la route la plus courte demandée est M' N' + N' M", c'est-à-dire, qu'elle est toute entière dans un plan perpendiculaire au plan donne x y. Ators l'avant-dernière équation se réduit à

donc cos M' N' Acos M" N' X; donc les deux lignes M' N', N' M" font le même angle avec le plan x y, ou avec sa perpendiculaire N' R, comme on le démontre d'une autre manière en mécanique.

Note sur les surfaces du second degré, par M. HACHETTE.

Nous avons donné comme une propriété générale des surfaces du second degré, la double génération de ces surfaces par un cercle; nous avons demontré que pour chaque systême de génération, le plan du cercle mobile est parallèle à lui-même, et que la droite, parcourue par le centre de ce cercle est un diamètre de la surface. Lorsque la surface n'a pas de centre, nous avons démontré qu'elle devenoit ou un paraboloïde elliptique ou un paraboloïde hyperbolique; pour ce dernier paraboloïde, la génération par un cercle fini est impossible, ou plutôt le cercle devient d'un rayon infiui. Cette observation n'a pas échappé à M. Berthot (1), ancien élève, professeur au licée de Dijon. Ĉe géomètre démontre par l'analyse, qu'on ne peut pas tracer sur le paraboloïde hyperbolique, une courbe plane fermée; on peut aussi le démontrer fort simplement par la géométrie; en effet, la droite mobile qui engendre le paraboloïde, a pour directrices deux droites, et se meut en restant constamment parallèle à un plan fixe; or, étant donné un autre plan quelconque qui coupe le plan fixe suivant une droite (que j'appelle D), le plan mené par une parallèle à cette droite et la première directrice, coupera la seconde directrice en un point, par lequel, si on mène une parallèle à la droite D, cette parallèle sera toute entière sur la surface; elle sera, de plus, parallèle au plan qu'on a supposé mené d'une manière quelconque; donc, si on considère ce dernier plan comme un plan sécant du paraboloïde, il y aura toujours une position de la génératrice de cette surface, pour laquelle le plan sécant lui sera parallèle, donc la section que renferme ce plan, ne peut jamais être une courbe fermée, puisque la génératrice et le plan qui lui est parallèle ne se coupent qu'à l'infini.

(1) M. Berthot a déja formé, pour l'Ecole Polytechnique, un grand nombre d'élèves très-distingués, qui justifient la réputation dont sa maison d'éducation jouit depuis longtems.

GÉOMÉTRIE.

SUR LA SURFACE GAUCHE DU SECOND DEGRÉ.

(On appelle ainsi la surface qui a pour génératrice, une ligne droite dirigée dans son mouvement par trois droites fixes sur lesquelles elle s'appuie.)

En admettant que l'équation de cette surfacesoit du second degré, il est bien évident qu'un plan passant par une génératrice consi dérée dans une position quelconque, et tournant sur cette droite comme axe, coupera toujours la surface suivant le systême de deux droites ; car en général la section plane est une courbe du second degré, et cette courbe ne peut être remplacée que par le systême de deux droites; on conclut de cette proposition que la surface gauche du second degré peut être engendrée par une droite de deux manières; qu'une génératrice quelconque d'un systême de génération coupe toutes les génératrices du second systême; qu'il n'y a aucun point de cette surface pour lequel on ne puisse y mener deux droites, et qu'enfin le plan tangent en ce point passe par ces deux droites. J'ai fait voir comment on arrive du plan tangent de cette surface au plan tangent de la surface qui enveloppe l'espace que parcourt une droite qui s'appuie sur trois courbes quelconques. L'usage fréquent de toutes ces propositions dans les applications de la géométrie descriptive faisoit encore desirer la solution du problême que j'ai proposé dans le dernier numéro. »

<< Construire avec la ligne droite et le cercle, le point d'intersection d'une droite donnée et de la surface gauche du second degré.

On trouvera ci-près deux solutions de ce problême, ainsi qu'une solution particulière fort élégante, pour le cas où la surface gauche du second degré devient un hyperboloïde de révolution. H. C.

Solution de M. BRIANCHON, officier d'artillerie.

« Après avoir mené à volonté deux élémens (1) de la surface « gauche, je fais passer, par la droite donnée, un plan vertical « qui coupe la surface suivant un section conique, dont je dé

(1) On entend ici par élément une droite qui correspond à une des positions de la génératrice de la surface.