on regarde ces droites comme les axes des deux cônes droits dont les côtés DG et DC font avec les plans bE et bc de leurs bases des angles DGE et Dcb, égaux le premier à B, et le second à C; et il s'agit de mener par le point D un plan qui touche à-la

fois ces deux cônes.

Soit le point de rencontre de l'axe DE avec la droite GH perpendiculaire à DG; une sphère dont le centre est en H, et qui a pour rayon GH, est inscrite au premier cône, et le touche suivant le cercle du rayon EG; pour avoir sur l'axe Di le centre d'une seconde sphère inscrite au second cône et du même rayon que la première, soit DK perpendiculaire à De et égal à GH; ayant mené la droite KC parallèle à Dl, axe du second cône, elle rencontre le côté De de ce cône en un point C'; d'où abaissant la perpendiculaire CMà DC, le pied M de la perpendiculaire sur l'axe Dl, est le centre de la sphère d'un rayon égal à la première, et inscrite au second cône, suivant le cercle du rayon CL, CLB étant parallèle à clb. Si après avoir déterminé les deux sphères de rayons égaux, dont l'une est inscrite au premier cône et l'autre au second, on conçoit le cylindre qui touche à-la-fois ces sphères, le plan mené par le point D tangentiellement au cylindre, sera le plan demandé, car il touchera les deux sphères, et par conséquent les deux cônes; or, l'axe du cylindre tangent aux sphères, est la droite MH, qui joint les centres de ces sphères; donc le cercle de contact avec la sphère dont le centre est en H, est dans un plan HON perpendiculaire à MH; ce plan HON coupe le plan bEG suivant une droite OF perpendiculaire à EG; décrivant du point E comme centre avec le rayon EG, łe cercle GF, qui est rencontré par la droite OF en F, et menant par Fla tangente au cercle FS, cette tangente sera sur la base GF du premier cône, la trace du plan tangent demandé.

Ayant mené par le point B la droite BS perpendiculaire à BE, et considérant le point de rencontre de cette droite avec la tangente FS comme le sommet S de la pyramide, l'angle BSF est une des faces de cette pyramide, car le plan CBS fait avec le plan de la face BSF un angle CBE égal à A, et le plan dont la trace est SF, fait avec les deux premiers plans, des angles égaux à B et C.

Pour trouver la face contenue dans le plan CBS, on fait mouvoir ce plan autour de SB; les points Let C viennent s'appliquer en L et C', et la base CL du second cône dont DL est l'axe, devient sur le développement le cercle C' A; or, le plan qui touche les deux cônes coupe le plan de la base FF suivant la tangente FS à cette dernière hase; mais il passe déjà par le point S du plan SBCL; donc il coupe ce dernier plan suivant une droite qui dans le développement est SA, tangente au cercle C'Д; donc

Fig. 5.

Fig. A

Fig. 6.

ASB est la face contenue dans le plan CBS; ayant les deux faces BSF et BSA, et l'angle CBE compris entre elles, on achevera la solution comme dans le problême second.

Quoique ce problême ait plusieurs solutions, on distinguera facilement celle qui correspond aux trois angles donnés, pourvu qu'on sache dans quel sens on doit compter ces angles, et qu'ils ne puissent pas être confondus avec leur supplémens.

2o. Etant donnés deux angles et la face à laquelle ils sont adjacens, la troisième arête de la pyramide se trouve évidemment à l'intersection de deux plans connus de position.

Soient (fig. 5) BSE la face donnée, Cbd et d'd'C" les deux angles connus et adjacens, l'un à l'arête SB, etl'autre à l'arête SE, il s'agit de déterminer les deux autres faces.

Ayant mené la parallèle quelconque CD à SB, et la parallèle C"d" à SE, telle que d' C' fût égale à Cd, ces deux parallèles se coupent en un point D, qui est la projection d'un point de la troisième arête de la pyramide sur le plan de la face BSE; faisant mouvoir les deux plans SBb Cet SEd C",l'un autour de SB, l'autre autour de SE, le point de l'arête dont Dest la projection, viendra s'appliquer sur le plan de la face BSE selon les droites DBA. et DEF, la première perpendiculaire à SB, et la seconde à SE; de plus ce point est à une distance du sommet S de la pyramide, égale à l'hypothénuse du triangle rectangle, qui a pour côtés adjacens à l'angle droit SD et dC; donc, dans le développement, ce point est sur le cercle décrit du point S comme centre avec cette hypothénuse pour rayon, et par conséquent il est à la rencontre de ce cercle et des droites DA et DF; donc les angles ESF et ASB sont les deux faces cherchées.

On auroit encore pu construire les points A et F, en observant que BA=bC, et EF d' C".

3. Etant donnés deux angles et la face opposée à l'un de ces angles, on demande les deux autres faces?

う

Soient A et B les angles donnés, et a la face connue, opposée à l'angle Д; b et c étant les arêtes qui comprennent la face, on menera par la première b, un plan qui fasse avec le plan de cette face un angle égal à l'angle donné B; puis par la seconde arête c, on menera un second plan qui fasse avec le premier un angle égal à A ; l'intersection de ces deux plans sera la troisième arête a de la pyramide.

Soit BSD la face donnée, CBD l'angle duplan de cette face avec le plan SBCqui contient la seconde face, BC' D' l'angle de ce dernier plan avec celui qui contient la troisième face, la question consiste à mener par la droite SD un plan qui fasse avec le plan C'BS

un angle égal à BC'D'; ayant pris le point D pour le sommet d'un cône droit dont DL perpendiculaire à BC' est l'axe, et dont le côté DC fait avec BC un angle BCD égal à BC'D', on développe le plan SBC sur le plan de la base BSD, et la base LC du cône, contenue dans ce plan, vient s'appliquer suivant le cercle C'A, dont le centre est en L'; si du point S on mène au cercle C'A la tangente SA ou SA', l'angle ASB ou A'SB sera la face adjacente à BSD, car le plan qui passe par SD et S 4 ou SA', est effectivement tangent au cône dont LD est l'axe; il fait avec le plan C'BS un angle égal à l'angle donné BC'D. Ayant deux faces BSD et AŞB ou A'SB, et l'angle CBD compris entre elles, on achevera la solution comme dans le problême second.

donc

Des Courbes à double courbure; par M. LANCRET (1).

M. Monge a le premier démontré qu'une courbe quelconque. plane ou à double courbure, avoit une infinité de développées; que la surface qui en est le lieu, étoit l'enveloppe de l'espace parCouru par un plan mobile constamment perpendiculaire à la courbe proposée; que dans le développement de cette surface, toutes les développées de la courbe devenoient des lignes droites. M. Lancret a recherché ce que devenoit sur ce même développement la ligne des centres osculateurs de la courbe proposée, et il a indiqué un moyen très-simple pour la construire.

On sait que pour trouver le centre du cercle osculateur en un point déterminé d'une courbe, il faut mener par ce point un plan normal, ensuite déterminer la droite suivant laquelle ce plan touche la surface développable, qui est le lieu des développées, et enfin abaisser du point donné une perpendiculaire sur cette droite; le pied de cette perpendiculaire est le centre du cercle osculateur. M. Lancret a observé que le centre du cercle osculateur, correspondant à une des droites de la surface développable, se trouvoit sur la développée de la courbe proposée, qui est perpendiculaire à cette droite; que, d'ailleurs, toutes les développées passoient par le point où cette courbe rencontre la surface développable; d'où il à conclu qu'en élevant de ce dernier point rapporté sur le déve loppement de la surface, des perpendiculaires aux tangentes de l'arête de rebroussement de cette surface, les pieds des perpendiculaires formoient la ligne des centres des cercles osculateurs.

a

(1) Admis à l'Ecole Polytechnique, en qualité d'élève, en frimaire an 3, et à l'Ecole des Ponts-et-Chaussées en nivose an 6.

Il suit de cette proposition que les courbes sphériques ont pour lieu des centres de leurs cercles osculateurs, des lignes qui deviennent des cercles dans le développement de la surface conique, enveloppe de leurs plans normaux.

ANALYSE.

Démonstration du théorême de Taylor, par M. POISSON.

Soit f(x) une fonction quelconque de x; je substitue x + hà la place de x dans cette fonction, et je me propose de développer f(x) suivant les puissances de h.

Le premier terme de ce développement sera visiblement fx, et le développement entier pourra être présenté de cette manière:

f(x+h)=fx+hap+h3q+h©r + has + h©t + etc. (a) a, b, c, d, e, etc. étant une suite croissante d'exposans indéterminés; p, q, r, s, t, etc. étant des fonctions de x, dont la forme dépend de celle de la fonction proposée fx.

Cela posé, je vais d'abord prouver que l'exposant a est néces sairement égal à l'unité; en effet, mettons dans l'équation (a) 2h à la place de h, nous aurons

f(x+2)=fx + 2ahap + 2b hbq+, etc.

De même, si nous substituons x + à la place de x dans la même équation, nous aurons un second developpement de f(x+zh), et en se bornant aux deux premiers termes,

f(x+2h)= fx + 2h p +, etc.

ces deux développemens def ( x +2h) devant être identiques, il faudra que le terme multiplié par la dans l'un, soit égal au terme multiplié par ha dans l'autre ; il faudra donc qu'on ait

2a hap=2hap, ou 2a 2, ou enfin a — I.

Cette conclusion a lieu, quelle que soit la fonction désignée par fx; si par exemple cette fonction étoit TM, on auroit

(x+4)=xm+hp+, etc.

Mais dans ce cas, p seroit de la forme Mx, M étant un nombre dont la valeur dépend de celle de l'exposant m; car si l'on divise les deux membres de l'équation précédente, et si l'on fait

par

Et comme la fonction (1+) ne renferme plus la variable x,

son développement ordonné suivant les puissances de x, ne doit renfermer cette variable x dans aucun de ses termes : donc il faut que p soit de la forme Mx-1. On est donc certain que les deux premiers termes du développement de ( x +ǹ)TM, quel que soit l'exposant m, sont de la forme

( x + h)m = x2+Mxm-1h+, etc (6),

et de plus, on sait, par la formule du binome démontré dans les élémens, que Mm, quand m est un nombre entier positif. C'est une remarque qui va nous servir dans la suite de notre démonstration.

Maintenant il nous reste à déterminer les autres exposans b, c, d,e,etc., et la loi suivant laquelle les coefficiensp,q,r, s, t, etc. se déduisent les uns des autres.

Pour y parvenir, je suppose que dans l'équation (a) qui doit avoir lieu pour toutes les valeurs de x x se change en x+k; je représente par Q, R, S, T, etc. ce que deviennent les fonctions P,q, r, s, t, etc.; en sorte que l'équation (a) devient f(x+h+ k)=f(x+k) + hP+hQ+h©R+haS h© T+, etc. Comme la même équation (a) a aussi lieu pour toutes les valeurs de h, je puis supposer que dans cette équation h devienne h+k, ce qui donne un second développement de f(x + k), savoir: f(x+h+k)=fx+ (h+k) p+(h+k)b q+(h + k)© r +(k+k)ds +(k+ k)et +, etc.

Ces deux développemens de la même fonction doivent être identiques: si donc on les ordonne tous les deux par rapport aux puissances dek, il faudra, 1°. que la somme des termes indépendans de k dans le premier développement, soit égale à la somme des termes indépendans de k dans le second développement; 2°. que la somme des termes multipliés par k dans le premier développement, soit. égale à la somme des termes multipliés par k dans le second développement, et de même pour les autres puissances de k. La considération des termes multipliés par k suffit pour déterminer les expo

sans b, C d, e, etc., et démontrer le théorême de Taylor.

pour

Il est facile d'ordonner ces deux développemens suivant les puissances de k, en se bornant aux deux premiers termes. D'abord, dans le premier développement, on a

ƒ(x+7)=ƒx+pk +, etc.

de plus je puis supposer

Pp+pk+ etc. Q=q+q'k+etc.

R=r+rk etc.

S=s+sik+ etc. T+k+etc., puisque P,Q,R,S, T etc. sont des fonctions de ( x + k), dont les fonctions primitives sont p,q, r, s, t, etc.