lubilité dans l'eau, lui a paru être plus abondante dans la portion la plus profonde et la moins exposée à l'air du morceau de foie qu'il a examiné. Annales de chimie, 1789, tome 3, page 120 et suiv. FOLIE. Voyez HALLUCINATION et MANIE. FONCTIONS (Leçons sur le calcul des). MATHÉ MATIQUES. Observations nouvelles.-M. LAGRANGE, de l'Institut.-1810.-La commission de la classe des sciences mathématiques et physiques de l'Institut, composée de MM. Laplace, Monge et Prony, a pensé que cette classe devait partager l'opinion émise par le jury dans la partie de son rapport général qui concerne le premier grand prix destiné au meilleur ouvrage de géométrie ou d'analyse pure, lequel jury propose de décerner ce prix à M. le comte Lagrange pour son ouvrage intitulé Leçons sur le calcul des fonctions, publié en 1806. Mémoires de l'Institut. Prix décennaux, page 1 et suiv., séance du 13 août 1810. Le prix a été en effet décerné à ce célèbre mathématicien. - - FONCTIONS RÉCIPROQUES (Remarques sur les). MATHÉMATIQUES. Observations nouvelles. M. A.-L. CAUCHY. 1817. Ce mathématicien établit dans un mémoire sur la théorie des ondes, certaines formules que M. Poisson a également obtenues de son côté, et desquelles il résulte que, si deux fonctions respectivement désignées par les caractéristiques ƒ et y satisfont à l'équation ре (1) ƒ (x) = ( 2 ) = √ 9 (μ) Cos. (μ x) d μ { “= 0; }, l'intégrale étant prise entre les limites μ=0, μ= ∞, 0,μ= la même équation subsistera encore, lorsqu'on y remplacera la fonction ƒ par la fonction et la fonction par la fonc tion f. De même, si l'on désigne par fet deux fonctions qui vérifient l'équation, (2) ƒ(x)= (¦); S↓ (μ) Sin. (μ x) dμ {~=% ∞ cette équation subsistera encore après l'échange de la fonction f contre la fonction, et de la fonction ↓ contre la fonction f. On voit donc se manifester ici une loi de réciprocité, 1o. entre les fonctions f et, qui satisfont à l'équation (1); 2°. entre les équations ƒ et qui satisfont à l'équation (2). Nous désignerons pour cette raison les fonctions f (x), 9 (x) sous le nom de fonctions réciproques de première espèce, et les fonctions ƒ (x), ↓ (x) sous le nom de fonctions réciproques de seconde espèce. Ces deux espèces de fonctions peuvent être employées avec avantage pour la solution d'un grand nombre de problèmes, et jouissent des propriétés remarquables que nous nous proposons ici de faire connaître. D'abord, en différentiant plusieurs fois de suite par rapport à x l'équation (1), on reconnaîtra facilement que, si seront encore deux fonctions réciproques de première espèce, et qu'il en sera de même des fonctions. seront des fonctions réciproques de seconde espèce. On arriverait à des conclusions analogues en différentiant plu sieurs fois de suite par rapport à x les deux membres de l'équation (2). On reconnaîtra avec la même facilité que, si f(x) et y (x) sont deux fonctions réciproques de première espèce, la fonction [ƒ(k + x) + f ( x −k)] dans le cas contraire, tandis que la fonction (x) Sin. k x aura pour réciproque de seconde espèce ¦ [ƒ (k − x ) — ƒ(k+x)] dans la première hypothèse, et ÷ [ƒ(x−k) — ƒ (k+x)] dans la seconde, les diverses propositions ci-dessus énoncées supposent les quantités k et x positives; mais il est facile de voir les modifications qu'on devrait y apporter, six et k devenaient négatives. (On peut remarquer encore, que si f(x) et x (x) sont deux fonctions réciproques de première ou de seconde espèce, k ƒ (x) et x (x) seront réciproques de même espèce, k étant une constante prise à volonté.) Les principaux usages auxquels on peut employer les fonctions réciproques, sont les suivans; 1o. elles servent à la détermination des intégrales définies. Ainsi, par exemple, comme on a entre les limites μ = o, ce qui est effectivement exact. On déduit immédiatement de considérations analogues, la formule qui sert à convertir les différences finies de puissances positives en intégrales définies. 2°. Les fonctions réciproques peuvent servir à transformer les intégrales aux différences finies, et les sommes des séries, lorsque la loi de leurs termes est connue, en intrégrales définies. En effet, à l'aide des fonc tions réciproques, on peut remplacer une fonction quelconque f(x) de la variable x par la fonction cos ( x) ou sin. (x) placée sous un signe d'intégration définie relative à la variable μ; et comme on peut obtenir facilement l'intégrale de cos. (x) ou sin. (x) par rapport à x en différences finies, et que les deux espèces d'intégration sont indépen dantes, il est clair qu'il sera facile de transformer une intégrale aux différences en intégrale définie. Il est bon de remarquer qu'au lieu de chercher la valeur de f(x) en intégrale définie, on peut calculer d'abord celle de e kx f(x) k étant une constante arbitraire, et multiplier l'intégrale trouvée par e k x. Cette observation suffit pour lever plusieurs objections que l'on pourrait faire contre la méthode dans le cas où la fonction f (x) deviendrait infinie pour des valeurs réelles de x. De même, si l'on désigne par z" ƒ (n) le terme général d'une série, ƒ (n) étant une fonction quelconque de l'indice n, on ramènera, par le moyen des fonctions réciproques, la sommation de la série en question à celle d'un autre qui aurait pour terme général z" cos. (μ n) et qui est évidemment sommable. Dans le cas particulier où l'on suppose z=1, on peut appliquer à la formule trouvée la théorie des intégrales singulières, et l'on en déduit alors la proposition suivante : désignons par a et b deux nombres dont le produit soit égal à la circonférence du cercle qui a pour rayon l'unité; soient de plus f et deux fonctions réciproques de première espèce, et formons les deux séries ; ƒ(0) +ƒ(a) +ƒ(2 a) + etc. (0) + (b) + (2 b) + etc. le produit de la première série par a sera égal à celui de la seconde par b. La première série sera donc sommable toutes les fois que la seconde le sera, et réciproquement. Cette proposition nouvelle nous paraît digne d'être remarquée. Elle conduit immédiatement à la sommation des séries qu'Euler a traitées dans son introduction à l'analyse des infiniment petits, et à celle de plusieurs autres qui renferment les premières. Le cas particulier où l'on prend f(x)=e |