offre une série très-régulière et très-simple dont le terme général est de la forme

a

et dont la somme reste la même lorsqu'on y remplace a par; 3°. les fonctions réciproques peuvent encore servir à l'intégration des équations linéaires aux différences partielles à coefficiens constans. Telles sont les principales propriétés des fonctions réciproques. Peut-être à raison des nombreuses applications qu'on en peut faire, jugerat-on qu'elles peuvent mériter quelqu'intérêt. (Société philomathique, 1817. page 121.)- 1818. Dans l'article précédent que nous avons emprunté à M. Cauchy, ce savant traite des fonctions réciproques de première et de seconde espèce; ces fonctions se trouvent complétement définies au moyen des deux équations

(1) f(x)= (==) S? (μ). Cos. (μ x ) d μ

{

(2) ƒ (x) = (2-); ƒ + (μ). Sin. (μ x) d μ {

dans lesquelles x désigne une quantité positive, et dont chacune subsiste lorsqu'on échange entre elles les deux fonctions fet, ou bien fet, qui s'y trouvent renfermées. Ainsi, en admettant les équations précédentes, on

aura

'(3) P(M) = (==); ƒ ƒ (v). Cos. (μ v). dv { ff "= }; (4) + (x) = (~); Sƒ(v). '(v). Sin. (μ v) d v

et l'on conclura, par suite,

2

=}

(5) ƒ (x) = = ƒ ƒ ƒ (v) Cos. (μ x). Cos. (μ v).

Π

},

271

2

(6) f(x)= === ƒ ƒ ƒ (»). Sin. (μ x). Sin. (μ »). d μ. d v,

ou, ce qui revient au même,

(7) SSƒ(v). Cos. μ(v+x). du. dv. {} = 0;" = ∞ } =

(8)

8) ƒ ƒ ƒ (v). Cos. p. (y + x). dr. dv {*=0;*=* }

= 0

}==.f(x).

Ces dernières formules, qui suffisent pour établir les propriétés des fonctions réciproques, sont celles dont M. Poisson et l'auteur se sont servis, chacun séparément, pour intégrer les équations différentielles du mouvement des ondes. Au moment où j'ai rédigé, sur cet objet, l'article déjà cité, dit M. Cauchy, je ne connaissais d'autre mémoire où l'on eût employé les formules en question, que celui de M. Poisson et le mien; mais depuis cette époque, M. Fourier m'ayant donné communication de ses recherches sur la chaleur, présentées à l'Institut dans les années 1807 et 1811, et restées jusqu'à présent inédites, (1818) j'y ai reconnu les mêmes formules. Quoiqu'il en soit, comme on en a déjà fait, et qu'on peut en faire encore de nombreuses applications, je crois que les géomètres en verront avec quelque intérêt une démonstration simple et rigoureuse. Pour établir les équations (7) et (8), on cherchera les límites vers lesquelles convergent, tandis que « diminue, les intégrales doubles

en partant de ce principe, que si N désigne une fonction de toujours positive depuis v› ̧ jusqu'à » =

บ

une

v', etv. valeur quelconque de intermédiaire entre v. et »,, on pourra choisir cette valeur intermédiaire' de manière à

vérifier l'équation

Ndv

ƒNƒ (v).dv {=} =ƒ(') ƒ Ñd» {=";} .

Cela posé, on trouvera

désignant une quantité positive; et l'on en conclura en faisant &=0

ƒ ƒ ƒ (v). Cos. p(v+x).dp.dv{"=0,"==% }=0><ƒ(v')==0,

du moins toutes les fois que ƒ (») demeurera constamment finie pour des valeurs positives de ». On aura, au contraire,

Sff (v). Cos. p (v—x), dp. dv=nƒ(v).

Cette dernière équation prouve déjà que l'intégrale (8) n'est

pas nulle en général, mais égale à l'une des valeurs du produit

πf (v').

Il reste à déterminer exactement cette valeur. Pour y parvenir, si l'on fait

u', u", u", désignant trois valeurs de u respectivement comprises entre les limites des trois intégrales correspondantes. On en conclura, en effectuant les intégrations,

μ

=( Arc. Tang. — Arc. Tang.—) ƒ ( x + a u′ )

a

+2 Arc. Tang. —ƒ(x+ a u′′ )

(Arc. Tang. )(x+a u"),

et par suite, en faisant eo, puis observant que ɑ u“ est

compris entre

du moins, toutes les fois que ƒ (») restera constamment finie pour des valeurs positives de v. Société philomathique, décembre 1818, page 178.

FONCTIONS SYMÉTRIQUES (Calculs des).—MATHÉMATIQUES.-Découv.-M. A.-L. CAUCHY.-1813.-L'auteur comprend sous la dénomination commune de fonctions symétriques deux espèces distinctes de fonctions: les unes ne changent ni de valeur ni de signes par les permutations des lettres qui les accompagent; les autres conservent toujours la même valeur, mais peuvent changer de signe en vertu de ces permutations. Il nomme les premières fonctions permanentes, et les secondes fonctions alternées, et son objet est de donner des moyens généraux d'exprimer sous différentes formes, ou, ce qui revient au même, de transformer les unes dans les autres les quantités de ces deux espèces. Les dénominations des valeurs générales des inconnues, qui résultent de l'élimination dans les équations du premier degré sont des fonctions symétriques alternées ;