Pour connaitre la vitesse la plus avantageuse d'une pareille roue, il faut rendre l'expression précédente un maximum; différentiant par rapport à u et égalant à zéro, on trouve

u =

2

com

Les roues mues par la réaction de l'eau se composent d'un certain nombre de tuyaux horizontaux, muniquant tous avec un même tuyau vertical autour duquel ils peuvent tourner. Le tuyau vertical est supposé constamment plein d'eau, et chaque tuyau horizontal est percé latéralement d'une ouverture par laquelle le liquide s'écoule. Cet écoulement détermine une pression sur la paroi opposée à l'orifice; et c'est cette pression qui devient la force motrice des roues. Supposons une roue parvenue au mouvement uniforme, et appelons u la vitesse absolue de l'orifice, et a sa distance à l'axe de rotation. Soit H la hauteur de la colonne contenue dans le tuyau vertical. Cette hauteur mesure la pression exercée sur tous les points du tuyau horizontal dans l'état de repos; mais quand la roue tourne, la force centrifuge détermine une nouvelle pression que nous allons, dit M. Petit, calculer. Prenons pour axe des z l'axe vertical de rotation; et pour axe des x, l'un des tuyaux horizontaux. Une particule fluide, dont les coordonnées sont x et z, sera soumise, d'une part, à la force g de la pesanteur que nous prendrons négativement, puisqu'elle tend à diminuer la coordonnée z, et la force centrifuge provenant du mouvement horizontal de rotation. A une distance x de l'axe des z, la vitesse est a; ainsi, la force centrifuge, étant égale au carré de la vitesse divisé par le rayon du cercle décrit, sera

u2 x

ux

On aura donc, d'après les principes de l'hydrostatique, en appelant p la pression

Et si l'on représente par H' la hauteur due à la vitesse

u, on aura

P = g(H+H').

Maintenant, d'après la loi de l'écoulement des liquides, la vitesse produite par la pression d'une colonne d'eau d'une hauteur verticale H+H' est égale à celle qu'acquerrait un corps grave en tombant de cette hauteur: ainsi l'eau sortira des tuyaux avec une vitesse relative

V 2g ( H + H′ ),

et par conséquent sa vitesse absolue dans l'espace sera

Vag (H+H') V2gH'.

La force vive perdue dans cette machine est donc

M ( √ 2g ( H+ H′)—√2gH2. )

Ainsi, pour trouver la vitesse qui convient au maximum d'effet, il faut chercher la valeur de H', qui rend au minimum l'expression

Ce coefficient étant toujours négatif, et ne devenant nul que quand H' est infini, l'auteur en conclut que, dans la roue à réaction, il y a toujours une certaine portion de la force vive perdue, mais que cette perte diminue à mesure que la roue tourne avec une plus grande vitesse. On peut comprendre au nombre des roues hydrauliques la machine imaginée par M. Manoury, et à laquelle il a donné le nom de danaïde. (Voyez ce mot.) (Ann. de chim. et de phys., 1818, t. 8, p. 287.)—M. NAVIER. —Le mémoire de M. Petit, publié dans le tome 8 des Annales de chimie, en appelant l'attention sur les avantages qu'offre l'emploi du principe des forces vives dans la théorie des machines, tend à répandre des lumières très - utiles aux progrès de la mécanique pratique. On marchera vers le même but en rappelant ce qui a déjà été fait sur le même sujet, et tâchant de faire revivre des procédés et des résultats presque oubliés. Pour trouver les premières notions exactes sur les effets des machines, il faut remonter aux écrits de Galilée, qui établit en principe qu'une puissance donnée ne pouvait produire en un temps donné qu'un effet déterminé, lequel avait pour mesure le produit du poids élevé et de la hauteur à laquelle il était élevé. Il remarqua de plus que quand la puissance agissait par le moyen d'une machine, cette machine n'en altérait point l'effet ; c'est-à-dire qu'elle pouvait bien faire varier respectivement le poids et la hauteur, mais non la valeur du produit de ces deux quantités. Les mêmes notions ont été établies par Descartes, mais Galilée paraît avoir la priorité. Elles suffisent pour former la théorie des machines, lorsqu'on les considère parvenues à un mouvement uniforme et que les corps qui les composent ou qui agissent sur elles n'éprouvent point de variations dans leur vitesse. Mais quand ces circonstances n'ont pas lieu, on ne peut plus juger des effets sans le secours d'un autre principe qui', d'après les variations survenues dans les mouvemens, donne le moyen de déterminer les puissances qui les ont produites, et réciproquement. Le premier principe qui ait pu remplir

TOME VII.

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cet objet est celui de la conservation des forces vives, dû à Huyghens, et qui est l'extension à un assemblage de corps, de cette proposition découverte par Galilée, qu'un corps pesant qui a descendu librement le long d'une courbe quelconque, a toujours acquis la même vitesse quand la distance verticale qu'il a parcourue est la même. Ce n'est point toutefois en faisant usage de ce principe que Parent est parvenu aux résultats qu'il a donnés sur les roues à aubes. ( Académie des sciences, 1704. ) Ils sont uniquement fondés sur cette remarque, que l'effort sur les aubes variant avec la vitesse de la roue, comparée à celle du courant, devait y avoir une certaine relation de ces vitesses correspondante au maximum d'effet ; et il trouve, en supposant l'effort proportionnel au carré de la vitesse relative, que la vitesse de l'aube doit être alors le tiers du fluide. Cette supposition étant à très-peu près conforme à la vérité, le résultat l'est aussi ; mais la valeur absolue de l'effet maximum donnée par Parent est tout-à-fait inexacte, et on ne pourrait la connaître qu'en déterminant les quantités respectives de force vive que le fluide perd contre la roue, et conserve après avoir agi sur elle. Le premier ouvrage où le principe des forces vives ait été appliqué à la théorie des machines est l'Hydrodynamique de D. Bernouilli. Il établit sur cette matière des notions qui ont depuis été développées, mais au fond desquelles on a peu ajouté. Il montre surtout que dans toutes les machines à élever l'eau, en faisant abstraction des frottemens, le poids de l'eau élevée, multiplié par la somme de la hauteur à laquelle on l'élève et de la hauteur due à sa vitesse finale, est égal à la puissance employée à mouvoir la machine. Les machines où l'eau passe par des étranglemens font toutefois exception à la règle; et D. Bernouilli les examine en particulier. Quant aux machines mues par l'eau, il en établit la théorie à peu près de la même manière que Parent, et l'étend au cas où les ailes sont frappées obliquement, comme dans les moulins à vent. La remarque faite ci-dessus s'applique également à ses résultats. Le point de vue sous lequel D. Bernouilli avait

considéré les machines a été entièrement négligé dans les grands ouvrages de mécanique pratique qui ont paru vers cette époque, tels que la Physique de Désaguliers et l'Architecture hydraulique de Bélidor. Il l'a été aussi pendant long-temps par les savans eux-mêmes. Euler, dans les Mémoires qu'il a donnés sur la roue à réaction, la roue à force centrifuge et la vis d'Archimède, n'en a fait aucun usage. Le premier ouvrage où l'on retrouve l'application du principe des forces vives aux machines est un Mémoire de Borda sur les roues hydrauliques, qui ne contient pas dixsept pages, et où la matière est presque épuisée. En adoptant les mêmes idées, Borda apporte un perfectionnementimportant à la manière de procéder de D.Bernouilli; ce dernier avait reconnu qu'il y avait des cas où il fallait admettre des pertes de force vive pour obtenir le véritable mouvement du fluide; mais il estimait ces pertes d'une manière inexacte. Ainsi m étant la masse d'un corps, et ses vitesses avant et après un choc, D. Bernouilli supposait la force vive perdue par l'effet du choc égale à

Borda reconnut, d'après les lois du choc d'un corps, que la perte de force vive devait être exprimée par

m (v-v').

Il établit en conséquence les théories de diverses machines et en déduisit, comme corollaire général, «que l'effet est » toujours proportionnel à la force vive représentée par >> la descente de l'eau, moins celle perdue par les choes, » et moins celle conservée par ce fluide après avoir agi sur » la machine. » Dans un autre Mémoire sur les pompes, Borda leur applique les mêmes principes, et donne, pour évaluer les mêmes effets des étranglemens, des formules plus exactes que celles de D. Bernouilli. La même manière de calculer les machines et d'estimer les effets des chocs est adoptée par Coulomb. Lorsque D. Bernouilli avait