la construction, il suit de la similitude évidente des triangles NED, NN'G, que NG est aussi divisée en deux parties égales au point D, et que DN=DG. De plus, DQ=EF, GQ=N'Q', DE=FQ, à cause des parallèles; et comme DE est la moitié de N'G, FQ sera la moitié de Q'Q; ensorte que QFQF DE. Enfin

NQ=DQ+DN = EF + DN,
N'Q=GQ=DQ —DG — EF—DN,
CQCF-FQ CF — De,

CQCF+FQ'=CF+DE;

mettant pour NQ, N'Qʻ, CQ, CQ, leurs désignations respectives, savoir :

sin (a+b), sin (a—b), cos (a+b), cos(a—b), j'aurai

sin (a+b)=EF+DN, cos(a+b) = CF —de, sin (ab) EF-DN, cos (a-b)=CF+DE.

Il ne reste plus qu'à calculer les quatre lignes EF, CF, DN et DE; les deux premières s'obtiennent par les triangles semblables CMP et CEF, dont on tire

cos a;

CM: PM :: CE:EF, CM:CP :: CE : CF. Or, puisque AM≈a, j'ai PM = sin a, CP il suit aussi des définitions du sinus et du cosinus (5) que EN est le sinus de l'arc MN, sinus, et que par conséquent EN d'ailleurs, CM=R : substituant proportions ci-dessus, je trouve

РМХСЕ

que CE en est le cosin b, CE=cos b; ces valeurs dans les

sina cos b

EF=

CF =

Je compare ensuite les triangles CMP, DEN, quli

sont semblables, parce que les côtés du second sont

perpendiculaires à ceux du premier, et je déduis de ces triangles,

CM: EN :: CP: DN, CM:EN::PM: DE. Substituant aux trois premiers termes de chacune de ces proportions, leur désignation rapportée ci-dessus, elles donnent

Réunissant ces valeurs aux précédentes pour former celles de sin (a+b) et de sin (a—b), il vient les quatre équations

qui se réduisent aux deux qui composent l'énoncé de la proposition.

Avec ces équations, on peut trouver le sinus et le cosinus d'un arc double, triple, et en général multiple de celui dont on connaît le sinus et le cosinus. En effet, si l'on prend successivement b: = a, b = 2a,

2 sin a cos a

on aura

sin 2a=

COS 2a

R

et on tirera des deux dernières équations sin 3a et cos 3a, lorsque sin 2a et cos 2a seront calculés.

du sinus d'un arc a, à l'expression du sinus de sa moitié. Si l'on remplace cos a par sa valeur VR-sin a (*), il vient alors

VIG. 5.

et en élevant au quarré, on trouve

R2 sin 2a2 = 4R2 sin aa — 4 sip a4';

prenant sin a pour l'inconnue, dans cette équation qui peut se résoudre à la manière de celles du second degré, on obtient

sin a=VRRVR-sin 2a2.

Si l'on fait 2ad, on aura aa', et par conséquent

ou

a=

sina V¦ R2 ± ¦ R √ R2 — sin a′3,

sina' = ± √2R2± 2R cos a',

en mettant cos a au lieu de R2
2
sin a' (10), en mul-
tipliant les quantités sous le radical par 4, et en divisant
au-dehors par 2, ce qui ne change rien à l'expression.
Telle est la formule qui donne le sinus de la moitié d'un
arc, lorsqu'on a celui de cet arc.

13. On peut arriver à ce résultat par une construction très-simple.

Si l'on divise l'arc AM, fig. 5, en deux parties égales, la corde AQM se trouvera également divisée en deux

(*) Le Lecteur est prévenu que dorénavant je désignerai le quarré du sinus de l'arc a par sin a2, expression qu'il ne faut pas prendre pour le sinus du quarré de l'arc a, ainsi sin aa= (siñ a ).

parties égales, et QM serale sinus de MN ou de la moitié de AM; le triangle AMP, rectangle en P, donnera

AMV PM+AP”;

et comme APAC-CP-R-cos AM-R-cos a, que d'ailleurs PM= sin AM= sin a', on aura AMV sin d'+R-2Rcosa+cos dV2R-2Rcos a', à cause que sin d'"+cos a' R (10); et on en déduira

QM= AQM= V2R-2R cos a'.

On ne trouve de cette manière que la deuxième valeur de sina', l'autre est MQ'; car l'arc MN'A', qui compose, avec l'arc AM, la demi-circonférence, a aussi pour sinus PM, puisque cette ligne est bien en effet la perpendiculaire abaissée de l'extrémité M sur le rayon CA' qui passe par l'autre extrémité (5); et rien dans l'équation d'où l'on est parti, ne faisant connaître lequel de ces deux arcs on se propose de diviser, on doit trouver en même temps le sinus de la moitié du premier et celui de la moitié du second. Suivant la construction on aurait

A'M=√PM+A'P=V PM +(4′C+CP)2

2

= sin a2+(R+ cos a' )2

=

sin a'2 +R2 + 2R cos a + cos a'* V2R+2R cos a',

et par conséquent

MQ'sina V2R+2R cosa,

résultat qui est la première valeur de sin d'. Il faut bien observer que, quoique sin a' soit le même dans les deux valeurs de sina, l'arc a' est différent : pour l'une d'elles, cet arc est AM, et pour l'autre, A'M,

le

qui est le supplément de AM, car on entend par supplément d'un angle ou d'un arc, ce qu'il faut ajouter à cet angle ou à cet arc pour en faire deux droits, ou la demi-circonference. On conclura aussi de ce qui précède, que le sinus du supplément d'un arc est le même que celui de cet arc. Je donnerai plus loin des notions générales sur les différens arcs qui peuvent avoir un même sinus, une même tangente, etc.

14. Il suit de ce qui précède, que le sinus d'un arc quelconque AN est la moitié de la corde AM de l'arc double ANM, et que la corde AM est le double du sinus de l'arc AN, moitié de ANM; de manière que lorsque les sinus sont connus on en déduit les cordes, et vice versa.

15. Ce ne sont pas les valeurs absolues des sinus que l'on a besoin de calculer, mais seulement leur rapport avec le rayon, puisqu'il suffit de connaître FIG. 2. dans tous les triangles CFM, CP'M', etc. fig. 2, les rapports que les côtés ont entre eux. On peut en conséquence, pour plus de simplicité, prendre le rayon pour unité, et exprimer les sinus PM, P'M', etc. en parties décimales de cette unité, ou, comme on faisait autrefois, supposer ce rayon divisé en 100 000 parties.

16. Il est à propos d'observer que la longueur d'un arc est toujours moindre que celle de sa tangente, et plus grande que celle de son sinus. En effet, si on FIG. 6. prend au-dessous du rayon AC, fig. 6, l'arc AM' = AM, que l'on tire la corde MM', et que l'on mène les tangentes MT, M'T, il est facile de voir tangentes doivent rencontrer toutes deux le rayon AC dans un même point, puisque les triangles CMT et CM'T', sont égaux. Les lignes MT' et M'T'étant égales aussi bien que les lignes PM et PM', et les arcs AM et AM', on aura 2AM < 2MT et 2AM >2PM parce

que ces