On résoudra immédiatement par ces proportions un triangle: 1° lorsqu'on y connaitre deux angles et un côté, puisqu'alors tous les angles seront donnés, et que les côtés cherchés seront nécessairement opposés à deux de ces angles; si, par exemple, a est donné, ainsi que les angles B et C, on retranchera la somme de ces angles de deux droits, pour avoir l'angle A, et les deux premières proportions feront connaître les côtés cherchés b et c : 2° quand on aura un angle et deux côtés dont l'un soit opposé à l'angle donné; si c'est, par exemple, l'angle A avec les côtés a et b, on calculera l'angle B par la première proportion; et connaissant alors deux angles, on retombera dans le cas précédent.

Il y a deux cas qui, n'étant pas compris dans ceux que je viens d'examiner, semblent échapper à la méthode ce sont ceux dans lesquels on connaît deux côtés et l'angle compris, ou bien les trois côtés ; je vais m'en occuper successivement.

35. Je suppose d'abord que l'on connaisse les deux côtés a et b, et l'angle compris C. En mettant les équations

C sin C

sin C

b sin C csin B,

=

et ensuite les

a sin Cc sin A, pour les ajouter membre à membre, retrancher l'une de l'autre, on trouve

(a+b) sin C = c (sin A+ sin B),

(ab) sin Cc (sin Asin B);

divisant le dernier résultat par le premier, le côté inconnu c disparaît, et on a

1

d'où on déduira la proportion

a+ba-b tang (A+B): tang (A-B); qui s'énonce ainsi : La somme des deux côtés d'un triangle est à leur différence, comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces côtés, est à la tangente de leur demi-différence.

Tout est connu dans cette proportion, à l'exception de A- B; car si on retranche de deux quadrans la mesure de l'angle connu C, le reste sera celle de (A+B); prenant par conséquent la valeur de tang (A — B), il viendra

tang (AB) =

α .b a+b

tang (A+B),

formule qui fera connaître A-B. Posant ensuite

A+B≈m, A—B—n,

et ajoutant ces équations, on en conclura

(*) On peut aussi, pour plus de briéveté, faire la proportion ab sin A: sin B (32),

de laquelle on tire immédiatement

a+ba- -b:: sin A+ sin B: sin A-sin B;

et l'on en conclura, par le no 28,

a+ba- ·b :: tang (A+B): tang (4-B).

puis retranchant la seconde de la première, il viendra

On voit par là que, connaissant la somme met la différence n des deux angles demandés A et B, on trouvera le plus grand, en ajoutant la moitié de la somme à la moitié de la différence, et le plus petit, en ôtant la moitié de la différence de la moitié de la somme.

Lorsqu'on aura calculé tous les angles, on trouvera le troisième côté par la règle du numéro 32.

36. On peut aussi trouver immédiatement le troisième côté, en abaissant une perpendiculaire sur l'un des côtés donnés; de l'angle A, par exemple, sur le côté donné FIG. 16. BC, fig. 16. On aura, par la propriété connue des triangles obliquangles, ABʼ—AC2 AB=AC2+BC' 2BCX DC, le signe supérieur ayant lieu quand la perpendiculaire tombe en dedans du triangle, comme dans la figure, et le signe inférieur dans le cas où elle tombe en dehors; de plus, dans le triangle rectangle ADC, on a (30) DC ACX sin DAC-AC cos C, en faisant R=1:

•2

12

on conclura de là AB=AC+BC-2AC×BCXcosC, et par conséquent

formule qui revient, suivant la notation établie, à

c = √ a2 + b2 — 2ab cos C,

et donnera le côté c par le moyen des deux autres a et b, et de l'angle C. Un seul signe suffit au terme 2ab cos C, parce que quand l'angle C est obtus, son cosinus ést négatif, et change par conséquent leen+, comme l'exige la construction géométrique.

37. Cette formule ne se prête pas commodément au

calcul logarithmique; mais comme on a COS 2C1— 2 sin C2 (27),

on aura aussi

cos C-1 - 2 (sin C)2,

en écrivant C à la place de C; et par cette transformation on obtiendra

c = Va2+b2-2ab+4ab (sin C)2=

√(a—b)2+4ab (sin C)2.

.1

a - b

On calculera facilement tang & par la pre

1+tang a2 mière formule; et lorsqu'on sera parvenu à l'angle &, on

38. L'équation c= √ a2 + b2 —2ab cos C fait connaître l'angle C, lorsque les trois côtés a, b et c, sont donnés ; car en élevant chacun de ses membres au quarré, on en tire

d'où

a2 + b2 — c2 = 2ab cós C,

mais cette expression étant peu commode pour le calcul logarithmique, il faut en chercher une autre. Si l'on écrit 2C' pour C, et qu'on mette 1-2 sin C' à la place de cos C (27), on aura cette expression : · a2 — b2 c2 a2 — b2+2ab

2sin C'21+

2ab

2ab

c2 — (a—b)2 _ (c+a—b) (c—a+b)

si donc on fait c+a+b=f, on aura, en prenant la racine quarrée, et en remettant C au lieu de C',

formule qui conduit à la règle suivante :

Pour trouver un angle d'un triangle, lorsque les trois côtés sont connus, de la demi-somme des trois côtés, retranchez successivement chacun de ceux qui comprennent l'angle cherché; multipliez les deux restes entre eux; divisez ce produit par celui des côtés qui comprennent l'angle cherché, et prenant la racine quarrée du quotient, vous aurez le sinus de la moitié de cet angle.

39. La solution de tous les cas des triangles obliquangles ne dépend, comme on voit, que des trois règles énoncées dans les numéros 32, 35, 38, et repose sur le principe dont on a tiré la solution des triangles rectangles dans le numéro 30: il sera donc facile, avec un peu d'attention, de retenir ces règles; et le calcul des exemples que je vais donner suffira pour mettre le lecteur en état de les appliquer.