Exemples de la résolution des triangles rectangles.

1er: Connaissant dans le triangle rectangle BAC, fig. 13, l'hypoténuse a et un côté c, trouver l'angle FIG. 13. opposé C à ce côté ; et soit l'hypoténuse a 13mètres, 178, le côté c=7,357. On aura (31), pour déterminer sin C, la proportion

Pour plus de simplicité, on fait presque toujours le rayon égal à l'unité son logarithme est alors zéro, il n'en faudra par conséquent tenir aucun compte; et au lieu d'effectuer les soustractions, on emploie les complémens arithmétiques dont la théorie est exposée à la fin de mes Elémens d'Algèbre. Voici l'opération :

lc=17,357=

..0,8667008 comp. arith. la comp. arith. I 13,178 8,8801505

somme ou lsin C.;.

-9,7468513 qui, dans les tables, répond à 09,377 = C.

=

2o. Connaissant l'angle C 0,5837, l'hypoténuse a=33,253, trouver le côté b. On aura (31)

qui répond, dans les tables, à 20,228 = b, à moins d'un 1000 près.

3. Connaissant le côté c=5,391, l'angle B=0,3502, trouver le côté b. On aura

FIG. 16.

qui répond, dans les tables, à 3′′,306 = c.

Exemples de la résolution des triangles obliquangles.

1er. Connaissant dans le triangle ABC, fig. 16, le côté c, les angles A et B, trouver le côté b. Soit A= 19,2805, B=0,5879, c=27,348; l'angle C sera 29 (A+B)=29—19,8684-0,1316, et on aura (32)

d'où

-

sin C sin B::c: b,

qui répond, dans les tables, à 106",289 b.

= =

2o. Connaissant dans le triangle ABC les deux côtés a, b, et l'angle compris C, trouver le troisième côté c.

Soita 28,442, b=17m,803, C=0,8426; on commencera d'abord par trouver les autres angles. On

=ltang 4+B+1 (a—b) — 1 (a+b);

2

2

or, A+B=29 — C — 29 — 09,8426 = 19,1574, et

a + b = 28,442 + 17,803 = 46,245,

1tang 0,5787 =

1 (a - b)=110;639=

10,639,

0,1084874

1,0269008

comp.arith.l (a+b)=comp.arith.146,245=8,3349352

=A=0,7615,

2

2

FIG. 17.

1,4717389

comp.arith.lsinB comp.arith.I sino,3959=0,2346572

qui répond, dans les tables, à 29,630=c.

3. Connaissant, dans le triangle ABC, les trois côtés a, b, c, trouver l'angle A.

Soit a=29,037, b=18",743, c=13",782.

Suivant le numéro 38, on ajoutera les trois côtés a, b, c, entre eux, ce qui donnera 61,562 ; et de la moitié 30,781 on retranchera successivement b, c; il viendra pour restes 12,038 et 16,999: on aura ensuite

qui, dans la table,, répond à 0a,6987A : donc A= 19,3974.

40. Un ouvrage de la nature de celui-ci ne saurait comporter le détail des applications dont la trigonométrie rectiligne est susceptible; je me bornerai à indiquer la solution de trois questions que l'on peut régarder comme la base de l'art de lever les plans.

Voici l'énoncé de la première :

Etant donné de grandeur et de position, sur un plan, une ligne AB, fig. 17, déterminer, par rapport à cette ligne, la position d'un point C, situé dans le même plan,

ou, ce qui revient au même, trouver les distances AC et BC.

Pour la résoudre, il faut mesurer la ligne AB, qui est la base de l'opération, et les angles CAB et CBA, compris entre cette base et les lignes qui en joignent les extrémités avec le point inconnu C; les distances cherchées AC et BC, se calculeront alors d'après la règle énoncée dans le n° 32; et lorsqu'on les aura trouvées, on construira, au moyen d'une échelle de parties égales, sur les trois côtés donnés, le triangle ABC, qui fera connaître la position respective des trois points A, B et C (*).

On pourra ensuite, par la résolution du triangle rectangle ACP, dans lequel on connaîtra le côté AC et l'angle CAP, trouver la longueur de la perpendiculaire CP, abaissée sur AB, ou de la plus courte distance du point Cà la ligne AB, et la grandeur du segment AP. Ces données serviront aussi à marquer la position du point Cà l'égard de la ligne AB. On trouverait de mème la situation d'un point D, qu'on pourrait appercevoir en même temps de deux quelconques des trois points A, B et C.

(*) Je n'insiste point sur l'opération de la mesure des angles, parce que la vue des instrumens que l'on y emploie en apprend plus que tout ce qu'on peut dire à cet égard; et que pour concevoir la possibilité de cette mesure, il suffit d'imaginer que l'on ait placé sur le point A le centre d'un secteur de cercle, dont les rayons soient dirigés suivant les côtés AB et AC de l'angle qu'on se propose de connaître. Ceux qui voudront se livrer à la pratique de la levée des plans, pourront consulter le Traité de Trigonométrie de Cagnoli, l'article Levée des plans, dans le Dictionnaire de mathématiques de l'Encyclopédie méthodique, le Traité d'Arpentage de M. Le févre, et enfin les Traites de Géodésie théorique et pratique de M. Puissant, dans lesquels se trouvent les méthodes les plus exactes et les plus propres aux grandes opérations trigonométriques, ainsi qu'aux operations de detail.