lignes courbes, celui que comprennent les tangentes me→ nées au point où elles se rencontrent, l'angle IAK sera donc aussi la mesure de l'angle fait par les arcs AC et AB. Il en serait de même de chacun des deux autres angles du triangle; les inclinaisons des faces de l'angle trièdre SABC ont donc la même mesure que l'angle correspondant du triangle sphérique BAC. Le triangle sphérique et l'angle trièdre sont composés par conséquent de six parties qui se correspondent, savoir : les trois côtés du triangle qui répondent aux angles desaretes de l'angle trièdre, et les trois angles du triangle qui répondent aux inclinaisons réciproques des faces de l'angle trièdre.

Euler, qui s'est occupé à plusieurs reprises de la trigonométrie sphérique, pour la présenter sous des points de vue nouveaux, a donné, en 1779 (*), un Mémoire que l'on peut regarder comme un Traité complet de cette branches des mathématiques. Sa forme, entièrement analytique, m'a engagé à le présenter à mes lecteurs, en y faisant les changemens nécessaires pour ne l'appuyer que sur un seul principe, et simplifier quelques résultats.

47. Tout ce que j'ai à dire sur les triangles sphériques repose uniquement sur la construction suivante, qu'il est par conséquent important de bien saisir.

De l'angle C du triangle ABC, on abaisse une perpendiculaire CD sur le plan ASB du côté BA opposé à cet angle ; du point D on mène les lignes ED, DF, respectivement perpendiculaires, sur SA et SB; on tire les lignes CE et CF, qui seront respectivement perpendiculaires aux lignes SA et SB (Geomet.). Il suit de là

(*) Acta Academiæ Scientiarum Petropolitanæ, anno 1779 pars prior; voyez, aussi le Développement de la partie élémentaire des Mathématiques, par Bertrand, Geneve, 1778. (T. IL pag. 576.)

que les angles CED et CFD, mesurent les inclinaisons des plans CSA et CSB, sur le plan ASB, ou, ce qui est la même chose, donnent la valeur des angles A et B du triangle sphérique ABC. Je désignerai dorénavant les angles de ces triangles par la lettre placée à leur sommet, et les côtés qui leur sont opposés par une lettre semblable, mais prise dans le petit alphabet; ici, comme dans le numéro 31, le côté BC opposé à l'angle A, sera nommé a, et ainsi des autres. Le rayon des tables étant supposé égal à l'unité, on aura alors

Dans le triangle rectiligne CDE, rectangle en D, et dont

DE

l'angle CED

CE cos CED — sin b cos A.

Par le triangle rectiligne CDF, pareillement rectangle en D, et dont l'angle CFDB, on obtiendra

CD
DF

CF sin CFD sin a sin B,

CF cos CFD = sin a cos B.

Les deux expressions de la ligne CD, étant égalées entre elles, donnent d'abord

résultat qui est, par rapport aux triangles sphériques, l'analogue de celui du numéro 32.

Il est évident qu'on doit avoir de même les deux équations suivantes :

diculaire sur SB, et par le point D, je tire D parallèle

à SB; je forme de cette manière un triangle rec tangle HDE, dans lequel HED = ASB, puisqu'en retranchant l'angle GES de l'angle droit SED, on a pour reste HED, et que l'angle ASB ou ESG est aussi la différence entre un angle droit et l'angle GES. De la résolution du triangle EHD, on déduira par conséquent

HD = DE sin DEH DE sin ccos A sin b sin c; mais SF'= cos a = SG+ GF = SG+HD, et SG SE cos ESG cosb cosc: on aura donc

=

cos acos b cos c + cos A sin b sinc,

équation qui exprime la relation qui existe entre le côté a, les deux autres côtés b et c, et l'angle qu'ils comprennent.

Il est évident qu'en considérant en particulier chacun de ces derniers, on trouvera de même deux équations semblables à la précédente; et l'on formera de cette manière, entre les six parties du triangle ABC, les trois équations

cosa

cosb cosc + cos A sin b sinc cos bcosa cos c + cos B sin a sinc cos c = cosa cos b + cos C sin a sin b

(B).

48. Ces trois équations renferment implicitement l'équation (A). Pour s'en convaincre, il suffit de prendre les valeurs qu'elles donnent pour cos A, cos B, cos C, et de les substituer dans les équations

On trouve par la première de celles-ci,

sin A21

sin b2 sin c2

cos a2 -2 cosa cosb cos c + cos b2 cos c2
sin b2 sin c2

-cos a2+2 cos a cosb cosc-cos b2 cos c2
sin b2 sin ca

(1-cosb)(1-cosc)-cosb cosc-cosa+acosacosbcosc

multipliant les deux termes de cette fraction par sin a2, et prenant ensuite la racine quarrée, on obtiendra

sinA sinaX

V1-cosa-cosb2-cosc2+2cosacosbcosc sin a sin b sin c

Si, pour abréger, on représente par M la quantité qui multiplie sin a dans le second membre de cette équation, sin AM sin a:

on aura

on trouvera de même

sin B — M sin b,

=

sinc-M sin c;..

et par l'élimination de M, on retombera sur les équa→ tions (A). Il est à propos de remarquer que les trois côtés a, b, c, entrent tous de la même manière dans l'expression de M, car c'est pour cela qu'elle est commune aux valeurs des sinus de chacun des angles (*)."

Les équations (B) suffiront donc pour résoudre un

(*) En désignant par le numérateur de la quantité M, par y, , a, trois arêtes contigues d'un tétraèdre quelconque, et par a, b; c, les trois angles qu'elles forment, il résulte d'un mémoire d'Euler, que le volume de ce tétraèdre est égal à «ßy × N, et que N revient

Vsin(a+b+c) sin (a+b-c) sin (a+c-b) sin (b+c-a).

Dans le tétraèdre SABC, a=f=y=1; son volume est donc égal à N. (Voyez les Novi Commentarii Acad. Petropolitana, T. IV, pag. 160, et le 6o cahier du Journal de l'École Polytechnique, pag. 270).

triangle sphérique quelconque, lorsqu'on connaîtra trois de ses parties, en observant que le sinus et le cosinus ne doivent être regardés que comme une seule inconnue, puisqu'on peut toujours exprimer l'un par l'autre.

L'application des équations (B) aux différens cas qui peuvent se présenter, devient plus facile, au moyen de quelques transformations que je vais effectuer.

49. On peut y changer les angles dans les côtés qui leur sont opposés, et respectivement, en observant de donner le signe aux cosinus. Pour le prouver, il faut éliminer cos a des deux dernières, au moyen de la pre→ mière; on trouvera

cosb cosb cosc+cosA sinb sinc cosc+cosB sina sin c cos ccosb2 cosc+cos sinb sinc cosb+cosC sina sin b. En substituant dans ces résultats 1- sin c2 à cos c2; 1-sin b2 à cos ba, ils se réduisent; le premier devient divisible par sinc, le second par sinb, et ils peuvent ensuite s'écrire ainsi :

cos B sin a cos b sin ccos A sin b cosc (C). }.......(c).

cos C sin asin bcos c -cos A cosb sin c

Si on multiplie la deuxième de ces équations par cos A, qu'on l'ajoute à la première, et que l'on substitue 1-sin A2 au lieu de cos A2, on obtiendra

sin A cos b sinc';

sin a (cos B+cos A cos C) mais il suit des équations (A) que sin c sin A sina sin C; faisant la substitution de cette valeur dans le second membre de l'équation ci-dessus, elle deviendra divisible par sin a, et on aura pour résultat

cos B+cos A cos C= cos b sin A sin C,

ou, ce qui est la même chose,

cos Bcos A cos C+ cosb sin A sin C.

En rapprochant cette équation des équations (B), on