104 Remarque sur les signes de la sécante, et note sur le même sujet, p. 103 Analyse complète du problème où il s'agit de mener par un point pris dans un angle droit, une ligne dont la partie interceptéc entre les côtés de cet angle, soit de grandeur donnée, Résolution de ce problème par Newton, pour le cas où le point par lequel doit passer la ligne de grandeur donnée, est à égale distance des côtés de l'angle droit, Construction des expressions algébriques qui appartiennent à des aires ou à des volumes, III 112 Idée fondamentale de l'analyse de Descartes, par laquelle on représente les courbes au moyen des équations à deux indéterminées, Équation d'une ligne droite, Ce d'un cercle, 115 116 117 119 que c'est que les coordonnées, leurs axes, leur origine, Comment on distingue par les signes + et —, les quatre angles que forment les axes des coordonnées, 120 Ce que c'est que le lieu d'une équation, et comment s'obtient celle d'une courbe quelconque, 121 L'équation générale du premier degré à deux indéterminées appartient à une ligne droite, Il faut deux conditions pour déterminer cette ligne, 122 124 ibid. 125 ibid. Equation d'une droite qui, passant par un point donné, serait parallèle à une droite donnée, Équation de la perpendiculaire abaissée sur une ligne donnée par un point donné, 126 ibid. Note. Sur le signe que doit porter la tangente de l'angle formé par cette perpendiculaire et l'axe des x, Pour trouver le point de rencontre de deux droites qui se coupent, il faut supposer que les coordonnées de l'une soient les mêmes que celles de l'autre, 127 128 ibid. Expression de la longueur d'une perpendiculaire abaissée sur une droite donnée, par un point donné, Expressions du sinus, du cosinus et de la tangente de l'angle que deux droites font entre elles, Équation générale du cercle, que l'on obtient en plaçant l'origine des coordonnées d'une manière quelconque, Comment on détermine celui qui passe par trois points donnés, 131 Équations du cercle, les plus simples, 130 132 Problèmes qui se rapportent à des lignes droites, comprenant ceux des pages 57 et 110, 133 Équations qui donnent la relation qui existe entre les angles et les côtés d'un triangle, page 138 Expression de la surface d'un triangle, au moyen des coordonnées des sommets de ses angles, 140 La surface d'un triangle ne dépendant nullement de sa position, par rapport aux axes des coordonnées, on trouve en effet une' autre expression qui ne dépend que des côtés, 141 Équation qui fait connaître la relation entre les côtés d'un qua drilatère et ses diagonales, 142 ibid. 145 Expression du rayon du cercle circonscrit à un triangle, Expression du rayon du cercle inscrit à un triangle, Si dans l'intérieur d'un triangle équilatéral on abaisse une perpendiculaire sur chacun des côtés de ce triangle, la somme de ces trois lignes sera égale à la hauteur, 146 En combinant les équations de la droite et du cercle, on détermine les propriétés résultantes de la rencontre de ces lignes, ibid. Application de l'équation qui résulte de cette combinaison à la recherche de plusieurs théorèmes de géométrie, Détermination analytique des tangentes menées au cercle par un point extérieur, et par un point de sa circonférence, Comment on trouve la position que doit avoir une ligne menée par un point donné, pour que sa partie comprise dans un cercle donné, soit aussi donnée, Équation générale des courbes du second degré, Leurs diamètres, 148 150 152 154 156 Simplification de l'équation quand on la rapporte à ces lignes, ibid. Examen des valeurs que peut prendre l'expression générale des ordonnées dans le cas où la quantité m est positive, 157 Ce que c'est que le centre de la courbe, 159 Construction et forme de la courbe relative à ce cas, 160 161 Quand la courbe se réduit à deux droites, qui sont en général ses asymptotes, Examen du cas où m = 0, Forme et construction de la courbe, 164 166 167 Rapprochement des équations des trois courbes reconnues précédemment la première se nomme ellipse, la seconde hyperbole, et la troisième parabole, ibid. Examen du cas dans lequel les quarrés des coordonnées manquent tous deux dans l'équation, ibid. Ce que sont les diamètres conjugués, Transformation des coordonnées d'une courbe, page 168 172 Application de cette transformation à l'équation générale du second degré, pour la ramener aux axes des courbes qu'elle représente, 178 Première transformée, 180 Détermination de ses coefficiens et des cas qu'elle embrasse, 181 Deuxième transformée, comprenant l'autre cas de l'équation générale, 183 Ces deux transformées ne donnent que les trois formes déjà remarquées (page 156); la première transformée comprend l'ellipse, dont le cercle est un cas particulier, et l'hyperbole, rapportées à leurs axes, 185 Ce qu'on entend par le second axe et l'axe transverse, dans l'hyperbole, Ce que c'est que l'hyperbole équilatère, La seconde transformée convient à la parabole, 187 ibid. ibid. 188 ibid. 188 La parabole n'en a qu'un et n'a point de centre, Application des transformations précédentes, par laquelle on reconnaît que l'équation du second degré où les quarrés des coordonnées manquent tous deux, appartient à une hyperbole dont on détermine les axes, de grandeur et de position, 189 Équation à trois termes dans laquelle la parabole se trouve aussi comprise et rapportée à son axe, Trouver l'équation d'une courbe telle que si l'on mène de chacun de ses points à deux points fixes, ou foyers, des droites, la somme de ces lignes soit constamment égale à une ligne donnée, 190 Cette courbe est l'ellipse; sa construction par points, et moyen mécanique pour la décrire par un mouvement continu, Ce que c'est que l'excentricité, Autre construction de l'ellipse par points, 193 ibid. 194 Trouver l'équation de la courbe dans laquelle la différence des lignes menées aux foyers, est égale à une ligne donnée, ibid. Cette courbe est l'hyperbole; sa construction par points, et moyen mécanique pour la décrire, 195 Trouver l'équation d'une courbe telle que chacun de ses points soit autant éloigné d'une droite donnée de position, que d'un point fixe ou foyer aussi donné de position, 196 197 Cette courbe est la parabole: sa construction par points et sa description par un mouvement continu, Problème général qui conduit successivement à chacune des courbes du second degré, rapportées à leur directrice, Équations des courbes du second degré, rapportées au paramètre, 199 ibid. Dans l'ellipse et l'hyperbole, le paramètre est une troisième proportionnelle aux deux axes, et il est aussi la double ordonnée menée par le foyer, page 201 ibid. Dans l'ellipse et l'hyperbole, les quarrés des ordonnées sont entre eux comme les produits des abscisses correspondantes, et dans la parabole, comme les abscisses correspondantes, Application de la transformation des coordonnées à la recherche des diamètres conjugués, 203 Un diamètre quelconque étant donné, trouver la position de son conjugué, 207 212 La somme des quarrés des demi-diamètres conjugués dans l'ellipse, ou leur différence dans l'hyperbole, est égale à la somme des quarrés des demi-axes, ou à leur différence, Les parallelogrammes circonscrits à l'ellipse ou inscrits entre les deux parties opposées de l'hyperbole, sont tous égaux au rectangle des axes, 214 Équations qui font trouver les demi-axes, lorsqu'on connaît les demi-diamètres conjugués et l'angle qu'ils forment, ibid. Tout système de lignes propre à déterminer les points d'une courbe, peut en fournir une équation caractéristique, Exemple tiré de l'ellipse, 215 ibid. Equations polaires de cette courbe, de l'hyperbole et de la parabole, Equation polaire qui les comprend toutes trois, ibid. 217 218 Démonstration de l'identité des courbes du second degré avec les sections faites dans un cône par un plan, et ce qu'on entend par la section anti-parallèle, Détermination des lignes droites qui coupent ou qui touchent les courbes du second degré, 224 Expression de la tangente de l'angle que doit faire avec l'axe des abscisses une droite, pour toucher une courbe du second degré, 226 Expressions de la soutangente dans chacune des courbes du second degré, Dans la parabole, la soutangente est double de l'abscisse, 228 ibid. 229 Expressions des normales et sounormales pour toutes les courbes, ibid. Expressions des soutangentes, tangentes, sounormales et normales, particulières aux courbes du second degré, 230 Détermination synthétique des tangentes aux courbes du second degré, 231 Relation des angles que la tangente forme avec les deux rayons vecteurs, dans l'ellipse et l'hyperbole, et avec le rayon vecteur et une parallèle à l'axe, dans la parabole, 232 Chaque branche de l'hyperbole demeure toujours renfermée entre les côtés d'un certain angle, sans jamais pouvoir les atteindre, page 233 235 Note. Cette équation se déduit aussi de l'équation générale du second degré, par la transformation des coordonnées, Ce que c'est que la puissance de l'hyperbole, Équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes, ibid. 237 Si on mène une droite quelconque par un point de l'hyperbole, les parties de cette droite, interceptées entre chaque branche de la courbe et son asymptote, sont égales entre elles, ibid. Construction de l'hyperbole, par points, lorsqu'on en a les asynptotes et un point, Des hyperboles conjuguées. 238 ibid. Du nombre de points qu'il faut pour déterminer d'espèce, de grandeur et de position, une courbe du second degré, 239 De la construction des équations des degrés supérieurs, par les courbes, Application au quatrième degré, de la trisection de l'angle, 240 ibid. 243 244 Méthode générale pour construire les équations d'un degré quelconque, et qui représente les divers principes sur lesquels repose la résolution numérique des équations, 246 Note. Une expression fractionnaire peut changer de signe, en passant par l'infini, aussi bien qu'en passant par zéro, 249 Comment la construction graphique peut éclaircir et faciliter cette résolution, APPENDICE 250 Contenant les premiers principes de l'application de l'Algèbre aux surfaces courbes et aux courbes à double courbure. Équations du plan et de la ligne droite. 251 Désignation des huit angles trièdres formés par les plans coordonnés, au moyen des signes et Équations de la ligne droite, Équation du plan qui passe par trois points donnés, 252 254 256 257 258 Comment on reconnaît que deux droites sont dans un même plan, 259 |