Soient maintenant n I points dans l'espace, et an-1 le nombre des droites d'intersection deux à deux des plans déterminés par trois quelconques de ces n I points, et ne passant par aucun d'entre eux. Ajoutons un nième point m; en lui associant deux points a et b pris parmi les premiers, nous avons un nouveau plan mab coupant suivant une droite, ne passant par aucun de ces n points, chacun des plans précédents qui ne contiennent ni a, ni b. Ceux ci sont au nombre de

manières différentes de déterminer le plan passant par m et deux des n — premiers points, nous construisons

I

droites nouvelles; et si l'on considère les droites d'intersection de tous les plans déterminés par trois points quelconques, pris parmi n points donnés, droites ne passant par aucun de ces points, leur nombre est

L'on voit aisément que x = o, car deux plans quelconques déterminés par 3 des 5 points, ont toujours en commun l'un de ces points, par lequel passe leur intersection. En ajoutant membre à membre, il vient

n = [1.2.3.4.5+. + ( n − 5 ) ( n − 4 ) ( n −− 3 ) ( n − 2 ) ( n − 1) ], 3.j

ou, en appliquant la même formule de sommation que ci-dessus

= Xn

− 1 ) ( n − 2) ( n − 3 ) ( n

— u) u = = =

-

− 4 ) ( n − 5) = 10C%.

On peut chercher, par la même méthode, le nombre des droites d'intersection de ces plans qui passent par l'un des points donnés, et un seul, a. Soit - ce nombre lorsqu'on se donne n-1 points, de telle sorte qu'il En-1 y a en tout (n-1), droites d'intersection qui passent chacune

par

un des points donnés. Ajoutons un nième point m, et soit mab un des nouveaux plans obtenus. Il coupe suivant une telle droite, passant par a, le plan aed qui contient 3 des n-1 premiers points, parmi lesquels a, mais non pas b. Il y a autant de plans tels que acd, que de combinaisons 2 à 2 de n - 3 lettres, puisqu'on les obtient en combinant à a deux 3 points qui restent en retranchant a et b des n

des n

(n

donnés tout d'abord; leur nombre est donc C-3

1 points 3) (n — 4).

2

Or, il y a n 2 plans différents, tels que mab passant par ma et un des n 2 points restants; si est le nombre des droites étudiées, passant par a, lorsqu'on donne n points, on a done

et le nombre total des droites d'intersection passant chacune par un des n points donnés est

Cette valeur peut être trouvée directement par un procédé tout à fait simple que j'indique ici. Étant donnés les n points, un plan abc coupe suivant une droite passant par a seulement un autre plan ade; il y a C2-3 plans tels que ade lorsque abc est choisi. Mais il y a C2, manières différentes de choisir le plan abc, le point a étant fixé; et il est évident que les droites d'intersection passant par a seront ainsi obtenues deux fois. En répétant cette opération pour chacun des n points donnés, comme pour a, l'on voit que le nombre des droites d'intersection passant chacune par un des points donnés est

Quant au nombre des droites d'intersection des plans, passant chacune par deux des points donnés, c'est C

n(n

2

Dans la Note précitée, j'avais également résolu la question suivante : trouver le nombre des points communs aux différents groupes de 3 plans déterminés par les n points (sommets des trièdres formés). La méthode récurrente peut encore être utilisée, mais l'analyse du problème est sensiblement plus compliquée, et ne paraît pas préférable à celle que j'avais employée.

M. DUREL.

Tunis.

PROPRIÉTÉS NOUVELLES DU QUADRILATÈRE INSCRIPTIBLE.

24 Mars.

513.15

Définition. Pour abréger le langage, j'appelle anticentre d'un quadrilatère inscriptible ABCD, le point symétrique du centre O du cercle circonscrit par rapport au milieu I de la

droite MN, qui joint les milieux des deux diagonales.

D

M

N

B

II. L'anticentre est l'orthocentre du triangle MNS qui a pour base la droite MN et pour sommet le point d'intersection S des deux diagonales.

THEORÈME II. Les droites qui joignent chaque sommet à l'orthocentre du triangle formé par les trois autres sommets passent par l'anticentre.

THÉORÈME III. - Les droites de Simpson de chaque sommet relatives au triangle formé par les trois autres sommets passent par l'anticentre.

THEOREME IV. - Les axes radicaux des deux groupes de cercles qui ont pour diamètres deux côtés opposés du quadrilatère, passent par l'anticentre. Corollaire. L'axe radical des cercles qui ont pour diamètres les diagonales, passent par l'anticentre.

THÉORÈME V. Les cercles des neuf points des quatre triangles formés par trois sommets du quadrilatère, passent par l'anticentre.

M. BALITRAND.

Ingénieur civil des Mines, Tunis.

RÉPONSE A LA COMMUNICATION PRÉCÉDENTE DE M. DUREL
SUR L'ANTICENTRE.

26 Mars.

513.15

Voici une démonstration des propriétés énoncées par M. Durel. Nous appellerons a, b, c, d, les milieux des côtés AB, BC, CD, DA; et Hd, He, Hb, Ha, les centres des hauteurs des triangles ABC, ABD,

ACD, BCD. Le point I est le centre de gravité du quadrilatère ABCD. Par suite les droites ac, bd, qui joignent les milieux des côtés opposés, passent par ce point et s'y coupent en leur milieu. Donc la figure Obd est un parallelogramme et, de même, la figure OMN. Les triangles IOb, Iod sont égaux, et les droites Ob et do sont parallèles.

Donc Les perpendiculaires menées du milieu de chaque côté sur le côté opposé passent par l'anticentre.

La figure OMN étant un parallelogramme, on voit aussi que: Les perpendiculaires menées du milieu de chaque diagonale sur l'autre diagonale passent par l'anticentre.

Ou si l'on veut : Que l'anticentre est l'orthocentre du triangle MNS qui

a pour base la droite MN et pour sommet le point d'intersection S des diagonales.

Appelons z le pied sur BC de la hauteur AH et A, le point où elle coupe le cercle circonscrit. On a Haz A,. On aurait de même. HD1, et par suite, la droite Ha Ha est égale et parallèle à AD. La figure ADHa Ha est un parallelogramme dont les diagonales se coupent en . En effet, la droite do est parallèle à AH et passe par le milieu de DHd.

Done: Les droites qui joignent chaque sommet à l'orthocentre du triangle formé par les trois autres sommets, passent par l'anticentre.

On peut ajouter que les quatre droites ainsi obtenues se coupent en ce point en leur milieu; ou si l'on veut : Que les quadrilatères ABCD et Ha Hp He Ha sont égaux et inversement homothétiques; le centre d'homothétie étant l'anticentre.

On sait que la droite de Simpson du point D par rapport au triangle ABC, passe par le milieu de la droite DHa; c'est-à-dire par le point .

Done Les droites de Simpson de chaque sommet relatives aux trois autres sommets passent par l'anticentre.

La puissance du point par rapport au cercle décrit sur AD comme diamètre, a pour expression

Par rapport au cercle décrit sur BC comme diamètre, elle a pour Bb3. Or, en désignant par R le rayon du cercle cir

expression Od

Donc Les axes radicaux des deux groupes de cercles qui ont pour diamètres deux côtés opposés du quadrilatère, passent par l'anticentre.

On démontrerait de même que L'axe radical des cercles qui ont pour diamètres les diagonales passent par l'anticentre.

Désignons par a, le milieu de AHa. Le cercle des neuf points du triangle ABC a pour diamètre ba. La droite, est égale et parallèle à A d, c'est-à-dire qu'elle est perpendiculaire à Od ou, ce qui revient au même, à ob. L'angle boz, est droit, et le cercle des neufs points de ABC passe en 6.

Donc : Les cercles des neuf points des quatre triangles formés par trois sommets du quadrilatère, passent par l'anticentre.

On peut ajouter que le point est le centre de l'hyperbole équilatère qui passe par les points ABCD, hyperbole qui passe également par les points Ha, H, He, Hd.