où les taux correspondent aux groupes 25-34, 35-44, 45-54,′ 55-64; on fera dans l'équation précédente (*), x = (30, 40, 50, 60).

Désignons par Sa le nombre des têtes observées à l'âge x par på et qx, les probabilités de vie et de décès, et multiplions les quatre équations respectivement par

les quantités S30, Sio, São, S60, étant prises égales respectivement à

Par ce procédé, on tiendra compte d'une façon approchée du poids. des observations et l'on évitera en partie les phénomènes d'attraction aux âges ronds. On sera ramené à traiter un système de la forme

h; y;= ah;u;+bh;v; +ch; wi

dans lequel on rendra minimum la somme des carrés des erreurs.

(*) Voir Thèse pour l'obtention du titre de membre agrégé de l'Institut des Actuaires. Voir aussi la belle étude de M. Carvallo sur la méthode de Cauchy dans l'a Influence du terme de dispersion de Briot sur les lois de la double réfraction »>. Voir le Traité de Radau sur l'interpolation.

On obtient ainsi pour les coefficients les valeurs suivantes :

A l'aide des valeurs a, b et c fournies par la méthode de Cauchy et
aussi par celle de Gauss, on formera les quantités

( a + bx + c x2) logoe ou log(7x-3′).

19

On passera ensuite des logarithmes calculés aux nombres, et l'on ajou-
tera à chacun d'eux ;'on aura ainsi les valeurs de %. Les résultats
trouvés sont reproduits dans le Tableau ci-après, où l'on a fait figurer
aussi les taux de mortalité des personnes de sexe masculin de la popula-
tion totale de la France.

en

On a admis implicitement que l'on pouvait faire une extrapolation
deçà de 25 ans et au delà de 65 ans.

On constate ainsi que sur 100 000 ouvriers ayant débuté à 15 ans, et
travaillé uniquement dans les mines de combustibles et autres mines.
il n'en reste plus à 85 ans, alors que sur 100 000 personnes de 15 ans
appartenant à la population totale, on en compte encore 4060 environ
à l'âge de 85 ans. Si ces 100 000 personnes de 15 ans étaient sélectionnées
comme le sont les assurés de la Caisse nationale des retraites pour la
vieillesse, il en survivrait 7060 à 85 ans.

OBSERVATIONS. -a. Cette simple étude montre la nécessité de l'éta-
blissement de Tables de mortalité professionnelle; elle donne de plus
les moyens pratiques de conduire à bien une semblable opération, à
condition toutefois de compter un assez grand nombre d'expériences.

b. Si l'on avait pu observer les décès pendant une période de 1906-x,
1906+x, encadrant le recensement et aussi tenir compte des phéno-
mènes d'immigration et d'émigration parmi les ouvriers mineurs, on
aurait été en mesure de bâtir une Table ayant une valeur indiscutable
au point de vue actuariel; on a essayé ici d'obvier aux éléments man-
quants, et d'utiliser de la meilleure façon les documents statistiques
fournis.

c. On aurait pu remplacer à partir de 65 ans le coefficient ẞ' par celui
qui représente le nombre de morts accidentelles et de suicides pour
10 000 personnes de la population totale masculine; il est vrai que les
taux de mortalité Z66, Z67, ... n'auraient été ainsi diminués que de 8

TABLE PROVISOIRE DE MORTALITÉ DES OUVRIERS MINEURS.
(Mines de combustibles minéraux et autres mines.)

TAUX INSTANTANÉS

de mortalité

pour 1000

TAUX annuel

(1).

(1).

(2).

la France (3).

(1) Taux calculés à l'aide de la méthode de Cauchy. (2) Taux calculés à l'aide de la méthode de Gauss.

(3) Table de mortalité de la population française (sexe masculin), d'après, les résultats du recensement du 24 mars 1901, combinés avec les relevés de l'État civil, de 1898 à 1903. (Voir Annuaire statistique, 1905, p. 32, Tableau IV, et t. IV Résultats statistiques du recensement de la population française, 24 mars 1901).

9

à 10000 au maximum. Comme on ne pouvait faire état des chiffres correspondant aux groupements 65-69, 70 ans et plus, on a jugé plus simple de conserver au coefficient ẞ' la même valeur pour tous les âges; on peut d'ailleurs ajouter que cette rectification n'aurait pas apporté une grande perturbation dans l'allure de la courbe des vivants.

d. Si la somme des valeurs de ▲'y est très faible, par contre on constate que certains résidus ont une valeur appréciable; cela tient à ce que le nombre des expériences n'était point suffisant.

M. RENÉ RISSER.

(Paris).

APPLICATION DE L'ÉQUATION DE VOLTERRA A DIVERS PROBLÈMES
D'ASSURANCES SUR LA VIE.

368.3 (01)

26 Mars.

I.

Le problème des Tables par âges à l'entrée des rentiers, qui a attiré depuis un certain nombre d'années l'attention des actuaires peut être traité analytiquement; il se rattache en effet à la résolution de l'équation de première espèce de Volterra

(1)

୮

N(x, s) 4 (s) ds = F(x);

il en est de même du problème des Tables par âges à l'entrée dans l'assurance invalidité.

Le problème de Volterra qui est lié à la résolution des équations différentielles à coefficients constants ou non constants d'ordre fini ou infini, trouve aussi son application dans une question classique de la répartition par âges dans les milieux à effectif constant, en supposant que la loi de survie soit une loi de survie généralisée; cette dernière question se traite facilement en ayant recours à l'équation de Volterra de seconde espèce

J'ajoute enfin que l'étude approfondie du problème de l'interpolation, qui est d'un si grand intérêt pour les actuaires et les statisticiens conduit

On voit donc que les remarquables recherches de Volterra et de Fredholm peuvent être utilisées dans le domaine particulier de l'actuariat.

Première méthode. M. Poterin du Motel, dans un travail fort intéressant (Usage et ajustement des Tables de mortalité par âges à l'entrée, paru en 1893), a pour la première fois mis en lumière une fonction interpolatrice. Nous désignerons avec lui par x l'âge actuel d'un assuré du groupe, y l'âge à l'entrée des membres de ce groupe et par v le nombre des survivants

Le taux instantané de mortalité t à l'âge x de l'un des membres du groupe est fourni par la relation

Se basant sur ce que les expériences faites sur différentes Tables de mortalité ont montré que la formule de Makeham les interpole d'une façon presque toujours satisfaisante, M. Poterin du Motel a été amené à tenter l'application de cette même formule aux Tables de mortalité des rentiers par âges à l'entrée; il a représenté la loi de mortalité des têtes entrées à l'âge y par les formules ci-dessous

Les coefficients qui interviennent dans ces formules seront des fonctions de l'âge à l'entrée y; certains même pourront se réduire à des constantes. M. Poterin du Motel est amené à prendre pour la valeur l'expression suivante :

de

en se guidant sur la manière même dont se comporte dans la pratique, la courbe représentative f (x, y) correspondant à la valeur x = x。.