Il me semble intéressant maintenant de donner la forme du développement en série de (X) quand la fonction de survie est du type général (7) e^+Bx+£e'i*f*) indiqué par M. Quiquet.

On aura recours à cet effet à la méthode des approximations successives de M. Picard. Si l'on écrit sous la forme

q(x) = ¢o(x) + λ. 91 ( x) + ... + d ” în ( x ) + ...
4o +.

et si l'on porte cette valeur de ❤ dans l'équation (3), on trouve après introduction du facteur 2 devant l'intégrale.

d'où l'on déduit en égalant les coefficients des puissances successives de 7.

si K est le module maximum de l' (X), on voit facilement que

la solution est donc représentée par une série absolument convergente. Il est évident que la même méthode pourrait être appliquée si l'on se donnait la forme de et si l'on voulait calculer 7(X); j'ai eu dans une autre circonstance l'occasion d'étudier cette question.

(7)

Observation. On peut remplacer la fonction de survie (7)

eA+Bx+Σef (x

par une série d'exponentielles et l'on peut arrêter le développement à un terme d'ordre n, de telle façon que la différence entre la fonction et la série d'exponentielles soit plus petite que & dans le champ choisi.

On voit donc qu'on est ramené à remplacer 1(X) par ΣA¡e et

1

par suite à résoudre une équation fonctionnelle d'un type étudié ici; est alors représentée par la solution générale d'une équation différentielle à coefficients constants d'ordre (n − 1).

Si l'on fait croitre n indéfiniment, c'est-à-dire si l'on remplace l (X par une série, qui, soit uniformément convergente dans l'intervalle d'âges considéré, on est amené à résoudre une équation du type de Volterra, analogue à l'équation (9)

et qui correspond alors dans ce cas, et à la limite à une équation différentielle à coefficients constants d'ordre infini.

On peut donc dire que toutes les fois qua la loi de survie 1 (X) est du type(7), la loi ọ sera aussi de ce type et inversement.

M. LE COMMANDANT E. LITRE.

(Toulouse).

PENDULE DE FOUCAULT (Fin).

LES AMPLITUDES. LES RÉALISATIONS PRATIQUES.

27 Mars.

32.536

1. L'amplitude des battements du pendule de Foucault se réduit rapidement les mouvements d'oscillation, d'abord très nets, finissent par devenir indistincts et, sans s'arrêter complètement, paraissent, à une certaine limite, s'abandonner à toutes sortes d'influences adventives et secondaires; cette limite arrive tôt.

Au Panthéon, le pendule oscillait de 5 à 6 heures, et c'est la plus longue durée que l'on ait signalee, A Genève, le pendule du général Dufour (*) oscillait un peu plus de 3 heures; mais après 2 heures 30 minutes,

(*) Données de ce pendule : longueur 20 m, boulet en plomb de 12 kg et de 0,126 m de diamètre, amplitude maximum 3,25 m.

l'amplitude n'était plus que de 0,60 m. Ces deux cas, l'un et l'autre bien observés, comprennent entre eux la plupart des dispositifs adoptés de divers côtés, et nous fourniront d'utiles termes de comparaison.

2: Résistance de l'air. La réduction des amplitudes est, depuis l'origine, attribuée uniquement à la résistance de l'air. On peut assez aisément calculer cette résistance: la forme sphérique donnée aux pendules s'y prête. On sait que, pour les projectiles de cette forme, la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, tout autant que celle-ci est notablement inférieure à la vitesse de propagation du son. Newton, expérimentant sur des globes de 0,133 m, tombant librement, et ayant des vitesses comprises entre om et 9 m, avait reconnu la même loi. Nos pendules ont des vitesses inférieures à 1 m par seconde : c'est donc bien la loi du carré qui leur est applicable.

I étant l'accélération retardatrice due à la résistance de l'air, on a

coefficient qui varie, mais très faiblement, avec le calibre et encore quand il s'agit de vitesses sensibles; le poids P s'exprime en kilogrammes, I, R et V en mètres. On déduit

Et le temps la nécessaire pour que la vitesse v devienne la fraction

Le boulet de 12 kg en fonte (anciennement dit boulet de 24 livres) est précisément le projectile type sur lequel ont porté les très nombreuses expériences de l'Artillerie tendant à déterminer le coefficient de la résistance de l'air. On a pour ce projectile, aux très petites vitesses, condition qui réduit la formule générale (*), à son premier terme,

La vitesse initiale v, est donnée par le rapport de l'amplitude initiale E。 à la durée du battement. Elle est ici 0,727, dont l'inverse est 1,38. La durée des battements d'un pendule demeurant constante, le rapport

(*) Formule du général Didion. Newton employait le coefficient o,33, reconnu généralement trop fort. Mais, même avec le coefficient 0,33, le sens de nos conclusions ne serait pas modifié.

des vitesses successives entre elles est le même que celui des amplitudes correspondantes.

Le temps nécessaire pour que la résistance de l'air réduise l'amplitude de 3,25 à 0,60, soit n

=

5,4 est

15,4= 2750 × 1,38 × 4,4 = 16698 s = 278 m = 4 h, 38 m.

=

Pour le boulet en plomb de Genève, le diamètre était 0,124 au lieu de 0,145 les carrés de ces valeurs sont dans le rapport de 159 à 210; d'où K = 3633 et ts, devient 22060 s 6 h,7 367 m 403 s = m 40 s C'est bien plus que les 2 heures 30 minutes, qui ont été observées, un peu plus que le double de cette durée.

4

P
R2

Dans le cas du Panthéon, la fraction. est les 1,50 de la même frac

tion pour le boulet de 24, et k devient 4125; la vitesse, est 0,73, dont l'inverse est 1,37. Il semble que les oscillations aient été moins nettes à partir de l'amplitude 0,60 (*) : prenons n = 10, ce qui sûrement est un minimum

t10 4125 × 1,37 × 9 = 50860 s = 848 m = 16 h, 8 m.

C'est environ le triple du temps relevé dans l'expérience.

Le rapprochement des deux résultats montre d'abord que la résistance de l'air est insuffisante pour expliquer la réduction des amplitudes, et de plus, qu'il n'y a pas corrélation entre cette réduction et la valeur de la résistance selon les cas.

Il y a donc à la rapidité de chute des amplitudes une autre cause. Et cette cause, que l'on ne pouvait apercevoir avant de posséder une théorie exacte du pendule, n'est autre que la giration.

3. Influence de la giration sur l'amplitude. A chaque battement le plan de lancement du pendule possède une orientation déterminée, et à cette orientation correspond pour le battement une ellipse trajectoire dont la forme et la position sont également déterminées. D'une oscillation à l'autre une variation se produit dans cette forme et cette position.

La variation est, d'ailleurs, discontinue, s'interrompant à chaque battement, puisque l'on passe alternativement des conditions d'un battement pair à celles d'un battement impair, ou inversement; et la série des ellipses afférentes aux battements de l'une des espèces présentera soit des lacunes, soit des duplicatures, selon que dans les battements de l'autre espèce la giration s'exerce dans le même sens ou en sens contraire. Lacunes ou duplicatures sont, d'ailleurs, variables selon l'orientation où elles se produisent.

(*) Cette impression résulte des termes mêmes dont se sert Foucault en parlant de l'amplitude de 0,60; mais il ne limite pas la durée d'oscillation à cette amplitude.

Mais la durée

d'un battement, dont la plus longue connue est de 8,2 s, est assez courte pour que l'on puisse considérer l'ellipse-trajectoire comme ayant une forme unique, corrélative de l'oscillation que l'on envisage. Les expériences des pendules enregistreurs montrent même que la déformation demeure insensible durant plusieurs minutes. Dans l'intervalle de temps que dure un battement, il n'y aura donc à tenir compte que de la variation de position de cette ellipse, laquelle a sa loi propre; et pendant le même temps la giration imprime au pendule un déplacement sur cette même ellipse, déplacement qui a une loi différente. L'une et l'autre variation peuvent s'estimer par les angles décrits sur le plan horizontal, autour de la verticale, d'une part par la corde qui sous-tend l'arc de trajectoire décrit par le pendule, de l'autre par le diamètre joignant le pied de la verticale au centre de l'ellipse. Ces angles diffèrent entre eux, sauf en une position singulière.

En défalquant le second du premier, il en résulte pour la corde une variation supplémentaire, laquelle pourra être positive ou négative : et tout se passe comme si la corde subissait cette variation supplémentaire dans une ellipse fixe. Cette variation, quel que soit son sens, a toujours pour effet de réduire l'amplitude.

4. Soit, figure 1, pour un battement donné AGB l'ellipse décrite sur le plan horizontal, EW la corde du battement, V l'aplomb de la verticale. Si le pendule n'était soumis qu'à l'action de la pesanteur, partant du point mort E, il s'abaisserait jusqu'à l'aplomb de V, puis remonterait, en vertu de la vitesse acquise, jusqu'à une hauteur égale à celle dont il est parti: W étant le point où il rencontre de nouveau le plan horizontal on a (en faisant abstraction de la résistance de l'air)

V.W =
= EV.

La composition avec le mouvement diurne adjoint, à chaque instant, au mouvement pendulaire un déplacement parallèle à l'axe d'oscillation. Le pendule se trouve ainsi décrire l'arc EDW, au lieu de la corde EW; mais le déplacement parallèle à l'axe n'apportant aucune modification au mouvement propre, les demi-cordes EV, VW conservent leurs mêmes valeurs.

Ceci rappelé, imprimons à la corde sa variation différentielle, en supposant que cette variation l'incline à droite : la demi-corde VW ne peut s'incliner ainsi, dans l'ellipse rendue fixe, sans devenir plus courte et sans raccourcir l'arc décrit, autrement dit sans que l'amplitude se réduise. Supposons au contraire un pivotement à gauche : la demi-corde VW ne peut que garder au plus la même longueur; mais la trajectoire doit passer à l'extrémité de la corde, et la forme étant imposée par la position, l'ellipse doit donc se réduire dans tous ses éléments, homothétiquement au point V. Cela revient à supposer abaissé le plan de cette ellipse, c'est