teurs des nombres composés dans les mêmes limites, mais je ne veux pas publier ces Tables qui feraient double emploi avec celles de M. Ern. LEBON. J'éditerai seulement par millions, à partir de 1914, les nombres premiers des 11o, 12o, ... millions. Les chercheurs n'auront qu'à lire, sans aucun calcul préliminaire. Tout nombre qui ne sera pas dans ma Table sera composé.

Pour faire ces calculs moi-même, ou pour les mettre dès aujourd'hui à la portée de tous, au moins jusqu'a 200 000 000, il suffit d'utiliser ma Table fondamentale du million dont voici un spécimen :

En manuscrit, je possède ces Tables, qui permettent tous les calculs jusqu'à 177 132 479, et il me suffirait de quelques jours pour le pousser à 200 millions, et d'un mois au plus pour atteindre le milliard. La colonne des modules donnera déjà, pour les mathématiciens qui ne la possèdent pas, la liste complète des nombres premiers, au moins jusqu'à 13 300. De plus, sans aucun calcul, la Table fondamentale du million constitue une Table complète de factorisation du deuxième million; le tout tiendra dans une feuille d'impression. Ainsi nous lisons, en face de module = 4567, N=173; ceci prouve que

La véritable raison d'être de cette Table est, pour moi, la suivante : soit un module 4787 et le nombre 483, qui lui est adjoint. Cherchons le plus petit nombre impair du 101 million divisible par 4787. C'est 100 005 217; en effet, il faut multiplier 483 par 100 (ici) et chercher le plus petit nombre impair, résidu module 4787; en divisant 48 300 par 4787; on trouve 5217. C'est la première case noire de la bande périodique de module 4787, si l'on veut trouver les nombres premiers du 101 million, sans chercher les nombres premiers des cent premiers millions. C'est le travail que DAVIS avait commencé en 1866..., mais il s'est vite essoufflé.

Pour ce travail précis, il nous suffirait de dix bandes sommes de mille et des quatre bandes modulaires périodiques 10 007, 10 009, 100 37

et 10 039, soit quatorze bandes, qui nous permettraient même, suivant ma remarque, d'aller (condition nécessaire et suffisante) jusqu'à 101 344 487. J'appelle bande somme du premier mille une bande périodique représentant par colonne la somme des cases des modules premiers inférieurs à mille; il est évident que la somme de h cases blanches est blanche, et que l'adjonction d'une ou plusieurs cases noires donne une case noire.

Cette première brochure contient donc déjà des résultats et constitue de plus un important instrument de travail, puisque, au lieu de mettre comme M. KRAITCHIK, cinq années (à travail non continu) pour établir en manuscrit les nombres premiers de 9 millions à 10 008 000, il me suffirait en moyenne de trois mois pour établir cette liste ou celle d'un million quelconque, et pour y adjoindre diverses Tables utiles nombres premiersh1, nombre des premiers par centaine, mille, etc., groupes. de nombres composés consécutifs, fréquence, etc. M. MALO m'a, depuis 1906, fait remarquer l'utilité de la factorisation d'un million assez éloigné.

Je pense en avoir assez dit sur ce sujet déjà si étudié, et dont l'utilité est incontestable. J'annonce l'apparition de ma Table fondamentale du million pour décembre 1913, et la Table des nombres premiers du onzième million pour le Congrès de l'A. F. A. S., au Havre (août 1914).

M. A. AUBRY.

Dijon.

NOTICE SUR L'ARITHMETICIEN FRENICLE.

27 Mars.

92 [Frenicle de Bessy (Bernard)] 51

Bernard Frenicle de Bessy (1602-1675) a droit à la considération des mathématiciens, surtout comme ayant amené Fermat à s'occuper de certaines questions d'arithmétique où il a obtenu de si beaux triomphes. Les écrits de Frenicle, difficiles à lire, même de ses contemporains, furent toujours peu lus, et cependant outre l'émulation qu il a produite chez Fermat, on doit le reconnaître comme l'auteur de diverses considérations qui font de lui, sinon l'inventeur, du moins le promoteur d'une nouvelle branche de la Science, la théorie des nombres.

Il a en effet compris le premier, à l'époque où les travaux des Indiens et de Fibonacci étaient inconnus et ceux des Italiens à peine connus,

qu'il y avait à rapprocher, étendre et généraliser une foule de théorèmes et de problèmes arithmétiques épars et sans liens apparents entre eux : il a ainsi abordé la théorie générale des nombres parfaits, à laquelle il a apporté d'importantes contributions, et il en a tiré de nouveaux résultats jusqu'alors insoupçonnés: il a montré, par son fameux énoncé relatif aux nombres dits de Mersenne (*), qu'il possédait de puissants moyens d'investigation dans le domaine numérique, notamment dans la recherche des diviseurs des grands nombres, recherche dont les premiers aperçus lui sont dus; il a envisagé, d'une manière générale, la considération des formes linéaires ou quadratiques des nombres et la recherche systématique des propriétés qu'ils doivent avoir selon la forme qu'ils peuvent prendre : il a même donné une monographie de la théorie des nombres en triangle (rectangle), c'est-à-dire de ceux qui sont soumis à la loi représentée par la relation algébrique x2 + y2 = z2; — on lui doit une féconde théorie fort utile dans l'analyse indéterminée, celle qu'il a appelée exclusion et qu'ont beaucoup étendue Fermat et Euler; il a le premier compris l'intérêt des théorèmes négatifs, ainsi que l'utilité de la recherche des cas d'impossibilité des problèmes indéterminés et du dénombrement des solutions quand elles existent, par exemple sur la question des carrés magiques, où il a trouvé de nouvelles voies qui ont suggéré à Fermat de nouvelles généralisations; enfin il semble avoir, avant Fermat, au moins entrevu la méthode de la descente et diverses propositions négatives, telles que celle de l'impossibilité de la surface d'un triangle d'être un carré.

Il faut reconnaitre qu'il ne donne guère que des problèmes et autant dire pas de démonstrations suffisantes de ses théorèmes, même dans ses écrits didactiques, ce qui empêche d'être assuré, sinon de la valeur, du moins de la généralité de ses méthodes: pur arithméticien, son dédain de l'algèbre spécieuse ne lui a pas permis d'exprimer ses idées aussi complètement qu'il l'eût fallu pour qu'elles puissent servir de point de départ aux nouvelles théories et même pour qu'il puisse en tirer tout le parti qu'elles comportaient. Mais Fermat, moins réfractaire à l'emploi des transformations algébriques et d'ailleurs encore autrement doué, comme aptitude aux combinaisons numériques, eut, tôt fait de remonter des résultats communiqués par Frenicle aux principes dont ils émanaient.

Deux sources peuvent être attribuées au mouvement arithmétique qui s'est produit dans la première moitié du XVIIe siècle, et s'est continué si magnifiquement jusqu'à nos jours : les Eléments d'Euclide ou arithmétique proprement dite, et les Arithmétiques, de Diophante, ou théorie des formes. Ces deux théories en étaient restées à peu près en l'état où les avaient laissés ces deux immortels auteurs, dont le second était même seulement connu des érudits, quand Bachet s'avisa d'en publier une traduction latine (1620) dont il facilita l'introduction sur la scène

(*) Voir la fin de la présente Notice.

mathématique par la publication de ses fameux Problèmes plaisants et délectables (1624), lesquels vulgarisaient en un petit volume bien des choses inconnues parce qu'il fallait les chercher dans de volumineux. in-folio, d'ailleurs introuvables. Le succès des deux ouvrages de Bachet amena la mode des recherches arithmétiques, où se distinguèrent différents amateurs mis en communication par Mersenne; les noms de quelques-uns sont connus Frenicle, André Jumeau (Sainte-Croix), de Saint-Martin et Fermat (*). Il est incontestable qu'il devinrent fort habiles dans les questions numériques, bien qu'on ne connaisse pas beaucoup leurs travaux.

Il n'est guère possible de classer chronologiquement les recherches de Frenicle; à peine peut-on distinguer l'ordre de leur vulgarisation et même ce qui lui appartient en réalité. C'est en 1640 qu'il parait avoir commencé son commerce épistolaire avec Fermat; mais Descartes, Mersenne, Sainte-Croix et Saint-Martin correspondaient avec lui depuis plusieurs années, au sujet de divers problèmes diophantins dont on voit la trace dans les Œuvres de Descartes et de Fermat.

Les nombres amiables et les nombres aliquotaires s'étaient depuis quelque temps imposés à l'étude des arithméticiens, surtout à la suite de la demande de Mersenne (Harm. univ. 1634) de nombres égaux à la moitié de la somme de leurs diviseurs. Aussi, dès 1636, le même Mersenne publiait-il deux résultats de ce genre dus à Fermat et en 1639, de nouveaux résultats analogues de Descartes, de Fermat et de Frenicle. Mais en 1640, Fermat et Frenicle purent réunir leurs efforts, qui devaient être si fertiles en grandes découvertes.

Dans une lettre à Mersenne destinée à Fermat, Frenicle traite des carrés magiques à enceintes, de ceux dont certaines cases doivent rester vides, du tétraèdre et de l'hexagone magiques. Questions que Fermat, - qui étudiait les carrés magiques depuis plus de dix ans, semble avoir portées à leur plus haut point de perfection, en imaginant en outre les cubes magiques et autres généralisations.

Dans une autre lettre, Frenicle propose de trouver deux nombres parfaits de 20 et de 21 chiffres, à quoi Fermat répond que de tels nombres n'existent pas et annonce qu'il a trouvé à ce sujet plusieurs propositions qu'il a indiquées un peu plus tard. Frenicle et Sainte-Croix s'occupaient des nombres parfaits depuis longtemps déjà.

Dans une autre, Fermat admire la rapidité des méthodes de Frenicle, et trouve les siennes propres rebutantes, à cause des nombreuses divisions nécessaires dans les factorisations, ne connaissant alors que la méthode enseignée dans les livres élémentaires. Il a demandé, en vain, à plusieurs reprises à Frenicle communication de sa méthode de factorisation. Dans cette même lettre, il fait proposer par Mersenne à

(*) On pourrait ajouter Descartes, qui a montré par la solution de problèmes aliquotaires, de son aptitude aux questions numériques.

=

Frenicle des problèmes insolubles, comme de trouver un triangle dont l'aire soit un carré, de résoudre x3 + y3 z3 et x2 + y* z', avertissant Mersenne que si Frenicle l'avisait qu'il n'y avait pas de solutions inférieures à un nombre donné, c'était une preuve qu'il se servait de Tables et non de raisonnements.

C'est à Frenicle que Fermat a, peu après, fait connaître les premiers théorèmes dont il lui avait parlé et qu'il destinait à abréger le calcul des nombres parfaits, savoir si a est composé, 2-1 l'est également; si a est premier 24-1 — 1 est divisible par a et les diviseurs de 2a. I sont de la forme 2 ax+1. C'est là l'origine du théorème de Fermat.

Le théorème relatif à la forme quadratique des nombres premiers 4 + 1 et à leurs diviseurs a été trouvé par Fermat à la même époque, mais c'est à Roberval qu'il l'a signalé d'abord. Il le démontrait par la descente et le faisait servir à la factorisation des grands nombres.

Toujours en 1640, c'est à Frenicle que Fermat a fait connaitre : 1o son théorème faux que d'ailleurs Frenicle croyait vrai également, pour la démonstration duquel il avait fait un très grand nombre d'exclusions; 2o la célèbre proposition sur les propriétés du gaussien et qui porte le nom de théorème de Fermat; 3o ses théorèmes sur le nombre des solutions des équations

x2 + y2 = p2n—1 et x2 + y2 = p2n ainsi que de

(a2 + b2 )ƒ ( c2 + d2 )8 = x2 + gr2,

(p = 4+1),

d'où il tirait ses fameux problèmes de déterminer les nombres qui sont n fois hypoténuses, le plus petit nombre qui est n fois hypoténuse et le nombre de manières dont un nombre peut être la somme des cathètes d'un triangle. Frenicle y avait déjà pensé depuis plusieurs années et avait commencé par la recherche des nombres à la fois triangulaires, carrés et hexagonaux.

Dans une lettre de 1641, Frenicle dit qu'il travaille depuis longtemps aux triangles, et qu'il a remarqué qu'un nombre n'ayant que des facteurs premiers 8 est la différence des cathètes d'un triangle, que réciproquement la somme de deux cathètes est de la forme 8±1 et, en même temps, de la forme (*) x2-2 y2. Il propose en outre la résolution de x2 + y2 p, et de montrer comment il se fait que par exemple la relation 221 = 102+112= 52 + 142, entraîne cette autre 221 = = 13.17 (**).

=

(*) Les côtés d'un triangle étant, comme on sait, des formes x2- y2, 2 xy et x2+ y2, la somme ou la différence des cathètes est de la forme (x2 -- y2) ± 2xy = (x ±y)2 — 2 y2. (**) C'est là probablement le principe de sa méthode de factorisation, retrouvée par Euler et qui peut s'énoncer ainsi si n = a2 + b2 = x2 + 82, et que soit la valeur

a+a

g

de la fraction' réduite à sa plus simple expression, n est divisible par f2 + g2. Cette méthode serait ainsi celle à laquelle il est fait allusion dans les Mém. de l'Ac.