problèmes, afin d'obliger les élèves à entrer dans le sens de la question au lieu de se borner seulement à chercher, par une combinaison quelconque des nombres proposés, un résultat semblable à celui qui serait désigné pour réponse. Cette mesure diminuera le travail du maître, qui, sans être obligé d'examiner la marche que les élèves auront suivie, pourra se contenter de leur demander le résultat de leur opération, et de le confronter avec celui qu'il sait être le véritable. Il aura néanmoins l'attention d'interroger les moins capables de chaque ordre les premiers, et d'empêcher les communications réciproques. Cependant, lorsqu'il s'agira d'un problème difficile, on pourra faire écrire la réponse sur le tableau noir, après que les élèves l'auront cherchée avec application pendant un temps suffisant sans avoir réussi.

Pour nous conformer aux intentions du Conseil de l'instruction publique, nous nous sommes abstenus, dans cette édition, de parler de l'ancien calcul.

Afin que le grand soin donné à la correction des épreuves devienne plus profitable aux élèves dans un ouvrage où une seule transposition de chiffres leur ferait perdre un temps précieux, l'éditeur tient cet ouvrage tout composé en caractères mobiles, comme tous ceux qui sont à l'usage des Écoles chrétiennes, moyen qui présente le double avantage de pouvoir rectifier les erreurs qu'on nous signalerait, et de n'en point faire aux éditions subséquentes.

CHIFFRES ROMAINS.

I, ou j. V, ou V. X, ou x. L, ou 1. C, ou c. D, ou d. M, ou m.

(1) Ici le C est pris soustractivement, mais on trouve rarement ce nombre écrit ainsi; on l'indique ordinairement par quatre C consécutifs: CCCC (400).

(2) Ici 15 exprime 500, et CID 1000; mais le premier nombre s'écrit ordinairement D, et le second M.

D'ARITHMÉTIQUE

INTRODUCTION.

ORIGINE DE L'ARITHMÉTIQUE.

Quoique les besoins de la vie fussent beaucoup moins variés dans les premiers temps qu'ils ne le sont aujourd'hui, il est certain que, dès cette époque, il y avait peu d'hommes qui pussent se suffire à eux-mêmes et trouver, dans leurs possessions particulières, tout ce qui était nécessaire à leur bien-être. Cette insuffisance fut l'origine des échanges, qui, d'abord, ne purent se faire qu'en nature, c'est-à-dire que l'un donnait une partie des choses qu'il avait en abondance pour en recevoir d'autres dont il manquait, et réciproquement.

Cependant, les besoins s'étant multipliés, les échanges devinrent plus difficiles, surtout entre les populations éloignées les unes des autres; ils seraient même devenus impraticables, si la nécessité de les continuer n'eût fait naître l'idée d'attacher à quelques métaux une valeur de convention, équivalente, en quelque sorte, à celle qui était attribuée aux choses en nature: telle fut l'origine des monnaies, qui, dès le principe, s'apprécièrent au poids, et les échanges faits de cette manière prirent le nom de ventes.

Les développements successifs du commerce rendirent de jour en jour les ventes plus compliquées et les évaluations plus difficiles. On sentit le besoin de méthodes promptes et sûres pour les effectuer de manière à garantir les intérêts divers qui se trouvaient sans cesse compromis. Les recherches faités à ce sujet donnèrent des résultats satisfaisants pour l'époque; on les perfectionna dans la suite, et l'on parvint enfin à établir des règles fixes et certaines, dont le résultat produisit la science qu'on appelle ARITHMÉTIQUE.

DÉFINITIONS PRÉLIMINAIRES.

1. L'ARITHMÉTIQUE est la science des nombres. * 2. On appelle NOMBRE l'expression du rapport d'une grandeur quelconque comparée à l'unité.

3. Par GRANDEUR OU QUANTITÉ, on entend tout ce qui est susceptible d'être augmenté ou diminué, comme les mesures, la valeur des choses, le temps, etc.

*

4. L'UNITÉ est la chose que l'on a en vue, comme terme de comparaison, lorsqu'il s'agit de compter combien il y en a de semblables dans une quantité.

Si, par exemple, il s'agit de mesurer une ligne, la longueur que l'on prendra, comme terme de comparaison, sera l'unité.

Si l'on veut savoir ce que pèse un objet, le poids que l'on emploiera, comme terme de comparaison, sera l'unité.

Si l'on veut compter les arbres d'une allée, les croisées d'une maison, etc., l'unité sera l'arbre, la croisée, etc.

* 5. Les nombres, en général, se divisent en nombres abstraits et en nombres concrets.

6. On appelle nombres abstraits ceux dont la nature de l'unité n'est pas déterminée, comme six, huit. Ils se partagent en trois classes: 1° ceux qui ne sont pas accompagnés de subdivisions, comme six, neuf, douze, etc.: on les nomme nombres entiers abstraits.

2o Ceux qui sont accompagnés de subdivisions décimales (no 19), comme six unités vingt-cinq centièmes, - sept unités cing cent quinze millièmes: on les nomme nombres décimaux abstraits.

3o Enfin, ceux qui ne contiennent que des subdivisions décimales, comme soixante-quinze millièmes, —