P. 398. Quel nombre faut-il ajouter à 357 unités 75 centièmes pour avoir 8000 unités?

P. 399. Un nombre est 4 unités 5 centièmes : que faut-il y ajouter pour avoir 10 unités?

P. 400. Quel nombre faut-il ajouter à 4 millièmes pour avoir 15 centièmes?

P. 401. Louis XIV monta sur te trône en 1643, et mourut en 1715 combien d'années a-t-il régné?

P. 402. On compte 292 721 habitants à Lyon et 233817 à Marseille quelle est la différence entre les populations de ces deux villes?

P. 403. Pharamond monta sur le trône de France en 420: au 1er janvier 1840, combien s'était-il écoulé d'années depuis que cet événement a eu lieu?

P. 404. En 1832, il mourut 44462 personnes dans la ville de Paris, dont 18602 cholériques combien en mourut-il d'autres maladies?

P. 405. La première croisade eut lieu en 1096, et la septième et dernière en 1270 combien d'années ont duré ces expéditions lointaines?

P. 406. Sous Philippe-le-Bel la population de Paris était de 125 000 habitants; en 1860, elle était de 1 550 000: de combien était-elle augmentée à cette époque?

MULTIPLICATION.

* 51. La MULTIPLICATION est une opération dans laquelle étant donnés deux nombres, on en compose un troisième, qui soit à l'égard du premier ce que le deuxième est à l'égard de l'unité c'est-à-dire que si le deuxième égale 2 fois, 3 fois, 20 fois, etc., l'unité, le nombre cherché égalera 2 fois, 3 fois, 20 fois, etc., le

:

premier; et que si le deuxième n'égale que la 2°, la 3o, la 10, 25 fois la 100°, etc. partie de l'unité, le nombre cherché n'égalera que la 2o, la 3e, la 10, 25 fois la 100°, etc. partie du premier. Le 1er nombre est appelé MULTIPLICANDE; le 2o, MULTIPLICATEUR; le 3o, PRODUIT.

52. Il résulte de cette définition, que multiplier un nombre par 1, c'est le prendre une fois; le multiplier par 4, par 5, etc., c'est le prendre quatre fois, cinq fois, etc. Le multiplier par 0,1, c'est en prendre la dixième partie; le multiplier par 0,25, c'est en prendre 25 fois la centième partie, etc.; d'où l'on conclut :

1° Que lorsque le multiplicateur égale l'unité, le produit égale le multiplicande;

2° Que lorsque le multiplicateur est plus grand que l'unité, le produit est plus grand que le multiplicande;

3° Que lorsque le multiplicateur est moindre que l'unité, le produit est moindre que le multiplicande.

* 53. Le MULTIPLICANDE est le nombre que le sens du problème indique devoir être répété.

Le produit est toujours de la même nature que le multiplicande.

Ainsi, dans cet exemple: Si le mètre de drap coûte 25 fr., combien coûteront 6 mètres? le multiplicande est 25 fr., parce que c'est le nombre qu'il faut répéter 6 fois pour avoir le prix de 6 mètres; le PRODUIT cherché est aussi de même nature; et le multiplicateur est 6.

54. Le multiplicande et le multiplicateur se nomment FACTEURS de la multiplication où du produit.

Pour opérer facilement la multiplication, il faut savoir par cœur la table suivante :

*55. Pour effectuer la multiplication, lorsque le multiplicateur est un nombre d'un seul chiffre, après avoir placé le multiplicateur sous le multiplicande, et tiré un trait, on prend chacun des chiffres du multiplicande. autant de fois que l'unité est contenue dans le multiplicateur; si l'un des produits donne des dizaines de l'ordre qui est multiplié, on n'écrit que les unités, et on joint les dizaines au produit suivant.

Exemple.

On veut multiplier 532 par 4 : quel sera le produit? R. 2128.

Opération.

532

X 4

2128

Pour faire cette opération, je multiplie d'abord les unités en disant: 4 fois 2 font 8; j'écris 8 sous les unités. Je passe au second chiffre en disant: 4 fois 3 dizaines font 12 dizaines; j'écris 2 dizaines et je retiens 1 centaine, pour la joindre au troisième produit, que je fais en disant: 4 fois 5 centaines font 20 centaines et 1 dé retenue font 21, que j'écris en entier, parce qu'il n'y a plus rien à multiplier. Le nombre 2128 est le produit demandé, car il contient 4 fois le multiplicande. En effet, il renferme quatre fois les unités, 4 fois les dizaines et 4 fois les centaines: il renferme donc 4 fois tout le nombre 532.

56. Pour faire la multiplication, il est indifférent d'écrire le multiplicateur sous le multiplicande ou celui-ci sous le multiplicateur.

Si, par exemple, on multiplie 5 par 3 ou 3 par 5, le produit sera le même. Ecrivons trois fois séparément les unités du nombre 5, en colonnes horizontales.

La somme de ces unités, comptées horizontalement, égalera le produit de 5 par 3, et comptées verticalement, elle égalera celui de 3 par 5; mais comme toutes les unités sont comprises dans chaque opération, il est évident que les deux produits seront égaux: on peut donc prendre le multiplicande pour multiplicateur, et réciproquement.

Afin d'abréger la multiplication, on multiplie ordinairement le plus grand nombre par le plus petit.

57. On connaît ordinairement que la résolution d'un problème exige une multiplication, lorsque la valeur de l'unité est désignée, et qu'on demande celle de plusieurs, ou celle de quelques parties de l'unité.

Exemple. On sait que 25 fr. sont la valeur d'un mètre d'ouvrage : combien coûteront 15 m. du même ouvrage?

Dans cet exemple, on connaît le prix d'un mètre, et l'on demande celui de 15; le produit sera évidemment égal à 15 fois celui d'un mètre; la résolution de ce problème exige donc une multiplication.

Autre exemple. Le mètre de drap coûte 30 francs: combien coûteront 0 m. 45 centimètres? Il est évident qu'ils coûteront 45 fois la centième partie du prix du mètre, c'est-à-dire de 30 fr.

* 58. Lorsque le multiplicateur est un nombre composé de plusieurs chiffres, on fait autant d'opérations particulières qu'il y a de chiffres dans le multiplicateur, c'est-à-dire qu'après avoir multiplié par les unités, on multiplie par les dizaines, mais on avance le produit d'un rang vers la gauche; on multiplie ensuite par les centaines, ayant soin de placer au troisième rang le produit qu'elles donnent, etc.

Exemple. Soit 218 à multiplier par 456.

Pour faire cette opération, après avoir multiplié par les unités, comme dans l'exemple précédent, je passe aux dizaines, je multiplie de la même manière le multiplicande 218 par 5, et j'avance le produit d'un rang, c'est-à-dire que je l'écris sous les dizaines, etc. Je multiplie ensuite par les centaines, ayant soin d'avancer encore d'une place le produit qui en résulte, c'est-à-dire que je l'écris sous les centaines, etc.