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tiplie 9 par 100 et j'ai 900, nombre plus petit que 4689; je multiplie ensuite par 1 000 et j'aí 9000, nombre plus grand que 4689; je vois par là que le multiplicateur de 9 pour que le produit égale 4689, est compris entre 100 et 1000; or tout nombre compris entre 100 et 1000 est composé de trois chiffres: donc il y aura trois chiffres au quotient. Soit encore à diviser 875 par 35, je dis qu'il y aura 2 chiffres au quotient, car si l'on multiplie 35 par 10, on aura 350, nombre plus petit que 875, et si on le multiplie par 100, on aura 3500, nombre plus grand que 875; il y aura donc deux chiffres au quotient.

On connaît, d'après le procédé de la division, le nombre de chiffres qu'il y aura au quotient d'une division, en séparant autant de chiffres à la gauche du dividende qu'il en faut pour que le diviseur y soit contenu; le nombre de chiffres qui restent au dividende, plus un, indique combien il y en aura au quotient.

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71. Lorsque l'énoncé d'une division est tel que le quotient doit avoir plusieurs chiffres, par exemple, des centaines, des dizaines et des unités, on fait d'abord la division des centaines, puis celle des dizaines et enfin celle des unités.

Exemple. Soit 4689 à diviser par 9.

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Après avoir séparé les centaines par un point, je dis en 46 combien de fois 9? il y est 5 fois ou 5 centaines de fois; je mets le chiffre 5 au quotient, ensuite j'écris 45, produit de 5 par 9, sous 46; je fais la soustraction, et il reste une centaine que je réduis en dizaines par la pensée; j'y ajoute les 8 que j'ai au dividende, ce qui fait 18 dizaines. Je les divise par 9, en disant : en 18 combien de fois 9? il y est 2 fois ou deux dizaines de fois; je les écris au

quotient; je multiplie ce nombre par 9 et je porte le produit 18 sous le dividende; je l'en soustrais, et il reste zéro. J'écris à côté du zéro les unités du dividende, et je recommence la division en disant : en 9 combien de fois 9? il y est une fois; j'écris 1 au quotient, et je porte le produit du diviseur par ce nombre sous le dividende pour f'en soustraire. Comme il reste zéro, j'en conclus que 521 est le quetient de 4689 par 9, ou le nombre par lequel il faut multiplier 9 pour avoir un produit égal au dividende; ce qu'il est aisé de vérifier en effectuant la multiplication.

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72. Il faut observer dans chaque division partielle, 1° Que le produit du diviseur par le chiffre qu'on écrit au quotient, devant être retranché du dividende partiel, doit toujours être moindre que ce dividende, ou lui être égal;

2o Que le reste de chaque division doit toujours être moindre que le diviseur, autrement le quotient devrait être augmenté d'une ou de plusieurs unités;

3o Qu'il ne peut jamais y avoir plus de 9 au quotient pour chaque division partielle; autrement le chiffre que l'on a mis précédemment au quotient serait trop faible d'une ou plusieurs unités;

4o Que, lorsqu'après avoir descendu un chiffre pour former un nouveau dividende partiel, il arrive que le diviseur n'y est pas contenu, c'est-à-dire que le dividende partiel est moindre que le diviseur, il faut écrire un zéro au quotient, et abaisser un autre chiffre pour former le dividende partiel suivant: le zéro est nécessaire pour tenir lieu de l'ordre d'unité qui ne se trouve point au quotient.

Exemple. On voudrait savoir combien de fois le nombre 6 est contenu dans 7218. R. 1203 fois.

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Je commence cette opération par la gauche, en disant en 7 combien de fois 6? il y est une fois; j'écris 1 au quotient, par lequel je multiplie le diviseur; je mets le produit 6 sous le premier dividende partiel, j'ôte 6 de 7, il reste 1. A côté du chiffre 1, j'écris le chiffre 2, et j'ai douze pour deuxième dividende partiel; je dis donc en 12 combien de fois 6? il y est 2 fois, que j'écris au quotient; ensuite je dis 2 fois 6 font 12, que j'écris sous 12; je fais la soustraction, il reste 0, à côté duquel j'écris le chiffre 1, et j'ai 01 pour troisième dividende partiel. Mais comme ce nombre ne contient pas le diviseur, je mets un zéro au quotient. J'écris le chiffre 8; j'ai 18, que je divise par 6, et le quotient est 3 ; je multiplie 6 par 3, j'écris le produit 18 sous le dernier dividende partiel, et j'effectue la soustraction.

PREUVE DE LA DIVISION.

73. La PREUVE de la division se fait ordinairement en multipliant le diviseur par le quotient, et ajoutant au produit le reste de la division, s'il y en a un. Si l'opération est bien faite, on doit obtenir le dividende.

Exemple.

On veut diviser 8467 par 8: dites le quotient.

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*74. Le produit du diviseur par le quotient doit être égal au dividende, parce que le diviseur et le quotient d'une division étant les facteurs du dividende, il est évident que, si l'on effectue la multiplication de l'un par l'autre, et qu'on ajoute le reste, s'il y en a un, on devra retrouver ce dividende, autrement l'opération serait manquée.

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75. Lorsque le diviseur est un nombre composé de plusieurs chiffres, l'opération se fait de la même manière que la précédente.

Soit, par exemple, 4738 à diviser par 54.

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Dans cette opération, le diviseur 54 étant plus grand que les deux premiers chiffres 47 du dividende, j'en prends trois pour faire le premier dividende partiel; alors je dis: 47 contient 9 fois le nombre 5; mais 54 multiplié par 9 donnerait 486 qui est plus grand que 473; je ne dois donc mettre que 8 au quotient. Je l'écris en effet, et ayant multiplié 54 par 8, j'ai 432 à soustraire du premier dividende partiel; il reste 41. J'écris 8 à la droite de ce nombre, et j'ai 418 pour deuxième dividende partiel; je dis donc : en 41 combien de fois 5? je vois qu'il ne peut y être contenu que 7 fois; j'écris 7 au quotient et je multiplie 54 par 7, et il vient 378 à soustraire de 418. L'opération finie, je trouve 87 pour quotient et 40 pour reste.

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AUTRE MANIÈRE D'EFFECTUER LA DIVISION.

76. La méthode qu'on a suivie dans les exemples précédents, en portant sous chaque dividende partiel le produit du diviseur par chaque chiffre du quotient, étant un peu longue, on fait ordinairement la soustraction à mesure que l'on multiplie, sans écrire le produit, ainsi qu'on le voit dans l'exemple suivant:

Soit le nombre 8764 à diviser

Opération.

par 365.

Preuve.

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Dans cette opération, je dis : en 8 combien de fois 3? il y est 2 fois, que j'écris au quotient; puis multipliant le diviseur, je dis: 2 fois 5 font 10, lesquels ôtés de 16 (parce que j'augmente le 6 de 10), il reste 6 et je retiens 1; 2 fois 6 font 12, et 1 de retenue font 13, lesquels ôtés de 17 reste 4; je retiens 1; enfin 2 fois 3 font 6, et un de retenue font 7, lesquels ôtés de 8 reste 1. J'écris le chiffre 4 pour former le second dividende partiel, et je dis en 14 combien de fois 3? il y est 4 fois, par lequel je multiplie 365, en ôtant le produit du second dividende partiel, comme on a fait pour le premier; il reste 4, qu'il faut ajouter à la preuve.

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* 77. On retient lorsqu'on a été obligé d'augmenter, et l'on ajoute la retenue au produit de la multiplication du chiffre suivant, parce qu'après avoir augmenté le dividende partiel, il faut, pour conserver l'exactitude, augmenter le nombre à soustraire d'une quantité égalé à l'augmentation du dividende partiel.

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78. Lorsque après avoir employé tous les chiffres du dividende il y a encore un reste, on réduit ce reste d'abord en dixièmes en écrivant un zéro à sa droite, et on continue la division; mais comme on ne peut plus avoir d'unités, on met une virgule au quotient. Si l'on veut continuer, on réduit le second reste en centièmes en écrivant encore un zéro; mais on ne met plus de virgule au quotient, les unités étant déterminées par le rang qu'elles occupent (18 et 20).

Soit, par exemple, 679 à diviser par 28.

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Après la division il reste 7; je réduis ce reste en dixièmes en écrivant un zéro à sa droite, et je place une virgule au quotient; après quoi je dis en 70 combien de fois 28, ou en 7 combien dé fois 2? il y est 2 fois: j'écris ce chiffre au quotient, et je fais les opérations ordinaires. Mais il reste encore 14 dixièmes; je réduis cê nombre en centièmés en écrivant encore un zéro à sa droite, et je dis en 140 combien de fois 28, ou en 14 combien de fois 2? il y est 5 fois j'écris ce chiffre au quotient; je fais la multiplication et la soustraction, et il reste zéro ; j'en conclus que 24,25 est le quotient

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