termes d'une fraction par un même nombre sans en changer la valeur. Supposons, par exemple, qu'on multiplie par 3 les deux termes de la fraction, on aura, fraction équivalente à la première. En effet, en multipliant le dénominateur seul, nous aurions, fraction 3 fois plus petite que la précédente, puisque dans l'unité a été divisée en 5 et qu'on en a 4 parties, et que dans l'unité est divisée en 15, nombre trois fois plus grand; chacune de ces dernières parties n'est done que le tiers de celles de la première fraction, et comme on n'en à que le même nombre, on n'a donc que le de la fraction primitive; mais si l'on multiplie aussi le numérateur 4, dans la fraction, par 3, on aura 1, fraction qui égale trois fois, puisque dans on a 12 parties de l'unité partagée en 15, et que dans l'autre on n'en a que 4, c'est-à-dire le tiers de ces mêmes parties. Mais puisque la fraction égale lede, et qu'elle est aussi le de 1, 1 égalent donc; donc, etc. 12 12 On prouverait, par un raisonnement analogue, qu'on ne change pas la valeur d'une fraction en divisant ses deux termes par un même nombre. Ainsi les deux termes de la fraction 21 divisés par 7 donneront, fraction équivalente à la première. 91. On peut considérer une fraction comme une division qui a pour diviseur le nombre qui exprime en combien de parties l'unité est partagée, et pour dividende le nombre que l'on a de ces parties. En effet, soit à diviser 3 par 8, l'opération se réduit à prendre la 8 partie de trois unités; or la 8 partie d'une unité s'écrit, celle de trois unités s'écrira; par où l'on voit que le terme supérieur représente le dividende, et le terme inférieur, le diviseur. Questions sur les Fractions. Qu'est-ce qu'une fraction? 84. fraction? 85. Comment représente-t-on une - Comment Comment lit-on une fraction? 85 bis. nomme-t-on les deux termes d'une fraction? 86. Que marquent les deux termes d'une fraction? 87. De quoi dépen: la grandeur Deux fractions peuvent-elles avoir la même valeur, quoique exprimées par des nombres différents? 89. d'une fraction? 88. Change-t-on la valeur d'une fraction en multipliant ou en divisant ses deux termes par un même nombre? 90. Comment peut-on considérer une fraction? 91. RÉDUCTIONS DES FRACTIONS. 92. Les RÉDUCTIONS des fractions sont divers changements qu'on leur fait subir, sans que pour cela elles changent de valeur. 93. Les principales réductions sont au nombre de quatre : 1o Réduire des entiers, ou des entiers et des fractions, en une seule fraction; 2o Réduire des fractions en entiers, lorsqu'elles en contiennent (1); 3o Réduire les fractions à leur plus simple expression; 4o Réduire les fractions au même dénominateur. PREMIÈRE RÉDUCTION. *94. On réduit des entiers en fraction en les multipliant par le dénominateur donné. Lorsqu'il y a une fraction jointe aux entiers, on ajoute le numérateur au produit. 1er Exemple. On demande combien il y a de quarts dans trois unités. Une unité contient 4 quarts; 3 unités contiendront donc 3 fois 4 quarts; donc, pour résoudre ce problème, il faut multiplier 4 par 3, ou 3 par 4; on aura pour réponse 13. 2o Exemple. Réduire 18 unités en une seule fraction. D'après ce qui vient d'être dit, chaque unité donnera 8 huitièmes, les 18 donneront donc 818=144 huitièmes, plus 3 qu'il y avait d'abord 1 147. (4) Quelques auteurs donnent le nom de transformation à ces deux premières réductions. EXERCICES SUR LA PREMIÈRE RÉDUCTION. P. 669. On veut réduire 7 unités en quarts: combien y en aura-t-il? P. 670. Réduisez 9 unités en sixièmes. P. 671. Réduisez 28 15 en une seule fraction. P. 672. Réduire 10 unités en une seule fraction. P. 673. On veut réduire 9 unités en neuvièmes : quel en sera le total? P. 674. On désire réduire 20 unités en dixièmes : combien en aura-t-on ? P. 673. Dites le total de six unités réduites en quinzièmes. P. 676. Réduisez 5 unités en sixièmes. P. 678. Réduisez 9 unités en une seule fraction. en une seule fraction. P. 679. Réduisez 16 unités en quarts. P. 680. Réduisez 19 unités en huitièmes. P. 681. Réduisez 24 en une seule fraction. P. 682. Combien y a-t-il de huitièmes dans 24 unités ? P. 683. Combien y a-t-il de douzièmes dans 51 unités 11? P. 684. Combien y a-t-il de septièmes dans 15 unités 4? P. 685. Réduisez 34 en une seule fraction. P. 686. Savoir le nombre de demis qu'il y a dans 31 unités 4. P. 687. Dites combien il y a de tiers dans 7 unités. P. 688. Dites le nombre de quarts qu'il y a dans 50 unités 1. DEUXIÈME RÉDUCTION. * 95. Pour réduire les fractions en entiers, lorsqu'elles en contiennent, il faut diviser le numérateur par le dénominateur, le quotient donnera les unités; le reste, S'il y en a un, sera le numérateur d'une fraction qui aura pour dénominateur celui de la fraction primitive. 1er Exemple. On demande combien il y a d'unités en 12. Quatre quarts égalent une unité; 12 quarts valent donc autant d'unités qu'il y a de fois 4 dans 12; donc, pour résoudre cette question, il faut diviser 12 par 4. 12 4 0❘ Rép. 3. 2e Exemple. Combien y a-t-il d'unités dans 147? égalent une unité; la fraction proposée contient donc autant d'unités qu'il y a de fois 8 dans 147; pour avoir la réponse, il faut donc diviser 147 par 8, et le reste, s'il y en a un, sera le numérateur d'une fraction qui aura pour dénominateur celui de la fraction primitive. Ces exemples servent de preuve à ceux de la réduction précédente, et réciproquement. EXERCICES SUR LA DEUXIÈME RÉDUCTION. P. 689. Combien y a-t-il d'unités dans 28? P. 691. Quels sont les unités contenues dans cette fraction 49? 17 P. 692. Combien y a-t-il d'unités dans la fraction 36? P. 693. Quels sont les unités contenues dans la fraction 133? 46 P. 694. Combien y a-t-il d'unités dans la fraction ++? P. 695. On demande combien il y a d'unités dans 65 de P. 698. On demande combien il y a de degrés dans 11o de degré. P. 699. Combien y a-t-il de francs dans 232 de franc? P. 700. On demande combien il y a d'unités dans la fraction 1692. 6 TROISIÈME RÉDUCTION. * 96. Pour réduire une fraction à sa PLUS SIMPLE EXPRESSION, il faut d'abord diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre, et répéter cette opération sur les deux termes de la fraction résultante, jusqu'à ce qu'on ait obtenu une fraction irréductible (1). Soit, les deux termes étant divisés par 2, donnent 1; ceux-ci étant divisés par 3, on a §, et si l'on divise ces deux derniers termes aussi par 3, on obtient pour la plus simple expression de 3 27 36 6 97. On peut abréger cette simplification successive en divisant les deux termes par leur PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR, c'est-à-dire par le plus grand nombre qui puisse les diviser sans reste. Ainsi, dans l'exemple précédent, l'opération aurait pu être simplifiée en divisant ses deux termes par 18, nombre qui en est leur plus grand commun diviseur. 98. La théorie du plus grand commun diviseur, que nous allons donner, suppose, pour être bien comprise, la connaissance de ce qui suit: 1 Un nombre est dit MULTIPLE d'un autre lorsqu'il le contient (1) Un nombre est divisible: Par 2, lorsque son dernier chiffre est pair ou zéro; 3, lorsque la somme de ses chiffres, considérés comme des 5, lorsqu'il est terminé par 5 ou 0; 6, lorsqu'il est divisible par 2 et par 3, parce que 2 × 3 = 6, êt que 2 et 3 sont premiers entre eux; 8, lorsque le nombre formé par les trois derniers chiffres à droite égal un multiple de 8. 9, lorsque la somme des chiffres, considérés comme des unités simples, égale 9 ou un multiple de 9; - 10, lorsqu'il est terminé par zéro : 11, lorsque la somme des chiffres des rangs impairs, à partir de la droite, égale celle des rangs pairs, ou que l'une surpasse l'autre de 11, ou d'un multiplé de 11. |